A.- 6
C. D.
(数学4必修)第二章平面向量
［提高训练c组］
一、选择题
1.若三点A(2,3),B(3,d),C(4,b)共线，则有( )
A. a = 3,b = —5 B・a-b-¥\ =0 C. 2a- b = 3 D. a-2b = 0
2.设O<0 <27c ,己知两个向量OR = (cos&, sin。

)，
亦=(2 + sinO,2-cos&),则向量屈长度的最大值是( )
A. 72
B. V3
C. 3^2
D. 2^3
3.卜列命题正确的是( )
A •单位向量都相等
B・若2与乙是共线向量，与：是共线向量，贝叮与7是共线向量( )
C. \a + b\=\ a-b I,贝^\a-b = 0
D・若°o与％是单位向量,则&0厨=1
4.已知万，方均为单位向量，它们的夹角为60。

，那么a^b =( )
A. V7
B. Vio
C. V13
D. 4
5.已知向量d ,乙满足”1 = 1" =4,且Q.乙=2 ,则G与乙的夹角为
6.若平面向量乙与向量：=(2,1)平行，且1^1= 2^5，贝叮=(
A. (4,2) B・(一4,一2) C. (6,-3) D. (4,2)或(-4,-2)
二、填空题
1.已知向量a = (cos 0, sin ff),向量b =(73,-1) , WJ 2a-b的最大值是
2 若4(l,2),B(2,3),C(-2,5),试判断则厶ABC 的形状 ________________ .
3.若5 = (2,-2),则与2垂直的单位向量的坐标为______________ .
4.若向量G 1=1,1力=2,G—力=2,贝山方+力二____ .
5.平面向量a,方屮,已知a = (4,-3) , b =1, JEa b = 5 ,则向量方= __________ .
三、解答题
1.已知是三个向量，试判断下列各命题的真假.
(1)若乳5 =乳0且方工0,贝iJ5 = e
(2)向量万在方的方向上的投影是-•模等寸-同cos& (&是N与方的夹
角)，方向与Q在方相同或相反的一个向量・
2.证明:对于任意的a,b,c,d G R ,怛有不等式(ac+bd)2 < (a2 +/?2)(c2+d2)
3・平而向量5 = (V3,-1)J = 若存在不同时为0的实数£和r, 使
丘二万+(尸_3)方了二_転+厉,且丘丄歹，试求函数关系工弋£二.fa)・
4.如图，在直角AABC中，已知BC = a,若长为2d的线段PQ以点A 为中
点，问甩与荒
的夹角&取何值时丽•页的值最大？并求出这个方c
A D
数学4（必修）第二章平面向量［提高训练C组］
参考答案
一、选择题
1. C 殛=（1卫一3）,疋=（2』一3）,而〃紀"一3 = 20-6,2。

一/? = 3
2. C P}P2 =（2 + si n&-cos &,2-cos&-sin&）,
胴=j2（2-cos&）2+2sinS = J10-8cos&<718=3^2
3. C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当10时，7与7可以为任意向量；
G+庆i=G-亦,即对角线相等,此时为矩形，邻边垂直;还要
考虑夹角
4. C 0 + 3习二J矿+6厅方+ 9戸=Jl + 6cos600+9=V^
5. C cos0 = -^- = - = -,0 = -
砌 | 4 2 3
6 ・ D 设 b = ka = (2k,k\, 而\b\= 2^5 , 则屈
7 = 2 厉,k = ±，方二(4,2),或(一4, -2)
二、填空题
1. 4 2刁一7 = (2cos&—的,2sin& + l), 2a-h =^8 + 8sin(^-|) < V16 =4
2 直角三角形AB = (1,1), AC = (-3,3),AB AC = O,AB 丄犹
V2 V2 r V2 V2
(*亍或(-亍盲)
设所求的向量为(x,y\2x-2y = 0, x2 + y2
4.V6由平行四边形屮对角线的平方和等于四边的平方和得
a+h2 + a-h =2 犷+ 2b => 万 + b =2 茁+2b -a-b =2 + 2x4 —4 = 6
5. (f，一£)= (x,y\4x-3y = 5,x2 4-y2 = = = -|
三、解答题
1.解：(1 )若a-b =a-c且万北0,贝ljb=0,这是一个假命题
因为a^b=ac,a\b-c) = O9仅得Q 丄0-c)
(2)向量刁在丘的方向上的投影是一模等于同cos& (&是刁与方的夹角)，方向与万在5相同或相反的一个向量.这是一个假命题因为向量刁在方的方向上的投影是个数量，而非向量.
3. a =2, b = \
4. 解:•・•而丄 AC y
.\ABAC = 0. -AP = -AQ,~BP = AP-AB y CQ = AQ-AC,
.\~BPCQ =(AP-AB)(AQ-AC) = APAQ-APAC-ABAQ + ABAC
= -tz 2-AP AC + AB AP
=-a 2-AP (AB-^C)
2. 证明：设x = (a,b),y = (c,d) , WO x y = ac + bd,\x = yla 2 +/??, y = >Jc~ +cl 而丘 y
= |j||y|cos 3,\x y = x y|cos^ < x y
即 \x y < |^||.y| » 得 |ac + bd| 5 J a? +/?2 Jc? +c 厂
・・・(ac + bd)2 <(a 2 +/?2)(c 2 +d?)
i R
解：由 a = ^-l).b =(-,-)得 [a + (f 2 一3)b] (-ka +tb) = 0-ka 2+td b-k (r 2 -3)ab+t(t 2-3)b 2 = 0 _4R + F _ 3/ = 0,R =丄(r 3-3f ),/(/) = - (? 一 3r) 4 4
= -a 2 +-PQBC = -a 2 +-PQBC
— —a 1 + a 2 cos 0.
故当cos 。

= 1,即& = ()(P0与向相同)时,BP • C0最大.其最大值为0. Q H。