重庆大学 高等数学Ⅱ-1 课程试卷juanA卷B卷2012 ~2013学年 第 1学期 开课学院： 数学 课程号： 10019565 考试日期： 20130114考试方式：开卷闭卷 其他 考试时间： 120 分钟一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.设()232xxf x =+-，则当0x →时，有【B 】A ．()f x 与x 是等价无穷小B ．()f x 与x 是同阶无穷小，但不等价C ．()f x 是x 的高阶无穷小D ．()f x 是x 的低阶无穷小因为：()000()232limlim lim 2ln 23ln 3ln 2ln 3x x x x x x x f x x x→→→+-==+=+ 2.设()f x 为可导函数，且满足条件0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的钭率为【D 】A ．2B ．1-C ．12D ．2- 因为：00(1)(1)1(1)(1)11limlim (1)(1)2222x x f f x f x f f f x x →→----''-===⇒=-- 3.设2sin ()sin x t xF x e tdt π+=⎰，则()F x 【A 】A ．为正常数B ．为负常数C ．恒为零D ．不为常数因为：222sin sin sin sin 00()sin sin sin sin x tttt xF x etdt etdt etdt e tdt πππππ+===+⎰⎰⎰⎰后一式作代换t u π-=，有2sin sin 0sin sin tu e tdt e udu πππ-=-⎰⎰，故sin sin 0()()sin 0t t F x e e tdt π-=->⎰4.01lim arctanx x→为【D 】 A ．2πB ．2π-C ．1D ．不存在因为：左右极限存在不相等5.函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数为【B 】 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0因为：2222(2)(1)(1),1(2)(1)(1),10()(2)(1)(1),01(2)(1)(1),1x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x⎧--+-<-⎪-+--≤<⎪=⎨--+-≤<⎪⎪-+-≤⎩(1)0,(1)0,(0)2,(0)2,(1)4,(1)4f f f f f f -+-+-+''''''-=-===-==-二、填空题（每小题3分，共15分）1.21lim(cos )x x x→∞= 12e - 2.设()y x 是由方程x yxy e+=确定的可导函数，则()y x '= x y x ye yx e++-- 3.= ln(x c +4.设2()x f x xe =，则(0)f '''= 6命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密5.曲线(sin ),(1cos )(0)x a t t y a t a =-=->，则在2t π=处的切线方程为202ax y a π--+=三、计算题（一）（每小题8分，共40分） 1.求极限21lim nn →∞⎛⎫+++。
21n≤+++≤+且1,lim1n n →∞==，故21lim 1n n →∞⎛⎫+=+ 2.设函数tan xy x=，求()y x 的间断点，并指出间断点类型。
解：间断点2x k ππ=+和,0,1,2,x k k π==±±因0lim1tan x xx→=，故0x =为可去间断点。
当0k ≠时，lim tan x k xxπ→=∞，故,0x k k π=≠为无穷型间断点。
2lim 0tanx k xxππ→+=，故2x k ππ=+为可去间断点。
3.求函数2arcsin (0)2a xya a=>的二阶导数。
解：222xa y '==y ''=4.计算不定积分21.2tan I dx x =+⎰解：()()()22222sec tan 2tan sec2tan 1tan x d xI dx x x x x ==+++⎰⎰ 22tan tan arctan(tan )1tan 2tan d x d x x c x x =-=-+++⎰⎰ 另解：令tan x u =，则222211112112I du dudu u u u u=⋅=-++++⎰⎰⎰arctan u c = arctan(tan )x c =+ 5.求广义积分201(1)(1)I dx x x α+∞=++⎰的值，其中α为正常数。
（作变换令1t x=） 解：令1t x=，则222000111(1)(1)(1)(1)(1)(1)t t I dx dt dt x x t t t t ααααα+∞+∞+∞+-===++++++⎰⎰⎰2011dt I t +∞=-+⎰，故[]200111arctan .2124I dt t t π+∞+∞===+⎰四、应用题（每小题8分，共16分）1.甲乙两用户共用一台变压器（如图所示），问变压器应设在输电干线何处时，所需电线最短？AB1km 1.5km解：设变压器在距A 处x 处，所需电线长度函数为()T x ，则()T x =()T x '=令()0T x '=，得 1.2x km =，故变压器应设在距A 处1.2千米处所需电线最短。
2.求曲线3ρ=及2(1cos )(02)ρϕϕπ=+≤≤所围成的平面图形的面积（公共部分）。
解：圆与心形线的交点的极坐标为(3,),(3,)33ππ-，由对称性可知，面积22303112324(1cos )22S d d πππθϕϕ=⋅+⋅+⎰⎰2334(12cos cos )7d πππϕϕϕπ=+++=⎰五、证明题（每小题7分，共14分） 1.设函数()f x 在[],ππ-上连续，且2()()sin 1cos xf x f x xdx xππ-=++⎰。
证明2()sin 2f x xdx πππ-=⎰。
证：设()sin f x xdx A ππ-=⎰，则2()1cos xf x A x=++ 2sin ()sin sin 1cos x xf x x A x x=++ 220sin sin ()sin sin 201cos 1cos x xx x f x xdx dx A xdx dx x x πππππππ---=+=+++⎰⎰⎰⎰ []2200sin 2arctan cos 21cos 2x dx x x πππππ=⋅=-=+⎰2.设函数()f x 在[],a b 上存在二阶导数，且满足()()0f a f b ==，()()0f a f b ''==证明（1）存在(,),()().a b f f ξξξ'∈= （2）存在(,),()().a b f f ξξξ''∈= 证（1）令()()xh x ef x -=，()h x 在[],a b 上可导，且()()0h a h b ==，由罗尔中值定理知：存在(,)a b ξ∈使()0h ξ'=，即[]()()0()().e f f f f ξξξξξ-''-=⇒= （2）令()()()g x f x f x '=+，()g x 在[],a b 上二阶可导，()()0g a g b == 由（1）知：存在(,)a b ξ∈，使()()g g ξξ'=，即()()()()()()f f f f f f ξξξξξξ''''''+=+⇒=。
另证（2）：直接取()(()())xg x e f x f x -'=+或取()(()())xg x e f x f x '=-用罗尔中值定理。
cos )ϕx。