.精品文档.八年级第十七章《函数及其图象》知识点八年级第十七《函数及其图象》知识点（2）一、一次函数（一）一次函数的概念：形如y=kx+b （其中k工0）,两个特征：①k工0，②x的次数为1正比例函数的概念：当b=0时的一次函数成为正比例函数，此时称y与x成正比例【注意】两个变量成正比例，即y=kx.例题1、若函数y=（-1）x|| 是一次函数，则=.2、若y-1与x+3成正比例，且当x=1时，y=2，求y与x 的函数关系式.（二）一次函数的图象及其性质：y=kx+b （" 0）1、一次函数的图象是一条直线，故使用待定系数法求直线解析式时一般需要两个点.特殊直线：直线y=x或直线y= -x上的点到两坐标轴距离相等.2、一次函数的性质（与系数k、b相关）① k决定着函数的增减性当k > 0时，y随x的增大而增大（增函数），必过第一三象限当k v 0时，y随x的增大而减小（减函数），必过第二四象限② b决定着直线与y轴交点的位置：在原点的基础上“上加下减”当b=0时，必过原点；当b>0时，沿y轴向上平移；当b v 0时，沿y轴向下平移.补充口诀：上加下减改变b, y=kx+b —y=kx+b+左加右减改变x, y=kx+b —y=k（x+）+b③斜率k的性质：平移k不变；|k|越大，直线的倾斜程度越大；k=【可用于待定系数法求解析式中的k 1④截距b的性质：与y轴交点（0, b）,与x轴交点（, 0）⑤四种特殊位置关系的直线：两直线平行k相等；两直线相互垂直--> k1 • k2= -1 ；两直线关于x轴对称--> k与b均互为相反数；两直线关于y轴对称k互为相反数，b相等.⑥点（x0, y0）到直线ax+by+=0的距离d公式：d=（三）一次函数的应用1、解题关键：点的坐标，尤其是交点的坐标三种交点：①与x轴交点，y坐标为0,即（x, 0）②与y轴交点，x坐标为0,即（0, y）③两个图象的交点：联立解析式，方程组的解即为交点的x坐标和y坐标2、解题思路：①与三角形全等、直角三角形、面积、周长、线段有关的问题均转化为点的坐标【数形结合很重要，注意运用“全等（含对称）、勾股定理、等面积法（含同底等高）”等知识】②求函数解析式（含求函数值或自变量的值）均用待定系数法，其中k、b注意利用性质求得.【待定系数法思路：几个未知系数，就用几个条件构造方程】③比较大小的三种方法：【含两种方案的比较问题】代入计算法（对函数解析式已知的题目适用）增减性分析法（对k的符号已知的适用）图象分析法（对能画出大致图形的适用，借助交点和坐标轴分析）④最值问题（如最大利润）：先求出自变量的取值范围（常以“有几种方案”的问题出现，需根据题意列不等式组求出）；再列出关于利润的函数表达式（要化简整理成y=kx+b 的形式），最后根据增减性结合具体方案（自变量取值范围），找出最值.⑤行程问题（常以两车同向或相向为背景）图象交点的意义：两车相遇(或追上)两车的距离即为：s=y1-y2例题1、已知直线y=(k+2)x+k2-4 的图象经过原点，贝U k=.2、若一次函数y=(k+2)x-2k+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是.3、已知直线平行于直线y=2x，且与y轴交点到原点的距离为2,则该直线的解析式是.4、把直线y=-x+3向上平移个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则的取值范围是.5、函数y=ax-2与y=bx+3的图象交于x轴上的一点，则=.6、一次函数y=(3a-7)x+a-2 的图象与y轴交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，求a的取值范围.7、正比例函数y=-kx的图象经过第一三象限，在函数y=(k-2)x 的图象上有三个点(x1 , y1 )、(x2, y2)、(x3, y3), 且x1 >x2 > x3时，贝» y1、y2、y3的大小关系为.&若直线y=kx+b交坐标轴于(-2,0) 、(0,3)两点，则不等式kx+b > 0的解集是.9、函数y= -x+3，当图象在第一象限时，x的取值范围是；当-1 < x < 3时，函数的最小值是.10、直线AB过点A (0,6 )、B (-3,0 ),直线D与直线AB相互垂直，且过点（0,1 ）.（1）求两直线的解析式；（2）求直线D与x轴的交点D 的坐标；（3）求直线AB上到y轴距离等于4的点的坐标；（4）求两直线的交点P的坐标；（5）求厶PAD的面积；（6）在y 轴上的是否存在点，使得S A PA=S^ PAD.11、点A为直线y=-2x+2上的点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为.12、把Rt △ AB放在平面直角坐标系中，点A （1,0 ）、点B（ 4,0 ）, / AB=90°, B=5.将厶AB沿x轴向右平移，当点落在直线y=2x-6上时，求线段B扫过的面积.13、某工厂投入生产一种机器，当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x （单位：台）102030y （单位：万元/台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的50取值范围；(2)市场调查发现，这种机器每月销售量z (台)与售价a (万元/台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润. (注：利润=售价-成本)14、现从A, B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A, B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A地到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B地到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨.(1) 设从A地往甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：运往甲地(单位：吨)运往乙地(单位：吨)AxB(2) 设总运费为元，请写出与x的函数关系式；(3) 共有多少种运送方案？哪种方案运费最少？15、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1 (k),出租车离甲地的距离为y2 ( k),客车行驶时间为x ( h), y1 , y2 与x 的函数关系图象如图所示：(1)根据图象，求出y1 , y2关于x的函数关系式。
(2)若设两车间的距离为S (k)，请写出S关于x的函数关系式。
(3)甲、乙两地间有A B两个加油站，相距200k，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油。
求A加油站到甲地的距离。
16、如图，直线y= x+8与x轴、y轴分别交于A和B，是B 上的一点，△ AB沿A折叠，点B恰好落在x轴上的处.(1)求点的坐标；(2)求直线A的解析式.二、反比例函数(一)反比例函数的概念概念：形如y=(其中k工0)的函数称为反比例函数，又称y 与x成反比例.两种变形：y=kx-1 和xy=k概念的特征：①k工0,②x的次数是-1，③分母只能是x例题：1、下列函数不是反比例函数的是( )A、y= ;B、y= ;、y= ; D、y= ; E、y=2、当a=时，y=是反比例函数.3、若y+1与x-3成反比例，且当x=2时，y= -4，求y 与x 的函数关系式.4、已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=1与x=2时，y的值均为6.求当x=4时，y的值.（二）反比例函数的图象及其性质：y=（其中k工0）1、反比例函数的图象是双曲线2、反比例函数的性质（只与k相关）① k决定着图象所在的象限和增减性【注意增减性只能在一个象限中研究】当k>0时，图象在第一三象限，在每个象限中y随x的增大而减小（减函数）当k v0时，图象在第二四象限，在每个象限中y随x的增大而增大（增函数）②每个反比例函数图象（双曲线）都关于原点对称【相应的点也关于原点对称性】双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=-x 【坐标轴夹角的平分线】③当k是相反数时，两个反比例函数的图象既关于x轴对称，也关于y轴对称.④双曲线上任一点向两坐标轴作垂线，两垂线段和坐标轴围成的矩形的面积等于|k|【用于反比例函数中与面积相关的问题】如图，S矩形APB=|k| , S A ND= |k|.（三）反比例函数的应用1、解题关键：①点的坐标：只有一个未知系数k，故只需一个点，待定系数法代入即可.②有关面积：转化为k （见性质④）.③数形结合2、解题思路：与“一次函数的性质应用”大同小异3、反比例函数与一次函数的综合应用的常用方法：①由交点待定未知系数；②常用条件和应用类型：面积、全等、对称、角平分线或垂直平分线、勾股定理例题：1、已知反比例函数y=的图象在第二四象限，则的取值范围是.2、函数y=与函数y= -4x的图象在同一平面直角坐标系中的交点有个.3、当x>0时,y=中y随x的增大而减小，则直线y=kx+2 不过第象限.4、反比例函数y=的图象上有三个点（x1 , y1 ）、（x2 , y2）、（x3, y3）,当x1 >0>x2>x3 时，比较y1、y2、y3 的大小：.5、如图，正比例函数y1 = k1x的图象与反比例函数y2 =的图象相交于A, B两点，其中点A的横坐标为2.当y1>y2时，x的取值范围是 .6、已知直线y=2x与双曲线y=的图象的一个交点为(2,4 ),则另一个交点坐标为( ).【注意这里的直线是过原点的，如果没有过原点，则需使用联立方程组求交点】7、已知点A是反比例函数图象上一点，AB丄y轴于点B, 且厶AB的面积为3,贝U反比例函数的解析式为.8、如图，点P (1,4 ), Q (, n)在y=的图象上，当〉1时，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂足为A、B;过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂足为、D; QD交PA于点E.问：随着的增大，四边形AQE的面积如何变化？9、如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P,作x轴的平行线，分别与反比例函数y=和y=的图象交于点A和点B, 若点是x 轴上任意一点，连接A、B,则厶AB的面积为________________ .第9题第10题第11题10、如图，一次函数y仁kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于点A (-2,1 )、B (1, n).(1)求两函数的解析式；(2)根据图象写出当y1 >y2时x的取值范围；(3)直线A与反比例函数图象交于另一点，求S A AB;(4)若直线AB与x轴交点为E,点P是反比例函数y2二的图象上一点，且S A EP=2,求点P的坐标•11、如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A,与反比例函数y (x>0)的图象交于点B (2, n),过点B作B丄x轴于点，点P (3n-4 , 1)是该反比例函数图象上的一点，且/ PB=Z AB,求反比例函数和一次函数的表达式.解析：由点B、P在y=x上，得2n =和3n−4 =.解得=8, n=4,故反比例函数为y，且点B(2,4),P(8, 1).由 / PB=Z AB,所以点P关于直线B的对称点P'在直线AB上, 且点P'( -4 , 1).由点B (2, 4)和点P'( -4 , 1)待定系数法求得AB的表达式为y= x+3 .12、如图，一次函数的图象与反比例函数y仁-(x<0 ) 的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、两点，且(2, 0),当x<-1 时，一次函数值大于反比例函数的值，当x>-1时，一次函数值小于反比例函数值。