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福建省龙岩市一级达标校2019-2020学年高一下学期期末质检数学试题

9.A
【解析】
【分析】
先算出 ,设 ,由 确定 的轨迹,则 的最大值可求.
【详解】
解:显然 ,设 , ,
由 ,
所以 ,表示以 为圆心,半径为1的圆,
表示 到 的距离,
所以 的最大值是 .
故选:A
【点睛】
考查向量的运算以及向量模的几何意义,基础题.
10.B
【解析】
【分析】
由平面 平面 ,可推得以 为邻边的矩形的另一顶点设为 是四棱锥 外接球的球心,利用勾股定理求出球的半径,代入球的表面积公式可得答案.

则异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选: .
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面的关系、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
6.D
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的几何体的三视图,可以判断其为正三棱柱,根据数据求得底面边长和棱柱的高,利用柱体体积公式求得结果.
【详解】
由三视图可知这个几何体为正三棱柱,
底面正三角形的高为 ,则 ,
解得底面正三角形的边长为 ,
正三棱柱的高为4,所以所求几何体的体积为
故选:D.
【点睛】
该题考查的是有关几何体的问题,涉及到的知识点有几何体的三视图,根据三视图求几何体的体积,属于基础题目.
7.D
【解析】
【分析】
根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.
【详解】
(1)设 与 的交点为 ,连接 .
底面 为菱形, 为 的中点.
又 为 的中点, .
又 平面 , 平面 ,
平面 .
(2) 底面 为菱形, ,
又 平面 , ,
又 , 平面 ,
又 平面 , 平面 平面 .
【点睛】
本题考查线面平行、面面垂直的证明,考查空间线面、面面间的位置关系判定定理、性质定理等知识,是中档题,解题中需要能熟练应用判定、性质定理.
【详解】
对于A,当 为 内与 垂直的直线时,不满足 ,A错误;
对于B,设 ,则当 为 内与 平行的直线时, ,但 ,B错误;
对于C,还有一种可能就是 ,C错误.
对于D,由 , 知: ,又 , ,D正确;
故选:D.
【点睛】
本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析,考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况,属于基础题.
18.(1)2;(2)6.
【解析】
【分析】
(1)由向量数量积的定义及正弦定理易求 的值.
(2)先求出 ,由余弦定理以及基本不等式易求 周长的最大值.
【详解】
解;(1)由已知及正弦定理得, ,
又 ,即 ,则 , .
(2) ,角 成等差数列,则 ,
又 ,
则 ,
又 ,故 , , 周长的最大值为6,
当且仅当 时等号成立.
20.(1) ;(2)当月产量 时,获得增加的利润最大,且增加的最大利润为5600元.
【点睛】
考查正余弦定理、向量数量积的定义以及基本不等式求最值,中档题.
19.(1) ;(2)分类讨论,答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据题意利用根与系数的关系列方程求出 、 的值;
(2)不等式化为 ,求出对应方程的解,利用分类讨论写出不等式的解集.
【详解】
(1)由题意知: 且 和 是方程 的两根,
对 .根据 , ,取 ,则 不成立,,属基础题.
2.D
【解析】
【分析】
由正弦定理可得 ,利用余弦定理表示出 ,即可求出角 .
【详解】
由正弦定理可得 ,
由余弦定理可得: ,
, ,

又 在 中, ,

故答案选D.
【点睛】
本题考查利用正弦定理进行边角互化以及余弦定理的简单应用,属于基础题.
(2)令 ,求数列 的前 项和 ;
(3)若数列 满足 ,且不等式 对任意的 都成立,求 的取值范围.
参考答案
1.C
【解析】
【分析】
根据每个选项的条件取特殊值或利用不等式的基本性质判断即可.
【详解】
对 .取 ,则 不成立,故 错误;
对 .当 , 时, 不成立,故 错误;
对 . , , , ,故 正确;
设 ,则 ,
在 中,由余弦定理得:
即 ,解得
故答案为:12
【点睛】
此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键,属于中档题.
15.35
【解析】
【分析】
仔细观察法各个图形中实心点的个数,找到个数之间的通项公式,再求第5个五角星的中实心点的个数.
【详解】
解:第一个有1个实心点,
【详解】
由正弦定理 ,
得 ,

,B是等腰 的底角, ,
是等边三角形,A正确;
B不正确:若 四点共圆,则四边形对角互补,
由A正确知 ,
但由于 时,

∴B不正确.
C正确,D不正确:
设 ,则 ,






,∴C正确,D不正确;
故选:AC..
【点睛】
本题主要考查正弦定理,余弦定理,三角函数恒等变换,正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用,考查计算能力和转化思想,属于中档题.
16.锐角 的内角 , , 所对的边分别为 , , ,且 ,则 的取值范围是______.
17.如图,在四棱锥 中,底面 为菱形, 平面 , 为 的中点.
(1)证明: 平面 ;
(2)证明:平面 平面 .
18. 的内角 , , 所对的边分别为 , , ,若 ,且 .
(1)求 的值;
(2)若角 , , 成等差数列,求 周长的最大值.
【详解】
连 交于 ,设 中点 ,连 ,则 面 ,设 是 的中心,且 ,则以 为邻边的矩形的另一顶点设为 ,则 是四棱锥 外接球的球心
边长为
, ,
, 设外接球半径为

故选:
【点睛】
本题考查四棱锥外接球的半径与棱长的关系,球的表面积公式的应用,属于中档题.
11.AD
【解析】
【分析】
由 求出 ,即 ,由此表示出 、 、 、 ,可判断C、D两选项;当 时, , 有最小值,故B错误.
第二个有 个实心点,
第三个有 个实心点,
第四个有 个实心点,
第 个有 个实心点,即 .
故当 时, 个实心点.
故答案为:35, .
【点睛】
本题考查了图形的变化类问题,解题的关键是仔细观察每个图形并从中找到通项公式.
16.
【解析】
【分析】
利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角 , 的关系,由 为锐角三角形得到角 的范围,进而利用二倍角公式得出 的取值范围.
福建省龙岩市一级达标校2019-2020学年高一下学期期末质检数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
1.下列命题正确的是()
A.若 ,则 B.若 , ,则
C.若 , ,则 D.若 , ,则
2.在△ABC中,已知 , ,则A等于( )
15.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 ,第2个五角形数记作 ,第3个五角形数记作 ,第4个五角形数记作 ,…,若按此规律继续下去,得到数列 ,则 ___________;对 , ______.
8.C
【解析】
【分析】
由题意利用等差数列的定义和性质求得 ,再利用基本不等式求得 ,根据题意, ,由此求得 的范围.
【详解】
解: 两个正实数 , 满足 , , 成等差数列,
, , , .
不等式 恒成立,即 恒成立,
即 恒成立.
,求得 ,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义和性质,不等式的恒成立问题,基本不等式的应用,属于基础题.
由根与系数的关系有 ,
解得 .
(2)不等式 可化为 ,
即 .
其对应方程的两根为 ,
①当 即 时,原不等式的解集为 ;
②当 即 时,原不等式的解集为 ;
③当 即 时,原不等式的解集为 ;
综上所述:当 时,原不等式的解集为 ;
当 时,原不等式的解集为 ;
当 时,原不等式的解集为 ;
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法与应用问题,考查运算求解能力,求解时注意进行分类讨论.
【详解】
如下图所示:
.
故选:B.
【点睛】
本题考查利用基底表示平面向量,考查计算能力,属于基础题.
5.C
【解析】
【分析】
连结 , ,由 ,得到 是异面直线 与 所成角,然后利用余弦定理能求出异面直线 与 所成角的余弦值.
【详解】
解:在长方体 中,底面 为正方形, ,
连结 , ,则 , , ,
异面直线 与 所成角,
3.D
【解析】
【分析】
根据 求出公比,再把首项和公比代入等比数列求和公式即可.
【详解】
设等比数列 的公比为 ,则 ,由 ,
得 , ,
因为 ,所以 ,整理得 ,由 得 ,
所以 .
故选:D.
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式与等比数列求和公式.
4.B
【解析】
【分析】
利用平面向量的加法法则可得出 ,由此可得出 关于 、 的表达式.
13.
【解析】
【分析】
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