课时作业 A 组——基础对点练1．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2 D ．1解析：y ＝x ex －1＝x e x e ＝1e x e x ，y ′＝1e (e x ＋x e x)＝e x e (1＋x )，∴k ＝y ′|x ＝1＝2，故选C. 答案：C2．(2018·济南模拟)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1D ．e解析：∵f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝[2xf ′(1)]′＋(ln x )′＝2f ′(1)＋1x ， ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，即f ′(1)＝－1. 答案：B3．函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A.3π4 B ．π3 C.π4D.π6 解析：因为f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为1.所以在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4，故选C. 答案：C4．曲线y ＝a x 在x ＝0处的切线方程是x ln 2＋y －1＝0，则a ＝( ) A.12 B ．2 C ．ln 2D ．ln 12解析：由题知，y ′＝a x ln a ，y ′|x ＝0＝ln a ，又切点为(0,1)，故切线方程为x ln a－y ＋1＝0，∴a ＝12，故选A. 答案：A5．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( ) A ．－23 B ．－43 C.43D ．34解析：因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D.答案：D6．已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( ) A ．4 B ．5 C.254D.132解析：∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6， ∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8，故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0， 令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54， ∴所求面积S ＝12×54×10＝254. 答案：C7．(2018·巴蜀中学模拟)已知曲线y ＝2xx －1在点P (2,4)处的切线与直线l 平行且距离为25，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0B ．2x ＋y ＋2＝0或2x ＋y －18＝0C ．2x －y －18＝0D ．2x －y ＋2＝0或2x －y －18＝0解析：y ′＝2(x －1)－2x (x －1)2＝－2(x －1)2，y ′|x ＝2＝－2(2－1)2＝－2，因此k l ＝－2，设直线l 方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，由题意得|2×2＋4－b |5＝25，解得b ＝18或b ＝－2，所以直线l 的方程为2x ＋y －18＝0或2x ＋y ＋2＝0.故选B. 答案：B8．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，则曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝x C ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3解析：法一：令x ＝1得f (1)＝1，令2－x ＝t ，可得x ＝2－t ，代入f (2－x )＝2x 2－7x ＋6得f (t )＝2(2－t )2－7(2－t )＋6，化简整理得f (t )＝2t 2－t ，即f (x )＝2x 2－x ，∴f ′(x )＝4x －1，∴f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2. 法二：令x ＝1得f (1)＝1，由f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，两边求导可得f ′(2－x )·(2－x )′＝4x －7，令x ＝1可得－f ′(1)＝－3，即f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2. 答案：C9.(2018·潍坊模拟)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( ) A ．－1 B ．0 C ．2D ．4解析：由题意知直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，由图可得f (3)＝1.又点(3,1)在直线l 上，∴3k ＋2＝1，∴k ＝－13，∴f ′(3)＝k ＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，则g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0，故选B.答案：B10．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－12，＋∞)B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x ＞0)，根据题意有f ′(x )≥0(x ＞0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x ＞0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x ＞0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D. 答案：D11．若直线y ＝x ＋1与曲线y ＝a ln x 相切，且a ∈(n ，n ＋1)(n ∈N *)，则n ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝a ln x 相切的切点为(x 0，a ln x 0)，则在该点处曲线的切线方程为y －a ln x 0＝a x 0(x －x 0)，即y ＝ax 0x ＋a ln x 0－a ，又该直线与直线y＝x ＋1重合，所以a ＝x 0且a ln x 0－a ＝1，即a ln a －a ＝1.构造函数g (a )＝a ln a －a －1，则g ′(a )＝ln a ，当a ＞1时，g ′(a )＞0，g (a )单调递增，又g (3)＝3ln 3－4＜0，g (4)＝4ln 4－5＝8 ln 2－5＞0，所以函数g (a )在(1，＋∞)内唯一的零点在区间(3,4)内，所以n ＝3. 答案：C12．(2018·石家庄模拟)设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( ) A ．ln 2 B ．－ln 2 C.ln 22D ．－ln 22解析：对f (x )＝e x ＋a ·e －x 求导得f ′(x )＝e x －a e －x ，又f ′(x )是奇函数，故f ′(0)＝1－a ＝0，解得a ＝1，故有f ′(x )＝e x －e －x ，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝e x 0－e －x 0＝32，解得e x 0＝2或e x 0＝－12(舍去)，所以x 0＝ln 2. 答案：A13．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．解析：由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.答案：5x ＋y ＋2＝014．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为____________．解析：y ′＝3ln x ＋1＋3＝3ln x ＋4，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. 答案：y ＝4x －315．(2018·合肥市质检)已知直线y ＝b 与函数f (x )＝2x ＋3和g (x )＝ax ＋ln x 分别交于A ，B 两点，若|AB |的最小值为2，则a ＋b ＝________.解析：设点B (x 0，b )，欲使|AB |最小，曲线g (x )＝ax ＋ln x 在点B (x 0，b )处的切线与f (x )＝2x ＋3平行，则有a ＋1x 0＝2，解得x 0＝12－a ，进而可得a ·12－a ＋ln 12－a ＝b ①，又点A 坐标为(b －32，b )，所以|AB |＝x 0－b －32＝12－a －b －32＝2 ②，联立方程①②可解得，a ＝1，b ＝1，所以a ＋b ＝2. 答案：216．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2＋mx (m ∈R)，若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线与函数g (x )的图象相切，则m 的值为________．解析：易知f (1)＝0，f ′(x )＝1x ，从而得到f ′(1)＝1，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.设直线y ＝x －1与g (x )＝x 2＋mx (m ∈R)的图象相切于点P (x 0，y 0),从而可得g ′(x 0)＝1，g (x 0)＝x 0－1.又g ′(x )＝2x ＋m ，因此有⎩⎨⎧g ′(x 0)＝2x 0＋m ＝1x 20＋mx 0＝x 0－1，得x 20＝1，解得⎩⎨⎧ x 0＝1m ＝－1或⎩⎨⎧x 0＝－1m ＝3.答案：－1或3B 组——能力提升练1．已知函数g (x )＝sin x ，记f (0)＝g (x )＝sin x ，f (1)＝(sin x )′＝cos x ，f (2)＝(cos x )′＝－sin x ，…依次类推，则f (2 019)＝( ) A ．sin x B ．cos x C ．－sin xD ．－cos x解析：由题意得f (3)＝－cos x ，f (4)＝sin x ，f (5)＝cos x ， 周期为4.∴f(2 019)＝f(3)＝－cos x，故选D.答案：D2．已知函数f(x)＝e x－2ax，g(x)＝－x3－ax2.若不存在x1，x2∈R，使得f′(x1)＝g′(x2)，则实数a的取值范围为()A．(－2,3) B．(－6,0)C．[－2,3]D．[－6,0]解析：依题意，知函数f′(x)与g′(x)值域的交集为空集，∵f′(x)＝e x－2a＞－2a，g′(x)＝－3x2－2ax≤a23，∴a23≤－2a，解得－6≤a≤0.答案：D3．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝3x＋4sin x－cos x的拐点是M(x0，f(x0))，则点M()A．在直线y＝－3x上B．在直线y＝3x上C．在直线y＝－4x上D．在直线y＝4x上解析：f′(x)＝3＋4cos x＋sin x，f″(x)＝－4sin x＋cos x，由题意知4sin x0－cos x0＝0，所以f(x0)＝3x0，故M(x0，f(x0))在直线y＝3x上．故选B.答案：B4．已知函数f n(x)＝x n＋1，n∈N的图象与直线x＝1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012的值为()A．－1 B．1－log2 0132 012C．－log2 0132 012 D．1解析：由题意可得点P的坐标为(1,1)，f′n(x)＝(n＋1)·x n，所以f n(x)图象在点P处的切线的斜率为n＋1，故可得切线的方程为y－1＝(n＋1)·(x－1)，所以切线与x轴交点的横坐标为x n＝nn＋1，则log2013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012＝log2 013x1x2…x2 012＝log2 01312×23×34×…×2 0122 013＝log 2 01312 013＝－1.故选A. 答案：A5．设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋bx ，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当x ＞1时，f (x )与g (x )的大小关系是( ) A ．f (x )＞g (x ) B ．f (x )＜g (x ) C ．f (x )＝g (x )D ．f (x )与g (x )的大小关系不确定解析：由题意得f (x )与x 轴的交点(1,0)在g (x )上，所以a ＋b ＝0，因为函数f (x )，g (x )的图象在此公共点处有公切线，所以f (x )，g (x )在此公共点处的导数相等，f ′(x )＝1x ，g ′(x )＝a －bx 2，以上两式在x ＝1时相等，即1＝a －b ，又a ＋b ＝0，所以a ＝12，b ＝－12，即g (x )＝x 2－12x ，f (x )＝ln x ，令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －x 2＋12x ，则h ′(x )＝1x －12－12x 2＝2x －x 2－12x 2＝－(x －1)22x 2，因为x >1，所以h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以h (x )＜h (1)＝0，所以f (x )＜g (x )．故选B. 答案：B6．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 解析：令t ＝e x ，故x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，∴f ′(x )＝1x ＋1，∴f ′(1)＝2. 答案：27．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 切＝1，又曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线与曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线垂直，所以曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为－1，设P (a ，b )，则曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝a ＝－a －2＝－1，可得a ＝1，又P (a ，b )在y ＝1x 上，所以b ＝1，故P (1,1)． 答案：(1,1)8．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 当x ＝a 3时，f ′(x )取到最大值a 23. ∴a 23＜1，解得－3＜a ＜ 3. 答案：－3＜a ＜ 39．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值． (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解析：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得{ f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点(2，－2)的曲线的切线方程． 解析：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， 所以f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， 所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.11．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解析：(1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)， 则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② ①代入②得，x 21＋⎝⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0. 因为P 为切点，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0，得k ＝172或k ＝12.当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17. 当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. 因为P 在第一象限， 所以所求的斜率k ＝12. (2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得， x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－4. 所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.。