43 / 1843 / 18第三章 数列及数学归纳法知识结构高考能力要求1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式及前n 项和的公式，并能解决简单的实际问题．3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．4、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．高考热点分析纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用是必考内容，数列及函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用．高考复习建议 数列部分的复习分三个方面：① 重视函数及数列的联系，重视方程思想在数列中的应用．② 掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用．③ 要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和创新精神，数列综合能力题涉及的问题背景新颖，解法灵活，解这类题时，要引导学生科学合理地思维，全面灵活地运用数学思想方法．数列部分重点是等差、等比数列，而二者在内容上是完全平行的，因此，复习时应将它们对比起来复习；由于数列方面的题目的解法的灵活性和多样性，建议在复习这部分内容时，要启发学生从多角度思考问题，提倡一题多解，培养学生思维的广阔性，养成良好的思维品质．3．1 数列的概念知识要点 1．数列的概念数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N *或其子集{1，2，3，……n }的函数f (n )．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第 项．2．数列的通项公式一个数列{a n }的 及 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f (n )来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．3．在数列{a n }中，前n 项和S n 及通项a n 的关系为：=n a⎪⎩⎪⎨⎧≥==21n n a n 4．求数列的通项公式的其它方法⑴ 公式法：等差数列及等比数列采用首项及公差(公比)确定的方法．⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式．例题讲练【例1】 根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式．⑴ －312⨯，534⨯，－758⨯，9716⨯…；⑵ 1，2，6，13，23，36，…； ⑶ 1，1，2，2，3，3，…．【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项． ⑴ S n ＝3n －2 ⑵ S n ＝n 2＋3n ＋1【例3】 根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2) ⑵ a 1＝1，a n ＝113--+n n a (n ≥2)⑶ a 1＝1，a n ＝11--n a nn (n ≥2)【例4】 已知函数)(x f ＝2x －2－x ，数列{a n }满足)(log 2n a f ＝－2n ，求数列{a n }通项公式．小结归纳1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项及项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等．2．由S n 求a n 时，用公式a n ＝S n －S n －1要注意n ≥2这个条件，a 1应由a 1＝S 1来确定，最后看二者能否统一．3．由递推公式求通项公式的常见形式有：a n ＋1－a n ＝f (n )，n n a a1+＝f (n )，a n ＋1＝pa n ＋q ，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．基础训练题 一、选择题1．某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式：① a n ＝22[1＋(－1)n ] ② a n ＝n )(11-+ ③ a n ＝ ⎩⎨⎧)(0)(2为奇数为偶数n n其中可作为{a n }的通项公式的是 （ ）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③2． 函数f (x )满足f (n ＋1)＝2)(2nn f +（n ∈N *）且f (1)＝2，则f (20)＝ （ ） A ．95 B ．97 C ．105 D ．1923． （2005年山东高考）{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2005，则序号n 等于 （ ） A ．667 B ．668C ．669D ．6704． 已知数列{a n }满足a n ·a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2)，且a 1＝1，则35a a＝ （ ）A ．1315 B ．34 C ．158D ．385． 已知数列3，3，15，…)12(3-n ，那么9是它的第几项 （ ） A ．12 B ．13C ．14D ．156． 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足S n ＝90n（21n －n 2－5）（n ＝1，2，…，12）．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 （ ） A ．5月，6月 B ．6月，7月C ．7月，8月D ．8月，9月二、填空题45 / 1845 / 187． 已知a n ＝1562+n n（n ∈N *），则数列{a n }的最大项为第 项．8． 已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为 ．9． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2)13(1-na (n ≥1)，且a 4＝54，则a 1的数值是 ．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3)2)(1(++n n n ，则数列{na 1}的前n 项和T n ＝ ．三、解答题 11．（2002·天律）已知{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a n +1·a n ＝(a n －1＋2)(a n －2＋2)，n ＝3，4，5…，求a 3．12．(2005年山东高考)已知数列{a n }的首项a 1＝5．前n 项和为S n 且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5（n ∈N *）． (1) 证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2) 令f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求函数f (x )在点x ＝1处导数f 1 (1)．13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝22+n na a (n ∈N *)，求该数列的通项公式．提高训练题 14．已知a n ＝nn n 10)1(9+(n ∈N)，试问：数列{a n }有没有最大项，如果有，求出最大项；如果没有，说明理由．15．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n ，n ≥1．(1)写出数列{a n }的前3项a 1，a 2，a 3； (2)求数列{a n }的通项公式．3．2 等差数列知识要点1．等差数列的定义： － ＝d （d 为常数）． 2．等差数列的通项公式： ⑴ a n ＝a 1＋ ×d⑵ a n ＝a m ＋ ×d3．等差数列的前n 项和公式：S n ＝ ＝ ．4．等差中项：如果a 、b 、c 成等差数列，则b 叫做a 及c 的等差中项，即b ＝ ．5．数列{a n }是等差数列的两个充要条件是：⑴ 数列{a n }的通项公式可写成a n ＝pn ＋q (p , q ∈R) ⑵ 数列{a n }的前n 项和公式可写成S n ＝an 2＋bn (a , b ∈R)6．等差数列{a n }的两个重要性质：⑴ m , n , p , q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ． ⑵ 数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列．例题讲练【例1】 在等差数列{a n }中， (1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60； (2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28； (3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．【例2】 已知数列{a n }满足a 1＝2a ，a n ＝2a －12-n a a （n ≥2）．其中a 是不为0的常数，令b n ＝aa n -1． ⑴ 求证：数列{b n }是等差数列． ⑵ 求数列{a n }的通项公式．【例3】 已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{nSn }前n 项和。

求T n ．【例4】 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a 美元．问a 取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？小结归纳1．欲证{a n }为等差数列，最常见的做法是证明：a n ＋1－a n ＝d (d 是一个及n 无关的常数)．2．a 1，d 是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a 1，d ，再求其他的量，但有时运算较繁．3．对等差数列{a n }的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为－d 的等差数列进行求和．4．遇到及等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题．基础训练题 一、选择题1． 已知数列{a n }满足：a 1＝14，a n ＋1＝a n －32（n ∈N *），则使a n ·a n ＋2<0成立的n 的值是 （ ）A ．19B ．20C ．21D ．22 2． 已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有（ ） A ．a 1＋a 101＞0 B ．a 2＋a 100＜0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝513． 已知数列{a n }，a n ＝－2n ＋25，当S n 达到最大值时，n为 （ ） A ．10 B ．11C ．12D ．134． (2005年全国)如果a 1、a 2，…a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则 （ ） A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 55． 等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为 （ ） A ．a 8 B ．a 9 C ．a 10 D ．a 116． 在等差数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 1947 / 1847 / 18＋a 20的值为 （ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10二、填空题7． 等差数列{a n }中，a 1＝1，公差为d ，当a 1a 2＋a 2a 3取得最小值时，d ＝ ．8． (2003年·上海)在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ．9． 已知{n a 1}为等差数列且a 2＝2－1，a 4＝2＋1，那么a 10＝ ． 10．等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，且S 6<S 7，S 7>S 8，结合下列命题： ⑴ 当n ≤7时，S n 是递增的，当n >7时，S n 是递减的．⑵ S 9一定小于S 6． ⑶ a 7>0，a 8<0． ⑷ S 13<0．其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题序号都填上）．三、解答题11．有两个等差数列{a n }，{b n }，3272121++=++++n n b b b a a a n n ，求55b a 的值．12．已知数列{a n }前n 项和S n ＝n 2－9n ． (1) 求证：{a n }为等差数列； (2) 求S n 的最小值及相应的n ；(3) 记数列{n a }的前n 项和为T n ，求T n 表达式．13．下表给出一个“等差数阵”．ij 列的数．⑴ 写出a 45的值．⑵ 写出a ij 的计算公式．⑶ 证明正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N ＋1可以写成两个不是1的正整数之积． 提高训练题14．已知函数f (x )＝ab x 的图象过点A （4，41）和B(5，1)．(1) 求函数f (x )的解析式； (2) 记a n ＝log 2 f (n )，n 是正整数，S n 是数列{a n }的前n项和，解关于n 的不等式a n S n ≤0；(3) 对于(2)中的a n 及S n ，整数96是否为数列{a n S n }中的项？若是则求出相应的项数；若不是，则说明理由．15．设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ．⑴ 若首项a 1＝23，公差d ＝1，求满足2)(2k k S S =的正整数k ．⑵ 求所有的无穷等差数列{a n }，使得对一切正整数k都有2)(2k k S S =成立．3．3 等比数列知识要点 1．等比数列的定义：)()(＝q （q 为不等于零的常数）．2．等比数列的通项公式：⑴ a n ＝a 1q n －1 ⑵ a n ＝a m q n －m 3．等比数列的前n 项和公式：S n ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧=≠)1()1(q q 4．等比中项：如果a ，b ，c 成等比数列，那么b 叫做a 及c 的等比中项，即b 2＝ （或b ＝ ）．5．等比数列{a n }的几个重要性质：⑴ m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ． ⑵ S n 是等比数列{a n }的前n 项和且S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列．⑶ 若等比数列{a n }的前n 项和S n 满足{S n }是等差数列，则{a n }的公比q ＝ ． 例题讲练【例1】 已知等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求项数n 和公比q 的值．【例2】 设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3280，且前n 项中数值最大项为27，求数列的第2n 项．【例3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数及第四个数的和是16，第二个数及第三个数的和是12，求这四个数．【例4】 已知函数f (x )＝(x －1)2，数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的等比数列(q ≠1)，若a 1＝f (d －1)，a 3＝f (d ＋1)，b 1＝f (q －1)，b 3＝f (q ＋1)，(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 设数列{c n }对任意的自然数n 均有：12211)1(++=+++n nn a n b c b c b c ，求数列{c n }前n 项和S n ．小结归纳1．在等比数列的求和公式中，当公比q ≠1时，适用公式S n ＝qq a n --1)1(1，且要注意n 表示项数；当q ＝1时，适用公式S n ＝na 1；若q 的范围未确定时，应对q ＝1和q ≠1讨论求和．2．在等比数列中，若公比q > 0且q ≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．3．若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为x －d ，x ，x ＋d ，xd x 2)(+再依题意列出方程求x 、d 即可．4．a 1及q 是等比数列{a n }中最活跃的两个基本量． 基础训练题 一、选择题1． 在等比数列{a n }中，首项a 1<0，则{a n }是递增数列的充要条件是公比q 满足 （ ） A ．q >1 B ．q <149 / 1849 / 18C ．0<q <1D ．q <0 2． 若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋a ，则a 等于（ ）A ．3B ．1C ．0D ．－13． 已知数列1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则212b aa -的值为 （ ）A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．414． 在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…a n ＝2n －1，则22221n a a a +++ 等于（ ）A ．(2n －1)2B ．31(2n－1) C ．4n －1 D ．31(4n －1)5． 等比数列{a n }中，a n >0，a 5·a 6＝81，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于 （ ） A ．12 B ．16C ．18D ．20 6． 已知数列{a n }满足a 0＝1，a n ＝a 0＋a 1＋…＋a n －1(n ≥1)，则当n ≥1时，a n 等于 （ ）A ．2nB ．)1(21+n nC ．2n－1 D ．2n －1二、填空题7． 设k ≠0，则等比数列a ＋k ，a ＋21k ，a ＋31k 的公比是 ．8． 已知等比数列{a n }中，a 1·a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝ ．9． 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++＝ ．10．在等比数列{a n }中，a 1＝3，q ＝4，使S n ＞3000的最小自然数n ＝ ．三、解答题11．已知等比数列{a n }前n 项和S n ＝2n －1，{a n 2}前n 项和为T n ，求T n 的表达式．12．已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，a 1＋2a 2＝0，S 4－S 2＝81．(1) 求a n 的表达式；(2) 解关于n 的不等式a n ≥161． 13．已知：f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n （n ∈N *），且f (1)＝n 2． ⑴ 求a n ．⑵ 求证：0<f (31)<1．提高训练题14．等比数列{a n }的公比q ＞1，其第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n ＞n a a a 11121+++ 成立的正整数n 的取值范围．15．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n ＞0(n ＝1，2，…)(1) 求q 的取值范围；(2) 设b n ＝a n ＋2－123+n a ，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小．3．4 等差数列和等比数列的综合应用知识要点1．等差数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ． ⑵ {a n }是等差数列， 则{a kn } (k ∈N *，k 为常数)是数列．⑶ S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列．2．在等差数列中，求S n 的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．⑴ a 1> 0，d <0时，解不等式组⎩⎨⎧<≥+001n n a a 可解得S n达到最 值时n 的值．⑵ a 1<0，d>0时，解不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧可解得S n 达到最小值时n 的值．3．等比数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ．⑵ {a n }是等比数列，则{a 2n }、{na 1}是 数列． ⑶ 若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列． 例题讲练【例1】 是否存在互不相等的三个实数a 、b 、c ，使它们同时满足以下三个条件：① a ＋b ＋c ＝6② a 、b 、c 成等差数列．③ 将a 、b 、c 适当排列后成等比数列．【例2】 已知公差大于0的等差数列{n a 1}满足a 2a 4＋a 4a 6＋a 6a 2＝1，a 2，a 4，a 8依次成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ．【例3】 已知△ABC 中，三内角A 、B 、C 的度数成等差数列，边a 、b 、c 依次成等比数列．求证：△ABC 是等边三角形．【例4】 （2005年北京）数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝31S n ，n ＝1，2，3……求：⑴ a 2、a 3、a 4的值及{a n }的通项公式；⑵ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值.小结归纳 1．在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差（或等比）时，可用性质：m 、n 、p 、r ∈N*，若m ＋n ＝p ＋r ，则a m ＋a n ＝a p ＋a r （或a m ·a n ＝a p ·a r ）进行解答．2．若a 、b 、c 成等差（或等比）数列，则有2b ＝a ＋c （或b 2＝ac ）．3．遇到及三角形相关的问题时，一般要注意运用正弦定理（或余弦定理）及三角形内角和等于180°这一性质．4．在涉及a n 及S n 相关式子中用S n －1和S n 的关系表示a n 时应该注意“n ≥2”这个特点． 基础训练题 一、选择题1． 已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1、a 3、a 4成等比数列，则a 2等于 （ ） A ．－4 B ．－6C ．－8D ．－10 2． 若等差数列{a n }中，a 1>0，a 2005＋a 2006>0，a 2005·a 2006<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4008 B ．4009C ．4010D ．40113． 在等比数列中，若a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比q51 / 1851 / 18的值可能个数为 （ ） A ．1 B ．2C ．3D ．44． 已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1－a n ＝2n ，那么a 2007的值为 （ ） A ．2005×2006 B ．2006×2007C ．2007×2008D ．200725． 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6 : S 3＝1:2，则S 9 : S 3＝ （ ） A ．1:2 B ．2:3C ．3:4D ．1:36． 已知等比数列{a n }的公比为q <0，前n 项和为S n ，则S 4a 5及S 5a 4的大小关系是 （ ） A ．S 4a 5＝S 5a 4 B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5<S 5a 4D ．以上都不正确二、填空题7． 数列{a n }按下列条件给出：a 1＝2， 当n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋2，当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n ，则a 2008＝ ． 8． 已知等差数列{a n }中，102a a =公差d ＞0，则使前n 项和S n 取得最小值的自然数n 是 ．9． 若数列{a n }是等差数列， 令 b n ＝ na a a n+++ 21（n ∈N *）．则数列{b n }也是等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列，且c n >0，（n ∈N *），令d n ＝ ，则数列{d n }也是等比数列．10．在等差数列{a n }中，已知公差d ＝5，前20项的和S 20＝400，则(a 22＋a 42＋…a 202)－(a 12＋a 32＋…a 192)＝ ．三、解答题11．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和并且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1，2…)，a 1＝1．⑴ 设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明{b n }是等比数列；⑵ 设C n ＝nn a2(n ＝1，2，…)，求证{C n }是等差数列．12．等差数列{a n }中，已知公差d ≠0，a n ≠0，设方程a r x 2＋2a r ＋1x ＋a r ＋2＝0（r ∈N *）是关于x 的一组方程． ⑴ 证明这些方程必有公共根，并求出这个公共根．⑵ 设方程a r x 2＋2a r ＋1x ＋a r ＋2＝0的另一根记为m r ，且m 1＝2，证明{11+r m }也是等差数列． 13．已知等比数列{a n }共有m 项(m ≥3)，且各项均为正数，a 1＝1，a 1＋a 2＋a 3＝7．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b m ＝a m ，判断数列{a n }前m 项和S m 及数列{b n －21}的前m 项和T m 的大小，并加以证明．提高训练题 14．（2005年福建）已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1、a 2、a 3成等差数列． （1）求q 的值.（2）设{b n }是以2为首项，以q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 及b n 的大小，并说明理由．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n (n＋1)，(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝n nS 2，如果对一切正整数n 都有b n ≤t ，求t 的最小值．3．5 数列求和知识要点求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 1．等差数列的前n 项和公式： S n ＝ ＝ ． 2．等比数列的前n 项和公式： ① 当q ＝1时，S n ＝ ． ② 当q ≠1时，S n ＝ ．3．倒序相加法：将一个数列倒过来排列及原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．4．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．5．裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．例题讲练【例1】 已知数列：1，⎪⎭⎫ ⎝⎛+211，⎪⎭⎫⎝⎛++41211，⎪⎭⎫⎝⎛+++8141211，…，⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-12141211n ，求它的前n项的和S n ．【例2】 求S n ＝1＋211+＋3211++＋…＋n++++ (3211)．【例3】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝)()21(*2N n a n ∈+，b n ＝a n ·2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【例4】 求S n ＝1!＋2·2！＋3·3！＋…＋n ·n ！．小结归纳1．求和的基本思想是“转化”．其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式；其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和．2．对通项中含有(－1)n 的数列，求前n 项和时，应注意讨论n 的奇偶性．3．倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n 项和用到的方法，在复习中应给予重视．基础训练题 一、选择题1． 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 6＋a 10为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 （ ） A ．S 6 B ．S 11C ．S 12D ．S 132． 在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项和及偶数项和之比为 （ ）A ．n n 1+ B ．n n 21+C ．nn 12+ D ．13． 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6：S 3＝1:2，则S 9：S 3等于 A ．1:2 B ．2:3C ．3:4D ．1:34． 数列{a n }的通项公式是a n ＝11++n n ，若前n 项之和为10，则项数n 为 （ ） A ．11 B ．9953 / 1853 / 18C ．120D ．1215． 若数列{a n }的通项公式为a n ＝n n2，则前n 项和为（ ）A ．1－n 21B ．2－121-n －n n2C ．n (1－n 21)D ．2－121-n ＋n n26． 将棱长相等的正方体按右下图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第2005层正方体的个数是 （ ） A ．4011 B ．4009 C ．2011015 D ．2009010二、填空题7． －1＋3－5＋7－9＋…＋(－1)n(2n －1)＝ ． 8． 等差数列{a n }中，a 1＝3，前n 项和为S n ， 且S 3＝S 12，则a 8＝ ．9．数列{a n }的通项为a n ＝2n －7，(n ∈N*)，则| a 1 |＋| a 2 |＋…＋| a 15 |＝ ． 10．关于数列有下面四个判断：①若a 、b 、c 、d 成等比数列，则a ＋b ，b ＋c ，c ＋d 也成等比数列；②若数列{a n }既是等差数列也是等比数列，则{a n }为常数列；③数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n －1(a ∈R)，则数列{a n }为等差数列或等比数列；④数列{a n }为等差数列时且公差不为零，则数列{a n }中不会有a m ＝a n （m ≠n ）．其中正确判断的序号是 ． （注：把你认为正确的序号都填上．）三、解答题11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝10n －n 2(n ∈N *)，又b n＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n ．12．求和1＋3a ＋5a 2＋…＋(2n －1)a n －1． 13．（2005年湖北文科）设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1. ⑴ 求数列{a n }和{b n }通项公式．⑵ 设C n ＝nnb a ，求数列{C n }前n 项和T n ．提高训练题14．以数列{a n }的任意相邻两项为坐标的点P n (a n 、a n ＋1)均在一次函数y ＝2x ＋k 的图象上，数列{b n }满足条件：b n ＝a n ＋1－a n ，且b 1≠0．⑴ 求证：数列{b n }为等比数列．⑵ 设数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若S 6＝T 4，S 5＝－9，求k 的值．15．已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，S k＝2550．⑴ 求a 及k 的值．⑵ 求)111(lim 21n n S S S +++∞→ ．… …3．6 * 数学归纳法知识要点1．数学归纳法证明的步骤是：⑴ ． ⑵ ． 2．数学归纳法是证明有关自然数n 的命题的一种方法，应用广泛．用数学归纳法证明一个命题必须分为两个步骤，第一步验证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步推论命题正确性的可传递性，是递推的依据，两步缺一不可，证明步骤及格式的规范是数学归纳法的一个特征．3．命题成立的起始值，不一定是自然数1．4．由k ⇒k ＋1必须运用归纳假设．例题讲练【例1】 证明：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)·…·(2n )＝2n·1·3·5·…·(2n －1)（n ∈N *）【例2】 用数学归纳法证明 x n －y n 能被x －y 整除 （n ∈N *）．【例3】 设a 0为常数，且a n ＝3n －1－2a n －1（n ∈N *），证明：对任意n ≥1，012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-．【例4】 平面内有n 条直线，其中任两条不平行，任三条不共点，求证：这n 条直线把平面分成12)1(++n n 个区域．小结归纳使用数学归纳法证明命题，第一步是验证，一般较简单，但不能省略；第二步推证，必须用到归纳假设，否则不是数学归纳法．第二步从k 到k ＋1时，注意项数的变化．基础训练题一、选择题1． 设f (n )＝nn n n 21312111+++++++ （n ∈N *），则f (n ＋1)－f (n )等于 （ ）A ．121+n B ．221+nC ．121+n ＋221+nD ．121+n －221+n2． 用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝aa n --+112(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1成立时，左边计算所得结果为 （ ） A ．1 B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 33． 用数学归纳法证明不等式2n ≥n 2时，n 应取的第一个值为 （ ） A ．1 B ．2C ．3D ．44． 用数学归纳法证明“24111312111≥++++++++n n n n n 24111312111≥++++++++n n n n n55 / 1855 / 18241113121≥++++++n n n n ”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边应添加的项是 （ ）A ．)1(21+kB ．121+k ＋221+k C ．121+k ＋221+k －11+kD ．121+k ＋221+k －11+k －21+k5． 设)(n f ＝1＋1313121-+++n （n ∈N *），那么)1(+n f －)(n f ＝（ ） A ．231+n B ．n 31＋131+nC ．131+n ·231+nD ．n 31＋131+n ＋231+n6． 设凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线的条数f (n ＋1)等于 （ ） A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n －1C ．f (n )＋nD ．f (n )＋n －2 二、填空题7． 求证x n ＋y n （n ∈N *）被x ＋y 整除，当第二步假设n＝2k －1命题成立时，进而需证明n ＝ 时命题成立．8． 用数学归纳法证明：1－121413121-+-+n －n n n n 21211121+++++= ，第一步应验证左式是 ，右式是 ．9． 若f (n )＝1＋1213121++++n （n ∈N *），则当n ＝1时，f (1)＝ ．10．若数列{a n }满足：a n ＋1＝1－na 1，且a 1＝2，则a 2006＝ ．三、解答题11．试证S n ＝n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3能被9整除．12．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)213．设a n ＝1＋n13121+++ （n ∈N *），试证明：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝n （a n －1），其中n ≥2．提高训练题14．已知n ≥2，n ∈N *，求证：1221)1211()711)(511)(311(+>-++++n n 15．（2005年·重庆）数列{a n }满足a 1＝1且a n ＋1＝(1＋nn +21)a n ＋n 21(n ≥1)． (1) 用数学归纳法证明：a n ≥2(n ≥2)；(2) 已知不等式ln(1＋x )＜x 对x ＞0成立，证明：a n ＜e 2(n ≥1)其中无理数e ＝2.71828…．3．7 * 归纳、猜想、证明知识要点从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，这个过程叫做“归纳——猜想——证明”．它是一个完整的思维过程，是人们从事科学研究，认识发现规律的有效途径，也是培养创新思维能力的有效办法．这类题型是高考命题的热点之一．例题讲练【例1】 设数列{a n }满足a n ＋1＝12+-n nna a ，n ＝1,2,3,……⑴ 当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式．⑵ 当a 1≥3时，证明对所有的n ∈N *，有a n ≥n ＋2．【例2】 已知数列{a n }满足S n ＝2n －a n ，（n ∈N *），求出前四项，猜想出a n 的表达式，并证明．【例3】 是否存在自然数m 使)(n f ＝(2n ＋7)·3n ＋9对任意自然数都能被整数m 整除．若存在，求m 最大值；若不存在，则说明理由．【例4】 数列{a n }中，a 1＝－32，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋nS 1＋2，其中n ≥2．⑴ 求出S 1、S 2、S 3、S 4．⑵ 猜想S n 的表达式，并证明你的猜想．小结归纳1．“归纳、猜想、证明”的思想方法实质上是由特殊到一般的认识事物的重要方法，是不完全归纳法及完全归纳法的结合使用．一般是通过观察、分析等手段，利用不完全归纳法得出一个结论，再用数学归纳法（或其它方法）给出证明．2．归纳猜想能培养探索问题的能力，所以成为高考的重点，应引起足够的重视．此类问题分为归纳型问题和存在型问题．解归纳型问题，需从特殊情况入手，通过观57 / 1857 / 18察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想．基础训练题 一、选择题1． 利用数学归纳法证明不等式“1＋1213121-+++n ＞2n（n ≥2，n ∈N *）”的过程中，由“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边增加了 （ ）A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项2． 观察下列所给式子：1＋23212<，35312122<+，1＋47413121222<++，…，则可归纳出 （ ）A ．1＋n n n113121222+<++B ．1＋n n n1213121222+<++C ．1＋12)1(13121222++<+++n n n D ．1＋11213121222++<++n n n3． 已知数列211⋅，321⋅，431⋅，…，)1(1+n n ，经过计算S 1、S 2、S 3，可由此推测S n 等于 （ ） A ．12+n nB ．1+n nC ．121+n D ．121+-n n4． 如果命题p (n )对n ＝k 成立，那么它对n ＝k ＋2成立，又若p (n )对n ＝2成立，则p (n )对所有 （ ） A ．正整数n 成立B ．正偶数n 成立C ．正奇数n 成立D ．大于1的自然数n 成立5． 数列{a n }满足a 1＝21，a n ＋1＝1－n a 1，则a 30等于（ ）A ．21B ．－1C ．2D ．36． 一机器狗每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器狗按前进2步，然后再后退1步的规律移动．若将此机器狗放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距离为1单位长度，令P(n )表示第n 秒时机器狗所在位置的坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是（ ） A ．P(3)＝1 B ．P(5)＝3C ．P(2002)＝667D ．P(2004)<P(2005)二、填空题7． 已知f (x )＝22+x x，x 1＝1，x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N *)，则x 2，x 3，x 4的值分别为 ，猜想x n ＝ ． 8． 若给出下列式子：1＝1，1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n 个式子为 ．9． 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝1221+-n a (n ∈N *，n ≥2)，猜想{a n }的通项公式a n ＝ ．10．已知A n ＝2＋4＋6＋…＋2n ，B n ＝1＋2＋4＋…＋2n －1(n ∈N *)，试猜想A n 及B n 的大小关系是 （不要求证明）．三、解答题11．已知数列 {a n } 前n 项和为S n ， 且a 1＝1， S n ＝n 2a n ，(n ∈N *)．⑴ 试求S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式． ⑵ 证明你的猜想，并求a n 的表达式．12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2 a n ＋1．请求出a 2、a 3、a 4，猜想{a n }的通项公式并加以证明．13．是否存在常数a 、b ，使得等式：3211⨯⨯＋4321⨯⨯＋5431⨯⨯＋…＋)2)(1(1++n n n ＝)2)(1(42+++n n bn an 对一切正整数n 都成立？并证明你的结论．提高训练题14．设数列{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，对于所有自然数n ，a n 及2的等差中项等于S n 及2的等比中项.⑴ 写出数列{a n }的前3项.⑵ 求数列{a n }的通项公式并写出推理过程．15．某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材存量． ⑴ 求a n 的表达式．⑵ 为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不小于a 97，若b ＝a 7219，则该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（取lg2＝0.30）单 元 测 试一、选择题1． 若数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝log 3(n ＋1)，则a 5等于（ ） A ．65logB ．563logC ．63logD ．53log2． 若f (1)＝3，f (n ＋1)＝31)(3+n f ，（n ∈N *），则f (100)等于 （ ） A ．30 B ．32C ．34D ．363． 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－1131a 的值为 （ ）A ．14B ．15C ．16D ．174． 等比数列前n 项和S n ＝2n －1，则前n 项的平方和为 （ ）A ．(2n －1)2B ．31(2n －1)2C ．4n －1D ．31(4n －1)5． 在等比数列{a n }中，a 3和a 5是二次方程x 2＋kx ＋5＝0的两个根，则a 2a 4a 6的值为 （ ）A ．55±B ．55C ．－55D ．256． 在一个数列中，若每一项及其后一项的积为同一个常数（有限数列的最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为“公积”。