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第六章
数列与数学归纳法
2．一些常见数列的前 n 项和公式 n（n＋1） (1)1＋2＋3＋4＋„＋n＝ ； 2
2 n (2)1＋3＋5＋7＋„＋(2n－1)＝__________；
n2＋n ． (3)2＋4＋6＋8＋„＋2n＝__________
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数列与数学归纳法
3．数列求和的常用方法 (1)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的 和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可 用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和即是用此法推导的． (2)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对 应项之积构成的， 那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求， 如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的．
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数列与数学归纳法
第4讲
数列求和
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数列与数学归纳法
1．基本数列求和方法
n（n－1） n（a1＋an） na1＋ d (1)等差数列求和公式：Sn＝ ＝_________________ ． 2 2
na1，q＝1， a1（1－qn） (2)等比数列求和公式：Sn＝a1－anq 1－q ，q≠1. ＝__________ 1－ q
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数列与数学归纳法
【解】 (1)由 a1＝2，an＋1＝2an，得 an＝2n(n∈N*)． 由题意知：当 n＝1 时，b1＝b2－1，故 b2＝2. 1 当 n≥2 时， bn＝bn＋1－bn， n bn＋1 bn 整理得 ＝ ， n＋1 n 所以 bn＝n. 当 n＝1 时，也符合 bn＝n，综上 bn＝n(n∈N*)．
解析：选 D.an＋2Sn－1＝n⇒an＋1＋2Sn＝n＋1⇒an＋1－an＋2an ＝ 1⇒an＋1＋an＝ 1⇒S2
017＝ a1＋ (a2＋ a3)＋„＋ (a2 016＋ a2 017)
＝1 008³1＋1＝1 009，故选 D.
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数列与数学归纳法
1 1 1 1 已知数列：1 ，2 ，3 ，„，n＋2n，„，则其前 n 项 2 4 8 和关于 n 的表达式为________．
解析：设所求的前 n 项和为 Sn，则 1 1 1 n（n＋1） 1 Sn＝(1＋2＋3＋„＋n)＋ ＋ ＋„＋ n＝ ＋1－ n. 2 4 2 2 2
n（n＋1） 1 答案： ＋1－ n 2 2
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已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn 且 an ＝ n· 2n ，则 Sn ＝ ________．
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数列与数学归纳法
1 19 1－2 2 1 19 ＝ ＋ － 11 2 1 2 1－ 2
10 3 ³ 2 －23 3 1 19 ＝ － 9－ 11＝ ， 2 2 2 211
3³210－23 3 049 所以 S10＝ ＝ . 210 1 024
3 049 答案： 1 024
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数列与数学归纳法
裂项相消法求和(高频考点)
裂项相消法求和是每年高考的热点，题型多为解答题第 二问，难度适中．主要命题角度有： 1 (1)形如 an＝ 型； n（n＋k） 1 (2)形如 an＝ 型； n＋k＋ n kan (3)形如 an＝ (a>0，a≠1)型． n n＋1 （a －1）（a －1）
解：(1)设等差数列{bn}的公差为 d.
3＋3d＝3q， q＝3， q＝1， 则有 或 (舍去)， 2 解得 3＋12d＝3q ， d＝2 d＝ 0
所以 an＝3n，bn＝2n＋1.
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(2)由(1)知 cn＝(－1)n(2n＋1)＋3n， 则 S2n＝(3＋ 32＋ 33＋„＋ 32n)＋ {(－3)＋5＋ (－7)＋ 9＋„＋ [－(4n－1)]＋(4n＋1)} 3（1－32n） ＝ ＋[(5－3)＋(9－7)＋„＋(4n＋1－4n＋1)] 1－3 32n 1－3 ＝ ＋2n. 2
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数列与数学归纳法
判断正误(正确的打“√”，错误的打“³”) 1 1 1 (1)当 n≥2 时， 2 ＝ － .( ) n －1 n－1 n＋1 ³ (2)利用倒序相加法可求得 sin21°＋sin22°＋sin23°＋„＋ sin288°＋sin289°＝44.5.( √ ) (3)若 Sn＝a＋2a2＋3a3＋„＋nan，当 a≠0，且 a≠1 时，求 Sn 的值可用错位相减法求得．( √ )
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．数列 ， ， ， ，„，的前 10 项之和为________． 2 4 8 16 1 3 5 19 解析：S10＝ ＋ ＋ ＋„＋ 10，① 2 4 8 2
1 1 3 17 19 所以 S10＝ ＋ ＋„＋ 10＋ 11.② 2 4 8 2 2 ①－②得 2 19 1 1 2 2 S ＝ ＋ ＋ ＋„＋210－ 11 2 10 2 4 8 2
1 1 1 1 1 1 n 所以 Sn＝1－ ＋ － ＋„＋ － ＝1－ ＝ ， 因为 2 2 3 n n＋1 n＋1 n＋1 10 10 n Sn＝ ，所以 ＝ ， 11 11 n＋1 解得 n＝10，故选 C.
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数列与数学归纳法
(2018· 绍兴一中高三期末考试)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，当 n≥2 时，an＋2Sn－1＝n，则 S2 017＝( A．1 006 C．1 008 B．1 007 D．1 009 )
＋
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错位相减法求和
[典例引领] 已 知 数 列 {an} 和 {bn} 满 足 a1 ＝ 2 ， b1 ＝ 1 ， an ＋ 1 ＝ 1 1 1 2an(n∈N )，b1＋ b2＋ b3＋„＋ bn＝bn＋1－1(n∈N*)． 2 3 n
*
(1)求 an 与 bn； (2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn.
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(2)由(1)知 anbn＝n· 2n， 因此 Tn＝2＋2³22＋3³23＋„＋n³2n， 2Tn＝22＋2³23＋3³24＋„＋n³2n 1，
＋
所以 Tn－2Tn＝2＋22＋23＋„＋2n－n³2n 1.
＋
故 Tn＝(n－1)2n 1＋2(n∈N*)．
＋
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－
2，n＝1， n 2 所以 Tn＝3 －n －5n＋11 * ， n ≥ 2 ， n ∈ N . 2
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数列与数学归纳法
分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分 组转化法求{an}的前 n 项和；
bn，n为奇数， (2)通项公式为 an＝ 的数列，其中数列{bn}， cn，n为偶数
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数列与数学归纳法
2n－1 2n＋1 1 3 5 7 又 Tn＝ 2＋ 3＋ 4＋„＋ n ＋ n＋1 ， 2 2 2 2 2 2 两式相减得 1 2n＋1 1 3 1 1 Tn＝ ＋ 2＋22＋„＋ n－1 － n＋1 ， 2 2 2 2 2n＋5 所以 Tn＝5－ n . 2
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数列与数学归纳法
错位相减法求和策略 (1)如果数列{an}是等差数列， {bn}是等比数列， 求数列{an² bn} 的前 n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以 等比数列{bn}的公比，然后作差求解． (2)在写“Sn” 与“qSn” 的表达式时应特别注意将两式“错项对 齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应 分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解．
＝
答案：(n－1)2n 1＋2
＋
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分组转化法求和
[典例引领] (2016· 高考浙江卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S2 ＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*. (1)求通项公式 an； (2)求数列{|an－n－2|}的前 n 项和．
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{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．
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[通关练习] 1．数列{an}的通项公式 an＝2n－n，前 n 项之和为 Sn，则 Sn ＝________．
n 2 （ 1 － 2 ） 1 2 n 解析：Sn＝2 ＋2 ＋„＋2 －(1＋2＋„＋n)＝ 1－2 2 n（1＋n） n ＋n＋4 n＋ 1 － ＝2 － . 2 2
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(2018· 宁波市余姚中学高三期中 )已知数列{an}满足：an＝ 1 10 ，且 Sn＝ ，则 n 的值为( 11 n2＋n A．8 C．10 ) B．9
D．11 1 1 1 1 解析：选 C.因为 an＝ 2 ＝ ＝ － ， n ＋n n（n＋1） n n＋1
解：(1)设{an}的公比为 q，
2 由题意知：a1(1＋q)＝6，a2 q ＝ a q 1 1 .
又 an>0， 解得：a1＝2，q＝2， 所以 an＝2n.
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数列与数学归纳法
（2n＋1）（b1＋b2n＋1） (2)由题意知：S2n＋1＝ ＝(2n＋1)bn＋1， 2 又 S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0， 所以 bn＝2n＋1. bn 令 cn＝ ， an 2n＋1 则 cn＝ n ， 2 2n－1 2n＋1 3 5 7 因此 Tn＝c1＋c2＋„＋cn＝ ＋ 2＋ 3＋„＋ n－1 ＋ n ， 2 2 2 2 2