把点(n,an)画在平面直角坐标系中
通项
公
把数列的通项使用公式表示的方法
公式
式
递推 使用初始值 a1 和 an＋1＝f(an)或 a1,a2 和 an＋1＝f(an,an－1) 法
公式 等表示数列的方法
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3.an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 an＝Error! 4．数列的分类
数列的 通项
数列{an}的第 n 项 an
通项公式
数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的关系能用公式 an＝f(n)表示,这个 公式叫做数列的通项公式
前 n 项和 2.数列的表示方法
数列{an}中,Sn＝a1＋a2＋…＋an 叫做数列的前 n 项和
列表法
列表格表示 n 与 an 的对应关系
图象法
§7.1 数列的概念与简单表示法
最新考纲
考情考向分析
了解数列的概念和表示方法(列表、 图象、公式).
以考查 Sn 与 an 的关系为主,简单的递推关系 也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、 填空题的形式进行考查,难度为低档.
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照一定顺序排列着的一列数
数列的项
数列中的每一个数
(2)相邻项的变化特征．
(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征．
(4)各项符号特征等．
(5)若关系不明显时,应将部分项作适当的变形,统一成相同的形式．
跟踪训练 1(1)(2018·宁波北仑中学期中)数列 3,－ ,5,－7 2 48
A．an＝(－1)n·2n2＋n 1 B．an＝(－1)n·2n2＋n 1 C．an＝(－1)n＋1·2n2＋n 1 D．an＝(－1)n＋1·2n2＋n 1
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列 无穷数列
项数有限 项数无限
项与项间的 大小关系
概念方法微思考
递增数列 递减数列 常数列
an＋1__>__an an＋1__<__an
an＋1＝an
其中 n∈N*
1．数列的项与项数是一个概念吗？
提示 不是,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号．
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参考答案 21 解析 由题意知,a2＝4a1＋1＝5,a3＝4a2＋1＝21. 3．[P33A 组 T5]根据下面的图形及相应的点数,写出点数组成的数列的一个通项公式 an＝________.
参考答案 5n－4
Hale Waihona Puke 题组三 易错自纠4．已知 an＝n2＋λn,且对于任意的 n∈N*,数列{a }是n 递增数列,则实数 λ 的取值范围是________． 参考答案 (－3,＋∞)
,…的9 一个通项公式为( ) 16
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参考答案 D
解析 数列各项的分母为等比数列{2n},分子为 2n＋1,可用(－1)n＋1 来控制各项的符号,故数列的一个通
项公式为 an＝(－1)n＋1·2n2＋n 1.
题型一 由数列的前几项求数列的通项公式 例 1 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式：
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(1)2, 4, , 6, ,8…；10(2)－1,7,－13,19,…； 3 15 35 63 99
(3)1,2,,89, ,…；25(4)5,55,555,5555,…. 22 2
解 (1)这是一个分数数列,其分子组成偶数数列,而分母可分解为 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一项
都是两个相邻奇数的乘积,分子依次为 2,4,6,…,相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为 an＝ 2n－12n2n＋1. (2)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(－1)n,观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前
一项的绝对值大 6,故数列的一个通项公式为
an＝(－1)n(6n－5)．
(3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察．即 , , , 1, 4,…9, 16 25 222 2 2
2．数列的通项公式 an＝3n＋5 与函数 y＝3x＋5 有何区别与联系？ 提示 数列的通项公式 an＝3n＋5 是特殊的函数,其定义域为 N*,而函数 y＝3x＋5 的定义域是 R,a ＝3n n ＋5 的图象是离散的点,且排列在 y＝3x＋5 的图象上．
题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × ) (2)所有数列的第 n 项都能使用公式表达．( × ) (3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (4)1,1,1,1,…,不能组成一个数列．( × ) (5)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列．( × ) (6)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn,则对∀n∈N*,都有 a ＝n S －n S n－.(1 × ) 题组二 教材改编 2．[P33A 组 T4]在数列{an}中,已知 a1＝1,an＋1＝4an＋1,则 a3＝________.
参考答案 30
( ) 解析 an＝－n2＋11n＝－
n－121
2＋121, 4
∵n∈N*,∴当 n＝5 或 n＝6 时,a 取n 最大值 30.
6．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋1,则 an＝________.
参考答案 Error!
解析 当 n＝1 时,a1＝S1＝2,当 n≥2 时, an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1, 故 an＝Error!
解析 因为{an}是递增数列,所以对任意的 n∈N*,都有 a n＋>1a ,即n (n＋1) ＋2 λ(n＋1)>n ＋2 λn, 整理,得 2n＋1＋λ>0,即 λ>－(2n＋1)．(*)
因为 n≥1,所以－(2n＋1)≤－3,要使不等式(*)恒成立,只需 λ>－3.
5．数列{an}中,an＝－n ＋2 11n(n∈N*),则此数列最大项的值是________．
分子为项数的平方,从而可得数列的一个通项公式为 a ＝n
n.2 2
(4)将原数列改写为5×9, ×599, ×9599,…,易知数列 9,99,999,…的通项为 10n－1,故所求的数列的
99
9
一个通项公式为 an＝59(10n－1)．
思维升华求数列通项时,要抓住以下几个特征：
(1)分式中分子、分母的特征．