数列与数学归纳法专项训练1.如图，曲线2(0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形△OP 1Q 1，△Q 1P 2Q 2，…△Q n-1P n Q n …设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S .（1）求1a 的值; （2）求数列{n a }的通项公式n a 。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2. 设{}{},n n a b 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有21,,n n n a b a +成等差数列，2211,,n n n b a b ++成等比数列．（1）试问{}n b 是否成等差数列？为什么？（2）如果111,2a b ==，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．3. 已知等差数列｛n a ｝中，2a ＝8，6S ＝66.（Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式；（Ⅱ）设n n a n b )1(2+=，n n b b b T +++= 21，求证：n T ≥16.4. 已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{nb ，满足11-=n n a b （+∈N n ） （1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记++=21b b S n …n b +，求)1(lim -∞→n b n n ．5. (Ⅰ (Ⅱ (Ⅲn 项的6. （1（27. 已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*∈N n ，都有n n pa p S p -=⋅-)1(（p 为大于1的常数），并记nn n n n n n S a C a C a C n f ⋅⋅++⋅+⋅+=21)(2211 .（1）求n a ； （2）比较)1(+n f 与)(21n f pp ⋅+的大小*∈N n ； （3）求证：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅-+≤≤⋅---=∑1212111111)()()12(n n i p p p p i f n f n (*∈N n ).8. 已知n N *∈，各项为正的等差数列{}n a 满足263521,10a a a a ⋅=+=，又数列{}lg n b 的前n 项和是()()11lg312n S n n n n =+--。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证数列{}n b 是等比数列；（3）设n n n c a b =，试问数列{}n c 有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由。

9. 设数列{}n a 前项和为n s ,且(3),(32)+∈+=+-N n m ma s m n n ,其中m 为常数,m .3≠(1) 求证:是等比数列;若数列{}n a 的公比q=f(m),数列{}n b 满足),2,)((231,11≥∈==+-n N n b f b a b n n 求证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为等差数列,求n b .10. 已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且0]1)1[(22])1(3[2=--+--++n n n n a a ，*N n ∈．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；11. 组13T =-（1（2（312. 23010S （Ⅰ）求{}n a 的通项；（Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。

13. 设数列}{n a 是首项为0的递增数列，（N n ∈），,)(1sin)(n n a x n x f -=,[n a x ∈]1+n a满足：对于任意的b x f b n =∈)(),1,0[总有两个不同的根。

（1）试写出)(1x f y =，并求出2a ；（2）求n n a a -+1，并求出}{n a 的通项公式；（3）设n n n a a a a a S 14321)1(--++-+-= ，求n S 。

14.2的等(Ⅰ15. A 口)时，在B （1)的关（2）n S16. 已知数列}{n a ，其前n 项和S n 满足λλ(121+=+n n S S 是大于0的常数），且a 1=1，a 3=4.（1）求λ的值；（2）求数列}{n a 的通项公式a n ；（3）设数列}{n na 的前n 项和为T n ，试比较2n T 与S n 的大小.17. 定义：若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，12a =，且2122n nn a a a +=+，其中n 为正整数． (1)设21n n b a =+，证明：数列{}n b 是“平方递推数列”，且数列{lg }n b 为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列” {}n b 的前n 项之积为n T ，即12(21)(21)(21)n n T a a a =+++，求数列{}n a 的通项及n T 关于n 的表达式；(3)记21log n n a n c T +=，求数列{}n c 的前n 项之和n S ，并求使2008n S >的n 的最小值．18.C 2 （ A C （19. （1 （220. 已知数列{a n }中，a 11=，a a a n n n =+--111（n ＝2，3，4，…） （I ）求a a 23、的值；（II ）证明当n ＝2，3，4，…时，2132n a n n -<≤-21. 已知等差数列{an }中，a S n38=，是其前n项的和且S20610=（I）求数列{an}的通项公式。

（II）若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，按原来的顺②11a…1(24. 已知f(x)=log2(x+m),m∈R（1）如果f(1)，f(2)，f(4)成等差数列，求m的值；（2）如果a,b,c是两两不等的正数，且a,b,c依次成等比数列，试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论。

25. 已知等差数列{a n }的公差d>0.S n 是它的前n 项和，又441S 与661S 的等比中项是117+a ，441S 与661S 的等差中项是6，求a n 。

26. {a 3，…，}n b27. x 轴设1x （I （（答案：1. 解：①由条件可得11112P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,代入2(0)y x y =≥得21111312,0,423a a a a =>∴=②12n n S a a a =+++ ∴1111()2n n n n P S a ++++；代入曲线2(0)y x y =≥并整理得2113142n n n S a a ++=-,∴于是当*2,n n N ≥∈时,221113131()()4242n n n n n n n a S S a a a a -++=-=--- 即11113()()()24n n n n n n a a a a a a ++++=+⋅-*1120,(2,)3n n n n a a a a n n N ++>>∴-=≥∈又当2122231421,,(4233n S a a a ==-∴=-时舍去）；2123a a ∴-=,故 *12()3n n a a n N +-=∈ ∴所以数列{n a }是首项为23、公差为23的等差数列, 23n a n =。

2. 2221n n ab + （因为0,n n a b >1n n b +，从而当1n b -，代入式（1）得1n n b b b -=+是等差数列．（223,a b ==从而111111221...21223111n n S n n n n ⎢⎥ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3. 解：（Ⅰ）11186,265666224n a d a d a d a n d+=⎧⎪⇒==⎨⋅+=⎪⎩∴=+（Ⅱ）2211(1)1)(24)12n n b n a n n n n ===-+++++（， 121111111123344512n n T b b b n n =+++=-+-+-++-++， =1122n -+ 而1122n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是递增数列 ， 1111236n T T ∴≥=-=≥16. 4. （1而 ∴ ∴ （ ∴ 为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1． （3）2)5)(1(2)25225)(1(1-+=-+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ， ∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim 1．5. (Ⅰ)欲使数列{a n }是一个常数数列，则a n +1=23na += a n 又依a 1>0，可得a n >0并解出：a n =23，即a 1 = a n =23(Ⅱ)研究a n +1－a n =23n a +－231-+n a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++---2323211n n n n a a a a (n ≥2)注意到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-232321n n a a >0 因此，可以得出：a n +1－a n ，a n －a n －1，a n －1－a n －2，…，a 2－a 1有相同的符号7’(6. （1令∵t f ('∴另令t g 2t∴g(t)在),1(+∞上递增，∴g(t)>g(1)=0 ∴tt 11ln -> 综上得xx x x 11ln 11<+<+ （2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得112111ln 23ln 12ln 13121-+++<-+++<+++n n n n即得11211ln 13121-+++<<+++n n7. (1)易求得nn p a =（2）nn n n n nn n n p p p S a C a C a C n f -⋅+⋅-=⋅⋅++⋅+⋅+=11)21(2121)(2211 作差比较易得：)(21)1(n f pp n f +<+ （3由（∑-=-⎥⎦⎤+∴12112)21n i n p p f 再证f f )1( 而(1-)(211)21)(1(211)21(12(n f p p p p p p p p f nn n n =-+-=-⋅+⋅-=∴同理：)(2)22()2(n f n f f >-+，)(2)32()3(n f n f f >-+，……，)(2)1()12(n f f n f >+-以上各式相加得：[])()12(2)12()2()1(2n f n n f f f ->-+++即)()12()(121n f n i f n i ->∑-=.8. （1）263510a a a a +=+=，又2621a a ⋅=2637a a =⎧∴⎨=⎩ 或 2673a a =⎧⎨=⎩若2673a a =⎧⎨=⎩，则9n a n =-，101a =-与0n a >矛盾；（2） （3）1kk c c -≥⎩∴数列{}n c 有最大项，最大项是78998110c c ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭。