H e j0 1 试确定G和p使幅度特性满足： 2 j 4 H e 1 2
1 2
H z
G
1 pz
解：在 0 处，幅度为1，得到： G 2 j0 H e 1,即G 1 p 2 1 p 在 4 处，幅度为1
x(n) x(n)
0.4
理想低通滤波器的 单位脉冲响应
0.2 0 -0.2 -10 0.4 0 10 20 n 30 40 50
x(n)
理想低通的近似实现
0.2 0 -0.2 -10 0 10 20 n 30 40 50
hN ( N ) h(n ) RN (n ) 1 H N (e ) H (e j ) * RN (e j ) 2
1.数字滤波器与数字滤波 滤波： 改变输入信号的频谱结构，频率选择器; 对信号进行检测和参数估计; 数字滤波器： 对输入信号的进行数值运算的方法； 模拟滤波器： 电阻、电容、电感及有源器件等构成 2.数字滤波器的实现方法 用软件在计算机上实现 用专用的数字信号处理芯片 用硬件


3.数字滤波器的可实现性 要求系统因果稳定 设计的系统极点全部在单位圆内。 差分方程的系数或系统函数的系数为实数 系统的零极 点必须共轭成对出现，或者是实数。 4.数字滤波器的种类 经典滤波器:用线性系统构成的滤波器； 现代滤波器：建立在随机信号处理的理论基础上 滤波特性——数字高通、数字低通、数字带通、数字带阻；
式中， n0是一个正整数， c 称为通带截止频率。 其幅度特性和相位特性图形如下：
H (j )


1
c
O c
c
c O

滤波器的单位脉冲响应为：
1 1 j jn h(n ) H (e )e d 2 2 sin n n0 c h(n ) n n0
H z h n z n , 式中h n 是其单位脉冲响应
n 0 N 1
5.2 理想数字滤波器
理想滤波器是一类很重要的滤波器，对信号进行滤波能够达到 理想的效果，但是只能近似实现。设计的时候可以把理想滤波 器作为逼近标准用。 本节主要讲述： 5.2.1 理想数字滤波器的特点及分类 5.2.2 理想滤波器的可实现性
一阶低通滤波器的带宽
a
精确带宽
近似带宽
0.6
0.7
0.49
0.40
0.30
0.35
0.22 0.16 0.10
0.8 0.85 0.9 0.95
0.20
0.05
0.15 0.10 0.05
例5.3.1 假设模拟信号 xa (t ) sin 7t sin 200t ，设 计一个低通数字滤波器将信号中的高频分量滤除。 解: 确定采样间隔T：显然要选择 T</200=0.0157，确定T=0.015。 数字频率：低频分量 7 0.015 0.105rad T 高频分量 200 0.015 3rad 选择带宽 0.2rad 利用 p 1 a 计算出a=0.8 数字低通滤波器的系统函数为：
H e j 4 G
2
，得到
2
1 pe
j 4 2

G
1 p cos
4 jp sin 4

1 p
1 p
2
2 jp
2

2
上式解出p=0.32，则滤波器的系统函数为
H z 0.46
1 0.32 z
1 2
例5.3.3 设计一个二阶带通滤波器， 2 是通带中 心，在 0, 两点，频率响应为零，在 4 9 处，幅 度为 1 2 解：极点设计在通带中心 2 ， p1,2 re j 2 jr 极点 零点在 0, 处，即 z1 1 和 z2 1 得系统函数：
1 0.5
Imaginary Part
0
-0.5
-1 -1 -0.5 0 0.5 Real Part 1
(a) 0.95 1.5 1 0.5 0
(b) 0.95,-1 1.5 1 0.5 0
0
0.5
1 /
1.5
2
0
1 /
2
以上是低通滤波，以下是高通滤波：
1 a H1 z , a 0.95 za
H ( z) 1 0.8 z 1 z 1 2 z 0.8 10 z 8
(a) 输入波形 xa (t )
(b) 实际输出波形 ya (t ) 及理论波形sin7t（虚线）
5.3.2 二阶数字滤波器

特点： 2个极点； 零点可以有1个或2个，也可以没有； 滤波器的零点和极点是共轭成对出现的,以保证滤波器 的系数是实数 适当地放置零极点可得到各种滤波器： 二阶数字滤波器的系统函数一般表示为：

0

2
0


2
低通
H (e j )
H (e j )
高通
0

带通

2
0

带阻
2
5.2.2 理想滤波器的近似实现
非因果序列 不能物理实现 0.4 0.2 近似实现办法： 0 h 1） n 的波形向右移动，忽略 n 0的部分成为因果序列 -0.2 -10 0 10 20 30 40 2）截取中间幅度最大的部分，以保持滤波器有线性相位 50 n
0.5 /
1
结论:设计单极点单零点低通滤波器应该让零点远离极点。
一阶低通滤波器带宽的计算
1 a 1 z 1 一阶低通滤波器的系统函数：H 2 z 2 1 az 1
设 p ，幅度降到-3dB,则
3 20 lg H e H e

j p
10 lg H e
5.3.1 一阶数字滤波器
特点：具有一个极点，零点可以有一个也可以没有。
1 a H1 z , a 0.95 za
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Real Part 1 1.5
| H (e j 0 ) | 1
Imaginary Part
1 a 1 z 1 H2 z 2 1 az 1
z b1 z b2 H z G z p1 z p2
p 式中：G是常数，一般取G使幅度特性的最大值为1； 1 , p2 为共轭极点；b1 , b2 为共轭零点。
图（a）（b）是二阶低通滤波器
图（c）（d）是二阶高通滤波器，图（e）是带通滤波器。
例5.3.2 假设二阶数字滤波器的系统函数为：
, a 0.8, b 1,0,0.7
式中 0 a 1 ，以保证系统因果稳定； 幅度特性用下图讨论：
1 0.8 0.6 0.4
10 8 6 4 2
-1 -0.5 0 Real Part 0.5 1
Imaginary Part
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0
0
z 1 z 1 G z 2 1 H z G z2 r2 z jr z jr
幅度最大处幅度为1，因此
H e
j 2
2 1 r2 G 1 r 2 即G 2
上式中r的值由在 4 9 的幅度值确定，因此
H e
j 4 9
1
1 a 1 z 1 H2 z 2 1 az 1
1
Imaginary Part
-1 -0.5 0 Real Part 0.5 1
0.5
0.5 0 -0.5 -1 -1 -0.5 0 0.5 Real Part
(d) -0.95,1
Imaginary Part
0
-0.5
-1
1
第五章 数字滤波器的基本概念 及一些特殊滤波器
5.1 数字滤波器的基本概念 5.2 理想数字滤波器 5.3 简单滤波器的设计
特殊滤波器
5.4 数字谐振器 5.5 数字陷波器 5.6 全通滤波器 5.7 最小相位滤波器 5.8 梳状滤波器 5.9 正弦波发生器
5.1 数字滤波器的基本概念
j
处理以后滤波器的传输函数 H N e 与理想低通的传输 j 函数 H e 不同是： 1）通带中的幅度产生了波动，不再是常数； 2）阻带的幅度不再是零； 3）原来没有过渡带，现在产生了过渡带。
j
5.3 简单滤波器的设计
用Z平面零极点放置法设计简单滤波器。 基本原理： 极点放置在要加强的频率点附近（单位圆内），极点越靠近 单位圆，频率响应的峰值越高； 零点放置在将要减弱的频率附近，零点越靠近单位圆频率响 应的谷值越小，如放在单位圆上幅度为零。 5.3.1 一阶数字滤波器 5.3.2 一阶低通滤波器带宽的计算 5.3.3 二阶数字滤波器 5.3.4 低通到高通的简单变换
5.2.1 理想数字滤波器的特点及分类

理想滤波器的特点： 在滤波器的通带内幅度为常数（非零），在阻带中幅度为零； 具有线性相位； 单位脉冲响应是非因果无限长序列。 理想滤波器的传输函数：
Ce jn0 , 1 2 H e j 0, 其它 式中，C和n0是常数。
j p
2

j p

2
103 10 1 2
因为滤波器系数是实数，因此
H (e
j p
) H (e
2
j p
) H (e

j p
) H (e
j p
) H (e
j p
) 0.5
将其系统函数带入上式，可推出： p arccos 2 1 a 一般极点很靠近单位圆，上式可以近似表示为 p 1 a 式中， 称为 3dB 带宽。 2a