江苏省盐城中学2010－2011学年度第一学期期末考试
高一年级数学试题 2011.01
命题人：张万森 李 斌 审核人：蒋 涛
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．将正确答案填入答题纸的相应横线上．．．．．．．．．
） 1. 求值：sin(600ο-)＝ ▲
2. 满足条件{0, 1}⋃A ＝{0, 1}的所有集合A 的个数是 ▲
3. 已知角θ
的终边经过点1(),2
那么tan θ的值是____▲________ 4. 设2 2 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩
≤≥，若()3f x =，则x = ▲
5. 若向量)2,1(=a ，),1(m b =，若0=⋅, 则实数m 的值为 ▲
6. 函数3
()3f x x x =+-的零点落在区间[]1,+n n )(Z n ∈内，则n ＝ ▲ 7. 函数cos ,[,]62y x x ππ=∈-的值域是 ▲ 8. 设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3
b α=，且//a b ，则锐角α为 ▲ 9．函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值_____▲____
10. 已知,2
4,81cos sin παπαα<<=⋅且则=-ααsin cos ▲ 11. 已知O 为原点，点B A 、的坐标分别为）
（0,a ,),0(a 其中常数0>a ，点P 在线段AB 上， 且AP =t AB (10≤≤t )，则OA ·OP 的最大值为 ▲
12. 把函数)34cos(π+
=x y 的图象向右平移θ(θ>0)个单位，所得的函数为偶函数，则θ的最小值为 ▲
13. 已知a , b 是两个互相垂直的单位向量, 且c ·a ＝1, c ·b ＝1 , | c |＝2,
则对任意的正实数t, | c ＋t a ＋t 1b |的最小值是 ▲
14. 设函数)22,0)(sin()(πϕπωϕω<<-
>+=x x f ，给出以下四个论断： ①它的图象关于直线12π=
x 对称； ③它的最小正周期是π； ②它的图象关于点（3
π，0）对称； ④在区间[0,6π-]上是增函数. 以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出一个正确的命题：
P 条件_ ▲ _ ，结论_▲ （填序号）
二、解答题：（本大题共6小题，共计80分）．
15．（本小题12分）
已知1tan 31tan αα+=-, 计算： (1) 2sin 3cos 4sin 9cos αααα
-- (2)222sin cos 6cos 3510sin 6sin cos αααααα+---
16．（本小题12分）
已知(1,2)a =,)2,3(-=b , 当k 为何值时，
（1）ka b +与3a b -垂直？
（2）ka +b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？
17．（本小题14分）
某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸
可以以每份0.05元价格退回报社．在一个月（以30天计）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每
天只能卖出250
份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
18．（本小题14分）
已知函数()sin()4f x a x π=++
的图象过点（0, 1），当0,2x
π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的最大值为1. （1）求()f x 的解析式；
（2）写出由()f x 经过平移．．
变换得到的一个奇函数()g x 的解析式，并说明变化过程.
19．（本小题14分）
如图，已知ABC ∆的面积为14，D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，
且AD DB :=BE EC :21=:， AE 与CD 交于P . 设存在λ和μ使AP AE λ=，PD CD μ=，AB =，BC b =.
（1）求λ及μ；
（2）用a ，b 表示BP ；
（3）求PAC ∆的面积.
20. （本小题14分）
已知函数2
()3,()2f x mx g x x x m =+=++
（1）求证：函数()()f x g x -必有零点；
（2）设函数()G x =()()1f x g x --，若|()|G x 在[－1, 0]上是减函数，求实数m 的取值范围.
江苏省盐城中学2010－2011学年度第一学期期末考试
高一年级数学试题参考答案
一、填空题(14×5＝70分)
1. 2. 4 3. 33 4. 3 5. 2
1- 6. 1 7. [0 , 1] 8. 4
π
9. －1 10.
11. 2a 12. 3π 13. 22 14. ②③⇒①④或①③⇒②④
二、解答题（共80分）
15. 解：∵1tan 31tan αα+=- ∴1tan 2
α= （ 4分 ） (1)∴2sin 3cos 2tan 324sin 9cos 4tan 97
αααααα--==-- （ 4分 ） (2)∴222sin cos 6cos 3510sin 6sin cos αααααα+---2222tan 63(tan 1)5(tan 1)10tan 6tan ααααα+-+=+--133
=（ 4分） 16. 解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+；3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-
（1）()ka b +⊥(3)a b -，得
()ka b +·(3)10(3)4(22)2380a b k k k -=--+=-=，19k = （ 5分 ）
（2）()//ka b +(3)a b -，得4(3)10(22)k k --=+，13k =- （5分 ） 此时1041(,)(10,4)333
ka b +=-=--，所以方向相反。

（2分 ） 17. 解：设摊主每天从报社买进x 份，显然当x ∈[250，400]时，每月所获利润才能最大．
于是每月所获利润y 为 （ 4分 ）
y =20·0.30x +10·0.30·250+10·0.05·（x -250）-30·0.20x =0.5x +625，x ∈[250，400]． （ 5分 ） 因函数y 在[250，400]上为增函数，
故当x = 400时，y 有最大值825元． （ 5分 ）
18. 解：（1）由题意(0)1f a b =+= ①
又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，则3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，1)4x π≤+≤当0b >时，max ()()4
f x f a π
==1= ② 由①②得1,2a b =-= 当0b <时，max ()(0)1f x f a b ==+= ③ 由①③得，,a b 无解 所以())14f x x π
=+- （ 8分 ）
（2）()g x x = （3分）
由()f x 沿x 轴向右平移
4
π个单位再向上平移1个单位得()g x （3分） 19. 解：（1）由于AB a =，BC b =则23AE a b =+ ，13DC =2()3AP AE a b λλ==+ ， 1()3
DP DC a b μμ==+23AP AD DP AB DP =+=+ ， 21()(33a a b μλ++=2133λμ=+ ① 23
λμ= 由①②得67λ= ，47μ= （ 7分 ） （2）6214()7377BP BA AP a a b a b =+=-+⨯+=-+ （ 3分 ） （3）设ABC ∆，PAB ∆，PBC ∆的高分别为 h ， 1h ，2h 147h h PD CD μ===
:: ，487
PAB ABC S S ∆∆== 2117h h PE AE λ==-=:: ，127PBC ABC S S ∆∆== ∴4PAC S ∆= （ 4分 ） 20. 解：（1）证明：m x m x x g x f -+-+-=-3}2()()(2
m x m x x g x f -+-+-=-3}2()()(2=0有解，
则0}4()3(4)2(22≥-=---=∆m m m 恒成立，
所以方程m x m x x g x f -+-+-=-3}2()()(2＝0有解
函数()()f x g x -必有零点 （ 5分 ）
(2) ()G x =()()1f x g x --=m x m x -+-+-2}2(2
①令()G x =0则)6}(2()2(4)2(2--=---=∆m m m m
当0≤∆，62≤≤m 时()G x =m x m x -+-+-2}2(20≤恒成立 所以，|()|G x ＝2}2(2-+-+m x m x ，在[]1,0-上是减函数，则62≤≤m （
3分 ） ②△＞0，6,2><m m 时|()|G x ＝2)2(2-+-+m x m x
因为|()|G x 在[]1,0-上是减函数,
所以方程2}2(2-+-+m x m x ＝0的两根均大于0 得到m ＞6（ 2分 ） 或者一根大于0而另一根小于0且122
-≤-=m x , 得到m 0≤（ 2分 ）
综合①②得到m 的取值范围是(][)+∞⋃∞-,20, （ 2分 ）。