2017-2018学年福建省福州市高一下学期期末质量检查数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若AOP θ∠=，则点P 的坐标是（ ）A ．(cos ,sin )θθB ．(cos ,sin )θθ-C ．(sin ,cos )θθD ．(sin ,cos )θθ-2.已知向量(1,)a m =，(,2)b m =，若//a b ，则实数m 等于（ ）A ．．．03.cos 20cos10sin 2010︒︒-︒︒的值为（ ）A ．- D ．4.设向量(1,3)a =-，(2,4)b =-，(1,2)c =--，若表示向量4a ，42b c -，2()a c -，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d =（ ）A ．(2,6)B ．(2,6)-C ．(2,6)-D ．(2,6)--5.若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角6.若函数()sin()f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则有（ ）A ．1ω=，3πϕ=B ．1ω=，3πϕ=-C ．12ω=，6πϕ=D ．12ω=，6πϕ=- 7.已知向量(2,1)AB =，点(1,0)C -，(4,5)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A ．．- C D ． 8.要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图象（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位 9.如图，O 在ABC ∆的内部，D 为AB 的中点，且20OA OB OC +==，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610. ）A ．2sin 3-B ．2cos3-C ．2sin 3D ．2cos311.设偶函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，KLM ∆为等腰直角三角形，90KML ∠=︒，1KL =，则16f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．．14- C ．12- D 12.已知平面内的向量OA ，OB 满足：1OA =，()()0OA OB OA OB +⋅-=，且OA 与OB 的夹角为120︒，又12OP OA OB λλ=+，101λ≤≤，213λ≤≤，则由满足条件的点P 所组成的图形面积是（ ）A ．2B ．1 D 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）13.已知(,2)a m =，(1,)b n =，0m >，0n >，且4a =，2b =，则向量a 与b 的夹角是 ．14.cos3502sin160sin(190)︒-︒=-︒ ． 15.如图，在半径为2的圆C 中，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点.若点A 、B 、C 不共线，且AB t AC BC -≥对(0,)t ∈+∞恒成立，则AB AC ⋅= ．16.设函数()sin()cos()3f x a x b x παπβ=++++（其中a 、b 、α、β为非零实数），若(2001)5f =，则(2018)f 的值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知tan 2α=. （Ⅰ）求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值. 18.已知向量a 与b 的夹角为120︒，且2a =，4b =. （Ⅰ）计算：42a b -；（Ⅱ）当k 为何值时，(2)()a b ka b +⊥-.19.已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈. （Ⅰ）若1m n +=，求证：A ，P ，B 三点共线；（Ⅱ）若A ，P ，B 三点共线，求证：1m n +=.20.已知函数2())2sin ()612f x x x ππ=-+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求使函数()3f x ≥的解集. 21.函数()cos()02f x x ππϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（Ⅰ）求ϕ及图中0x 的值；（Ⅱ）设1()()3g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 22.已知向量33(cos ,sin )22a x x =，(cos ,sin )22x x b =-，且[0,]2x π∈. （Ⅰ）求：a b ⋅及a b +；（Ⅱ）若()2f x a b a b λ=⋅-+的最小值是32-，求实数λ的值.2018年福州市高一第二学期期末质量检测数学试卷参考答案一、选择题1-5: ACADC 6-10: CCBBB 11、12：DB二、填空题13. 30︒三、解答题17.解：（Ⅰ）tan tan 4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+= ⎪⎝⎭-213121+==--⨯. （Ⅱ）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+-- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+- 22tan tan tan 2ααα=+-221422⨯==+-. 18. 解：由已知得，12442a b ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）∵2222a b a a b b +=+⋅+42(4)1612=+⨯-+=，∴23a b +=. ∵2224216164a b a a b b -=-⋅+16416(4)416192=⨯-⨯-+⨯=， ∴4283a b -=.（Ⅱ）∵(2)()a b ka b +⊥-，∴(2)()0a b ka b +⋅-=，∴22(21)20ka k a b b +-⋅-=，即1616(21)2640k k ---⨯=，∴7k =-.即7k =-时，2a b +与ka b -垂直.19. 解：（Ⅰ）若1m n +=，则(1)OP mOA m OB =+- ()OB m OA OB =+-，∴()OP OB m OA OB -=-，即BP mBA =，∴BP 与BA 共线.又∵BP 与BA 有公共点B ，∴A ，P ，B 三点共线.（Ⅱ）若A ，P ，B 三点共线，存在实数λ，使BP BA λ=，∴()OP OB OA OB λ-=-，又OP mOA nOB =+.故有(1)mOA n OB OA OB λλ+-=-，即()(1)0m OA n OB λλ-++-=.∵O ，A ，B 不共线，∴OA ，OB 不共线，∴010m n λλ-=⎧⎨+-=⎩，∴1m n +=.20.解：（Ⅰ）2())2sin ()612f x x x ππ=-+-)1cos(2)66x x ππ=-+-- 2sin(2)166x ππ=--+ 2sin(2)13x π=-+， ∴22T ππ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）()2sin(2)12133f x x π=-+≤+=，故只有当()f x 取最大值时，()3f x ≥， ∴sin(2)13x π-=，有2232x k πππ-=+， 即5()12x k k Z ππ=+∈， ∴所求x 的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.21.解：（Ⅰ）由题图得(0)2f =，所以cos 2ϕ=， 因为02πϕ<<，故6πϕ=，所以()cos()6f x x ππ=+.由于()f x 的最小正周期22T ππ==，所以由题图可知012x <<，故0713666x ππππ<+<，由0()2f x =得0cos 6x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以01166x πππ+=，053x =. （Ⅱ）因为11cos 336f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos sin 2x x πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 所以1()()3g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭cos sin 6x x πππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭cos cos sin sin sin 66x x x πππππ=--3cos sin 22x x ππ=-6x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当11,23x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2663x ππππ-≤-≤. 所以1sin 126x ππ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，故62x πππ-=，即13x =-时，()g x当66x πππ-=-，即13x =时，()g x 取得最小值22.解：（Ⅰ）33cos cos sin 222x a b x x ⋅=⋅-sin cos 22x x ⋅=，a b +==， ∵[0,]2x π∈，∴cos 0x ≥，∴2cos a b x +=.（Ⅱ）()cos 24cos f x x x λ=-，即22()2(cos )12f x x λλ=---. ∵[0,]2x π∈，∴0cos 1x ≤≤.（1）当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值-1，这与已知矛盾；（2）当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值212λ--，由已知得23122λ--=-，解得12λ=； （3）当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值14λ-，由已知得3142λ-=-， 解得58λ=，这与1λ>矛盾. 综上所述，12λ=为所求.。