重庆八中九年级（上）数学入学试卷（解析版）一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分，在每个小题的下面，都给出了A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的）1．﹣2017的倒数是（）A．2017B．﹣2017C．D．﹣【考点】倒数．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．【解答】解：﹣2017的倒数是﹣，故选：D．2．下列图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选C．3．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x≥1B．x＞2C．x≥1且x≠2D．x≠2【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得x≥1且x≠2．故选C．4．下列运算正确的是（）A．6a﹣5a=1B．a2•a3=a5C．（a2）3=a5D．a6÷a3=a2【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】结合同底数幂的乘法、同底数幂的除法和幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解即可．【解答】解：A、6a﹣5a=a≠1，本选项错误；B、a2•a3=a5，本选项正确；C、（a 2）3=a 6≠a 5，本选项错误；D、a 6÷a 3=a 3≠a 2，本选项错误．故选B．5．重庆市主城区2016年8月10日至8月19日连续10天的最高气温统计如表：最高气温（℃）38394041天数3214则这组数据的中位数和平均数分别为（）A．39.5，39.6B．40，41C．41，40D．39，41【考点】中位数；统计表；加权平均数．【分析】根据表格中的数据可以得到这组数据的中位数和平均数，从而可以解答本题．【解答】解：由表格可知，这组数据的中位数是：，平均数是：=39.6，故选A．6．分式方程的解是（）A．x=﹣2B．x=2C．x=1D．x=1或x=2【考点】解分式方程．【分析】观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘（x﹣2），得2x﹣5=﹣3，解得x=1．检验：当x=1时，（x﹣2）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=1．故选：C．7．若反比例函数的图象上有两点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2），那么（）A．y 1＞y 2＞0B．y 2＞y 1＞0C．y 1＜y 2＜0D．y 2＜y 1＜0【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】分别把点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2）代入反比例函数求出y 1，y 2的值，再比较出其大小即可．【解答】解：∵点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2）在反比例函数的图象上，∴y 1=1，y 2=，∴y 1＞y 2＞0．故选A．8．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x 2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）A．11B．13C．11或13D．不能确定【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长．【解答】解：（x﹣2）（x﹣4）=0x﹣2=0或x﹣4=0∴x 1=2，x 2=4．因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长必须大于3，故周长=3+6+4=13．故选：B．9．如图，将周长为12的△DEF 沿FE 方向平移1个单位得到△ABC，则四边形ABFD 的周长为（）A．10B．12C．14D．16【考点】平移的性质．【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC 即可得出答案．【解答】解：根据题意，将周长为8个单位的△ABC 沿边BC 向右平移1个单位得到△DEF，∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；又∵AB+BC+AC=12，∴四边形ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=14．故选：C10．某星期六上午，小明从家出发跑步去公园，在公园停留了一会儿打车回家．图中折线表示小明离开家的路程y（米）和所用时间x（分）之间的函数关系，则下列说法中错误的是（）A．小明在公园休息了5分钟B．小明乘出租车用了17分C．小明跑步的速度为180米/分D．出租车的平均速度是900米/分【考点】函数的图象．【分析】根据情境的叙述，结合图象，逐一分析得出答案即可．【解答】解：A、在公园停留的时间为15﹣10=5分钟，也就是在公园休息了5分钟，此选项正确，不合题意；B、小明乘出租车的时间是17﹣15=2分钟，此选项错误，符合题意；C、小明1800米用了10分钟，跑步的速度为180米/分，此选项正确，不合题意；D、出租车1800米用了2分钟，速度为900米/分，此选项正确，不合题意．故选：B．11．如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案．由图知，第1个图案中有5个菱形纸片；第2个图案中有9个菱形纸片；第3个图形中有13个菱形纸片．按此规律，第6个图案中有（）个菱形纸片．A．21B．23C．25D．29【考点】规律型：图形的变化类．【分析】观察图形发现：每增加一个图形，菱形纸片增加4个，从而得到通项公式，代入n=6求解即可．【解答】解：观察图形发现：第1个图案中有5=4×1+1个菱形纸片；第2个图案中有9=4×2+1个菱形纸片；第3个图形中有13=4×3+1个菱形纸片，…第n个图形中有4n+1个菱形纸片，当n=6时，4×6+1=25个菱形纸片，故选C．12．在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2这六个数中，随机取出一个数记为a，那么使得关于x的一元二次方程x2﹣2ax+5=0无解，且使得关于x的方程﹣3=有整数解的所有a的值之和为（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】根的判别式；分式方程的解．【分析】根据方程无解可得△＜0即a2＜5，解分式方程可得x=，再6个数中找出满足a2＜5且为整数、≠1的数即可得答案．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2ax+5=0无解，∴△=（﹣2a）2﹣4×1×5=4a2﹣20＜0，即a2＜5，解方程﹣3=得：x=，∵在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2中使得a2＜5且为整数、≠1的有0和2，∴满足条件的所有a的值之和为2，故选：D．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．不等式组的解集是﹣2＜x＜2．【考点】解一元一次不等式组．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：由①得：x＜2．由②得：x＞﹣2∴不等式组的解集是：﹣2＜x＜2．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为30．【考点】菱形的性质．【分析】由在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．【解答】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=30．故答案为：30．15．已知△ABC与△DEF相似且面积比为1：4，则△ABC与△DEF对应高之比为1：2．【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得相似比，又由相似三角形对应高的比等于相似比，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC与△DEF相似且面积比为1：4，∴△ABC与△DEF的相似比等于1：2，∴△ABC与△DEF对应高之比为：1：2．故答案为：1：2．16．在一个不透明的袋子中，装有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．在看不到球的条件下，随机摸出一个小球后放回，再随机摸出一个小球．则两次摸出的小球的标号相同的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】画出树状图，然后根据概率公式计算即可得解．【解答】解：根据题意画出树状图如下：共有9种情况，两次摸出的小球的标号相同的有3种，所以P（两次摸出的小球的标号相同）=，故答案为：．17．如图，△AOB 和△ACD 均为正三角形，顶点B、D 在双曲线y=（x＞0）上，线段BC、AD 交于点P，则S △OBP =8．【考点】反比例函数系数k 的几何意义；等边三角形的性质．【分析】先根据△AOB 和△ACD 均为正三角形可知∠AOB=∠CAD=60°，故可得出AD∥OB，所以S △ABP =S △AOP ，故S △OBP =S △AOB ，过点B 作BE⊥OA 于点E，由反比例函数系数k 的几何意义即可得出结论．【解答】解：∵△AOB 和△ACD 均为正三角形，∴∠AOB=∠CAD=60°，∴AD∥OB，∴S △ABP =S △AOP ，∴S △OBP =S △AOB ，过点B 作BE⊥OA 于点E，则S △OBE =S △ABE =S △AOB ，∵点B 在反比例函数y=的图象上，∴S △OBE =×8=4，∴S △OBP =S △AOB =2S △OBE =8．故答案为：8．18．如图，点E 是边长为5的正方形ABCD 外一点，∠BED=90°，DE=8，连接AE，则AE的长为7．【考点】正方形的性质．【分析】作辅助线，构建直角三角形，先根据勾股定理求对角线BD 的长为10，再求BE 为6；设EF=a，由相似表示FC 的长，在Rt△FDC 中，由勾股定理列方程求出a 的值，再利用勾股定理求AN 和EN 的值，最后求出AE 的长．【解答】解：过E 作EN⊥AD，垂足为N，交BC 于M，连接BD，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD∥BC，∠BCD=90°，∴EN⊥BC，在Rt△BDC 中，由勾股定理得：BD==10，在Rt△BED 中，BE===6，设EF=a，则DF=8﹣a，∵∠BED=∠C=90°，∠BFE=∠DFC，∴△BFE∽△DFC，∴，∴，∴FC=，∵DF 2=FC 2+DC 2，∴（8﹣a）2=（）2+（5）2，解得：a 1=﹣42（舍），a 2=，∴EF=，FC=，BF=5﹣=，cos∠EBC=，∴，∴BM=，则AN=BM=，∴EM==，∴EN=+5=，∴AE===7，故答案为：7．三、解答题（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．已知：如图，CD=BE，CD∥BE，∠D=∠E．求证：点C 是线段AB 的中点．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】由CD 与BE 平行，利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，利用ASA 得到三角形ACD 与三角形CBE 全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=BC，即可得证．【解答】证明：∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B，在△ACD 和△CBE 中，，∴△ACD≌△CBE（ASA），∴AC=BC，则点C 是线段AB 的中点．20．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，点A、B 的坐标分别是A （4，3）、B（4，1），把△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得到△A 1B 1C．（1）画出△A 1B 1C，直接写出点A 1、B 1的坐标；（2）求在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积．【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算．【分析】（1）根据旋转中心方向及角度找出点A、B 的对应点A 1、B 1的位置，然后顺次连接即可，根据A、B 的坐标建立坐标系，据此写出点A 1、B 1的坐标；（2）利用勾股定理求出AC 的长，根据△ABC 扫过的面积等于扇形CAA 1的面积与△ABC 的面积和，然后列式进行计算即可．【解答】解：（1）所求作△A 1B 1C 如图所示：由A（4，3）、B（4，1）可建立如图所示坐标系，则点A 1的坐标为（﹣1，4），点B 1的坐标为（1，4）；（2）∵AC===，∠ACA 1=90°∴在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积为：S 扇形CAA1+S △ABC=+×3×2=+3．四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每个小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．21．计算：（1）（x+3）2+x（x﹣6）（2）（x+1﹣）÷．【考点】分式的混合运算；单项式乘多项式；完全平方公式．【分析】（1）首先利用完全平方公式以及单项式与多项式乘法法则计算，然后合并同类项即可求解；（2）首先对括号内的式子通分相减，把除法转化为乘法，然后进行约分即可．【解答】解：（1）原式=x 2+6x+9+x 2﹣6x=2x 2+9；（2）原式=÷=÷=÷=﹣•=﹣．22．重庆八中宏帆中学某年级为了选拔参加“全国汉字听写大赛”重庆赛区比赛的队员，特在年级举行全体学生的“汉字听写”比赛，首轮每位学生听写汉字39个．现随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如图的图表．组别正确字数x 人数A 0≤x＜810B 8≤x＜1615C 16≤x＜2425D24≤x＜32m根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m=30，n=20，并补全条形统计图；（2）已知该年级共有1500名学生，如果听写正确的字的个数不少于24个则进入第二轮的比赛，请你估计本次听写比赛顺利进入第二轮的学生人数；（3）第二轮比赛过后，为了更有针对性地应对本次大赛，该年级决定从没有担任班主任的5个语文老师（其中3个男老师2个女老师）中随机抽取两个老师对胜出的学生进行培训、辅导．请用树状图或列表法求出抽取的两个老师恰好都是男老师的概率．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图．【分析】（1）先利用B组人数和它所占的百分比计算出调查的学生总数，然后计算利用D、E组的频率和计算出m、n的值；（2）利用样本估计总体，用1500乘以D、E两组的频率和即可；（3）画出树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出抽取的两个老师恰好都是男老师的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）调查的学生总数为15÷15%=100（人），则m=100×30%=30，m=100×20%=20，如图，（2）1500×（30%+20%）=750，所以估计本次听写比赛顺利进入第二轮的学生人数为750人；（3）画出树状图为：共有20种等可能的结果数，其中抽取的两个老师恰好都是男老师的结果数为6，所以抽取的两个老师恰好都是男老师的概率==．23．如图，已知一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（﹣2，m）和点B（4，﹣2），与x轴交于点C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由B点的坐标根据待定系数法即可求得在反比例函数的解析式，代入A（﹣2，m）即可求得m，再由待定系数法求出一次函数解析式；（2）由直线解析式求得C点的坐标，从而求出△AOB的面积．【解答】解：（1）∵B（4，﹣2）在反比例函数y=的图象上，∴k=4×（﹣2）=﹣8，又∵A（﹣2，M）在反比例函数y=的图象上，∴﹣2m=﹣8，∴m=4，∴A（﹣2，4），又∵AB是一次函数y=ax+b的上的点，∴解得，a=﹣1，b=2，∴一次函数的解析式为y=﹣x+2，反比例函数的解析式y=﹣；（2）由直线y=﹣x+2可知C（2，0），所以△AOB的面积=×2×4+×2×2=6．24．重庆某轻轨工程指挥部，要对某轻轨路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．根据投标书所知，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为9.2万元，乙队每天的施工费用为6.8万元．工程预算的施工费用为1000万元．若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，那么预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？【考点】分式方程的应用．【分析】（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要x天．根据题意，得+60×（+）=1，解得：x=180．经检验，x=180是原方程的根．∴=×180=120，答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天和180天；（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有y（+）=1，解得y=72．需要施工费用：72×（9.2+6.8）=1152（万元）．∵1152＞1000．∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算152万元．五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.25．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=18时，x ﹣1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．（1）根据上述方法，当x=21，y=7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三个）（2）若一个直角三角形的周长是24，斜边长为10，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）；（3）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．【考点】因式分解的应用．【分析】（1）先分解因式得到x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y），然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码；（2）利用勾股定理和周长得到x+y=14，x2+y2=100，再利用完全平方公式可计算出xy=48，然后与（1）小题的解决方法一样；（3）由x=27时可以得到其中一个密码为242834，可得x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解为（x﹣3）（x+1）（x+7），再利用多项式的乘法法则展开，然后与x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21比较，即可求出m、n的值．【解答】解：（1）x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y），当x=21，y=7时，x﹣y=14，x+y=28，可得数字密码是211428；也可以是212814；142128；（2）由题意得：，解得xy=48，而x3y+xy3=xy（x2+y2），所以可得数字密码为48100；（2）由题意得：x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21=（x﹣3）（x+1）（x+7），∵（x﹣3）（x+1）（x+7）=x3+5x2﹣17x﹣21，∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21=x3+5x2﹣17x﹣21，∴，解得．故m、n的值分别是56、17．26．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为直线CB上一点，且满足CD=CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E．（1）若AB=10，CD=CA=6，则BD=2，CE=；（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD，若∠F=45°，求证：AE=EF；（3）如图3，设直线CE与直线AD交于点G，在线段CD的延长线上取一点H，使得DH=CB，连接HG交直线AB于点I，若∠CGH=∠B，请直接写出线段AC和AI之间的数量关系（不需要证明）．【考点】三角形综合题．=•AC•BC=•AB•CE，求出CE，即可解【分析】（1）先利用勾股定理求出BC，再利用S△ABC决问题．（2）如图2中，连接AF，证明A、C、D、F四点共圆，推出∠AFE=∠CDA=45°，即可证明．（3）结论：AC=AI．作AF⊥AD交BC于F，作AN⊥AC交CG于N，延长CA交GH于M．想办法证明∠B=∠H=∠CGH=30°，△AIM是等边三角形即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，∵∠ACB=90°，CD=CA=6，AB=10，∴BC===8，∴BD=BC﹣CD=8﹣6=2，∵S=•AC•BC=•AB•CE，△ABC∴CE==，故答案为2，．（2）如图2中，连接AF，∵∠ACB=90°，CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=∠F=45°，∴A、C、D、F四点共圆，∴∠AFE=∠CDA=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE=EF．（3）如图3中，结论：AC=AI．理由：作AF⊥AD交BC于F，∵AC=CD，AC⊥CD，∴∠3=∠5=∠4=45°，∠HDG=∠CAG=∠AFB=135°，∵AC⊥BC，CE⊥AB，∴∠6+∠7=∠7+∠B=90°，∴∠6=∠B，∵∠CAG=∠AFB，∴△ABF∽△GCA，∴=，∵AC=FC．FA=AD，∴=，∴+1=+1，∴=，∴=，∵DH=BC，FC=AC，∴=，即=，∵∠HDG=∠CAG，∴△DHG∽△ACG，∴∠1=∠2，∠H=∠6=∠B，∵∠CGH=∠B，∵∠7=∠H+∠CGH=2∠B，∠7+∠B=90°，∴3∠B=90°，∴∠B=∠6=∠H=∠CGH=30°，作AN⊥AC交CG于N，延长CA交GH于M．则AC=AN，∵∠1=∠2，AG=AG，∠AMG=∠ANG=120°，∴△AGN≌△AGM，∴AN=AM，∵∠8=∠H+∠B=60°，∠MAI=∠CAB=60°，∴∠8=∠MAI=60°，∴△AIM是等边三角形，∴AI=AM=AN，∴AC=AI．。