2019-2020学年重庆八中九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1．（4分）若一个几何体的主视图、左视图、俯视图是半径相等的圆，则这个几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．正方体2．（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．（4分）下列各线段中，能与长为4，6的两线段组成三角形的是（）A．2B．8C．10D．124．（4分）下列命题正确的是（）A．若锐角α满足sinα＝，则α＝60°B．在平面直角坐标系中，点（2，1）关于x轴的对称点为（2，﹣1）C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．相似三角形周长之比与面积之比一定相等5．（4分）中国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首古诗：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧？三百六十四只碗，恰好用尽不用争．三人共餐一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，算出寺内几多僧？”其大意是，某古寺用餐，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问有多少个和尚？根据题意，可以设和尚的个数为x，则得到的方程是（）A．3x+4x＝364B．x+x＝364C．x+4x＝364D．3x+x＝3646．（4分）如果2x﹣y＝，那么代数式（﹣4x）÷的值为（）A．﹣B．C．2D．﹣27．（4分）若点A（﹣2，m），B（3，n）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+5（a为常数，且a＞0）的图象上，则m和n 的大小关系是（）A．m＞n B．m＝nC．m＜n D．以上答案都不对8．（4分）最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成的．设直角三角形的两直角边长为a，b，且满足（a+b）2＝23，若小正方形的面积为11，则大正方形的面积为（）A．15B．17C．30D．349．（4分）重庆移动为了提升新型冠状肺炎“停课不停学”期间某片区网络信号，保证广大师生网络授课、听课的质量，临时在坡度为i＝1：2.4的山坡上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌MN．当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为3米，则信号塔PQ的高约为（）（结果精确到十分位，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）A．10.4B．11.9C．11.4D．13.410．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，交AC于点G；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，若以点G 为圆心，GC长为半径作两段弧，一段弧过点C，而另一段弧恰好经过点D，则此时∠F AC的度数为（）A．54°B．60°C．66°D．72°11．（4分）已知，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发4分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行．甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论错误的是（）A．A、B两地相距2480米B．甲的速度是60米/分钟，乙的速度是80米/分钟C．乙出发17分钟后，两人在C地相遇D．乙到达A地时，甲与A地相距的路程是300米12．（4分）若整数a既使得关于x的分式方程﹣2＝有整数解，又使得关于x，y的方程组的解为正数，则符合条件的所有a的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．（4分）计算：﹣（）﹣1﹣3tan30°+|﹣2|＝．14．（4分）正多边形的一个外角是72°，则这个多边形的内角和的度数是．15．（4分）如图，四边形OABC的顶点O为坐标原点，以O为位似中心，作出四边形OA1B1C1与四边形OABC位似，若A（6，0）的对应点为A1（4，0），四边形OABC的面积为27，则四边形OA1B1C1的面积为．16．（4分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，任意三个格点组成的三角形面积如果不小于1，则称为“离心三角形”，而如果面积恰好等于1，则称为“环绕三角形”．A，B是网格图形中已知的两个格点，点C是另一格点，且满足△ABC是“离心三角形”，则△ABC是“环绕三角形”的概率是．17．（4分）如图，在平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A为直线y＝2x+1上一动点，过A作AC⊥x轴，交x 轴于点C（点C在原点右侧），交双曲线y＝于点B，且AC+BC＝4，则当△OAB存在时，其面积为．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后得到Rt△A1B1C1，连接CC1，AA1，过点A作AM⊥AC交A1C1于点D，若CC1＝AA1，BC1＝C1D，且AD＜BC，则AD 的长为．三、解答题：（本大题共8小题，第26题8分，其余每小题10分，共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．19．（10分）（1）解不等式组：；（2）化简：（x ﹣2y ）2﹣3x （x ﹣y ）．20．（10分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，CD ＝4，连接OC ，OE ＝2EB ，F 为圆上一点，过点F 作圆的切线交AB 的延长线于点G ，连接BF ，BF ＝BG ． （1）求⊙O 的半径； （2）求证：AF ＝FG ； （3）求阴影部分的面积．21．（10分）据第四次全国经济普査的数据表明，中国经济已经开始由高速度增长转向高质量发展，供给侧结构性改革初见成效．各地产品质量监管部门也严抓质量，整顿生产，促进经济更好发展．某质量监管部门对甲、乙两家工厂生产的同种产品进行检测，分别随机抽取50件产品，并对产品的某项关键质量指标做检测，获得质量指标检测值t ，对数据整理分析的部分信息如下： 【1】甲、乙两工厂的样本数据频数分布表如下： 工厂类别75≤t ＜85 85≤t ＜95 95≤t ＜105 105≤t ＜115115≤t ＜125 合计甲工厂频数 0 a 10 3 50 频率0.000.24b0.061.00乙工厂频数3151318150频率0.060.300.260.360.02 1.00其中，乙工厂样品质量指标检测值在95≤t＜105范围内的数据分别是：100，98.98，99，102，97，95，101，98，100，98，102，104．【2】两工厂样本数据的部分统计数据如下：平均数中位数众数方差甲工厂97.399.59678.3乙工厂97.3c107135.4根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中，a＝，b＝，c＝；（2）已知质量指标检测值在85≤t＜115内，属于合格产品．若乙工厂某批产品共1万件，估计该批产品中不合格的有多少件？（3）若质量指标检测值为100时为优秀，偏离100越小，产品质量越高．现有一家公司需大量采购该种产品，根据题目给定的数据，你认为选择哪家工厂的产品更好？并请说明理由．22．（10分）如图，已知矩形ABCD，AB＝3cm，AD＝6cm，点M为线段BC上一动点，沿线段BC由B向C运动，连接AM，以AM为边向右侧作正方形AMNP，连接CN，DN．设M的路程即BM的长为xcm，C、N间的距离为y1cm，D、N间的距离为y2cm．数学兴趣小组的小刚根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行探究，过程如下：（1）根据表中自变量x的取值进行取点，画图，测量，分别得到几组对应值，请将表格补充完整：x/cm0123456y1/cm3 2.22a3 4.11 5.39 6.72y2/cm 4.24 2.81 1.390b 2.84 4.26其中，a＝，b＝；（2）在同一平面直角坐标系中，描点（x，y1），（x，y2），并画出y1，y2的函数图象；（3）当△CDN为等腰三角形时，BM的长度约为．23．（10分）随着人们的生活水平不断提高，人们越来越注重生活品质，注重食物营养水果罐头在保存鲜度和营养方面得天独厚，仅次于现摘水果，水果罐头不仅果肉好吃，水果的本色本味完全融入到糖水中，罐头水的风味甚至比果汁还要浓郁．某车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费1.8万元购进的甲种水果与2.4万元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元．（1）求甲、乙两种水果的单价；（2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头需要甲乙水果各0.5千克，而每听罐头的成本除了水果成本之外，其他所有成本是水果成本的的还要多3元，调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？（3）若想使得该种罐头的销售利润每天达到6万元，并且保证降价的幅度不超过定价的15%，每听罐头的价钱应为多少钱？24．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连结AC，已知B（﹣1，0），且抛物线经过点D（2，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACE＝S△ABC，求E的坐标；（3）若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．25．（10分）请阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝．把x＝代入已知方程，得化简，得y2+2y﹣12＝0故所求方程为y2+2y﹣12＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．（1）已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍，则所求方程为（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；（3）已知关于x的方程x2﹣mx+n＝0有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方．26．（8分）在△ABC，△CDE中，∠BAC＝∠DEC＝90°，连接BD，F为BD中点，连接AF，EF．（1）如图1，若A，C，E三点在同一直线上，∠ABC＝∠EDC＝45°，已知AB＝3，DE＝5，求线段AF的长；（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝45°，求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）如图3，若∠ABC＝∠EDC＝30°，请判断△AEF的形状，并说明理由．2019-2020学年重庆八中九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1．【解答】解：主视图、俯视图和左视图都是圆的几何体是球．故选：C．2．【解答】解：由题意得：x+2＞0，解得：x＞﹣2，在数轴上表示为：，故选：B．3．【解答】解：设组成三角形的第三边长为x，由题意得：6﹣4＜x＜6+4，即：2＜x＜10，故选：B．4．【解答】解：A、若锐角α满足sinα＝，则α＝30°，故本选项错误；B、在平面直角坐标系中，点（2，1）关于x轴的对称点为（2，﹣1），正确；C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项错误；D、相似三角形面积之比等于周长比的平方，故本选项错误；故选：B．5．【解答】解：设和尚的个数为x，根据题意得，，故选：B．6．【解答】解：（﹣4x）÷＝•＝•＝y﹣2x，∵2x﹣y＝，∴原式＝﹣（2x﹣y）＝﹣．故选：A．7．【解答】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+5（a为常数，且a＞0）可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x ＝1，∵1+2＞3﹣1∴m＞n．故选：A．8．【解答】解：如图所示：∵（a+b）2＝23，∴a2+2ab+b2＝23，∴2ab＝23﹣（a2+b2）．∵小正方形的面积为11，∴11＝a2+b2﹣2ab＝a2+b2﹣23+（a2+b2）．∴a2+b2＝17，∴大正方形的面积为17．故选：B．9．【解答】解：过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，可得QG⊥BA，∵QA＝3.9m，QG：AG＝1：2.4，∴设QG＝x，则AG＝2.4x，∴x2+（2.4x）2＝3.92，解得：x＝1.5，则AG＝2.4x＝3.6，∴EF＝NG＝3.6+4.4＝8（m），故tan53°＝＝≈1.3，解得：PF＝10.4（m），∵FQ＝EN﹣QG＝3﹣1.5＝1.5（m），∴信号塔PQ的高约为：PQ＝10.4+1.5＝11.9（m）．故选：B．10．【解答】解：如图，连接AD，根据作图过程可知：AE是BD的垂直平分线，DG＝CG，AB＝AD＝AG，设∠C＝x，则∠CDG＝x，∠AGD＝2x，∴∠ADG＝∠AGD＝2x，∵∠B＝2∠C，∴∠B＝2x，∴∠ADB+∠ADG+∠GDC＝2x+2x+x＝180°，∴x＝36°，∴∠F AC＝90°﹣36°＝54°．故选：A．11．【解答】解：由图象可知，A、B两地相距2480米，故选项A不合题意；甲的速度为（2480﹣2240）÷4＝60（米/分钟），乙的速度为（2240﹣840）÷（14﹣4）﹣60＝80（米/分钟），故选项B不合题意；甲、乙相遇的时间为4+2240÷（60+80）＝20（分钟），故选项C符合题意；A、C两地之间的距离为60×20＝1200（米），乙到达A地时，甲与A地相距的路程为1200﹣1200÷80×60＝300（米）．故选项D不合题意．故选：C．12．【解答】解：解方程﹣2＝得，x＝，∵分式方程﹣2＝有整数解，且x≠1，∴a﹣3＝﹣4或﹣2或﹣1或1或2或4，且a≠7，∴a＝﹣1或1或2或4或5，解方程组得，，∵方程组的解为正数，∴，解得，a，综上，a＝4或5，故选：B．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．【解答】解：原式＝2﹣2﹣3×+2＝故答案为．14．【解答】解：多边形的边数：360°÷72°＝5，正多边形的内角和的度数是：（5﹣2）•180°＝540°．故答案为：540°．15．【解答】解：∵以O为位似中心，作出四边形OA1B1C1与四边形OABC位似，A（6，0）的对应点为A1（4，0），∴四边形OA1B1C1与四边形OABC的位似比为：4：6＝2：3，∴四边形OA1B1C1与四边形OABC的面积比为：4：9，∵四边形OABC的面积为27，∴四边形OA1B1C1的面积为：27×＝12．故答案为：12．16．【解答】解：满足△ABC是“离心三角形”的C点有11个，而△ABC是“环绕三角形”的C点有5，所以△ABC是“环绕三角形”的概率＝．故答案为．17．【解答】解：根据题意设点A（m，2m+1），B（m，），所以AC＝2m+1，BC＝．∵AC+BC＝4，∴可列方程2m+1+＝4，即2m2﹣3m+1＝0解得：m＝或1，∴A（，2）或（1，3），B（，2）或（1，1），∵△OAB存在，∴m＝舍去，∴AB＝3﹣1＝2．∴△OAB的面积＝×2×1＝1．故答案为1．18．【解答】解：过点C1作C1Q⊥BC于Q，交AM于P．由题意：△ABC≌△ABC1，∴AB＝A1B，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，∴∠A1BA＝∠C1BC，＝，∴△A1BA∽△C1BC，∵CC1＝AA1，∴BC＝AB，∴sin∠BAC＝sin∠BA1D＝，设AB＝5x，BC＝3c，则AC＝4x，∴4x＝16，∴x＝4，∴BC＝BC1＝12，AC＝A1C1＝16，设PC1＝x，CQ＝y，则有，解得或，∴AD＝12+4或12﹣4，∵AD＜BC，∴AD＝12﹣4．故答案为12﹣4．三、解答题：（本大题共8小题，第26题8分，其余每小题10分，共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．19．【解答】解：（1）由不等式①得：x≥由不等式②得：x＜6∴不等式组的解集为（2）解：原式＝x2﹣4xy+y2﹣3x2+3xy＝﹣2x2﹣xy+4y220．【解答】（1）解：设⊙O的半径为r，则OE＝r，∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝2，在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，即r2＝（r）2+（2）2，解得，r＝6，答：⊙O的半径为6；（2）证明：连接OF，∵CF是⊙O的切线，∴∠OFG＝90°，即∠OFB+∠BFG＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，即∠F AB+∠OBF＝90°，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠OBF，∴∠F AB＝∠BFG，∵BF＝BG，∴∠G＝∠BFG，∴∠G＝∠F AB，∴AF＝FG；（3）解：∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A，∴∠OF A＝∠BFG，在△AOF和△GBF中，，∴△AOF≌△GBF（ASA）∴OF＝BF，∴△OBF为等边三角形，∴∠BOF＝60°，BF＝OB＝6，由勾股定理得，AF＝＝＝6，∴阴影部分的面积＝π×62﹣×6×6＝18π﹣18．21．【解答】解：（1）∵甲工厂85≤t＜95的频数50×0.24＝12，∴甲工厂95≤t＜105的频数为a＝50﹣12﹣10﹣3＝25，甲工厂105≤t＜115的频率b＝＝0.20，甲工厂在95≤t＜105范围内的数据从小大大排列95，97，98，98，98.98，99，100，100，101，102，102，104．中位数c＝＝99.5．故答案为25，0.20，99.5；（2）由题，乙工厂产品抽查中，样品中不合格的占，10000×＝800（件），答：大约有800件不合格．（3）选择甲工厂的产品．因为在质量指标检测中，甲工厂产品高质量件数多于乙工厂的．说明甲工厂产品质量更高，样品质量指标检测值的平均数相同时，甲的方差更小，说明产品质量更稳定．22．【解答】解：（1）当BM＝2时，以AM为边向右侧构造正方形AMNP，连接NC，测得NC的长约为2.23，所以a约为2.23．当BM＝4时，以BM为边向右侧构造正方形AMNP，连接ND，测得ND的长约为1.42，所以b约为1.42；故答案为：2.23、1.42；（2）如图所示，即为y1，y2的函数图象；（3）当DN＝NC时，由图可得，BM约为1.50；当DN＝DC时，因为DC＝3，由图可得，BM约为0.89或5.12；当NC＝DC时，因为DC＝3，由图可得，BM＝0或3，但是当BM＝3时，DN＝0，不能构成三角形，需舍去．综上所述：BM约为0或1.50或0.89或5.12．故答案为：0或1.50或0.89或5.12．23．【解答】解：（1）设甲种水果的单价为x元/千克，乙种水果的单价为（x+2）元/千克，根据题意得，＝，解得：x＝6，经检验，x＝6是方程的根，∴x+2＝8，答：甲、乙两种水果的单价分别为6元/千克，8元/千克；（2）由（1）知每听罐头的水果成本为：6×0.5+8×0.5＝7元，每听罐头的总成本为：7+7×+3＝15元，设降价m元，则利润W＝（28﹣m﹣15）（3000+1000m）＝﹣1000m2+10000m+39000＝﹣1000（m﹣5）2+64000，∵﹣1000＜0，∴当m＝5时，W有最大值为64000，∴当售价为23元时，利润最大，最大利润为64000元；（3）由（2）知，W＝﹣1000（m﹣5）2+64000＝60000，解得：m＝7或m＝3，但是降价的幅度不超过定价的15%，∴m＝3，∴售价为28﹣3＝25元，答：每听罐头的价钱应为25元．24．【解答】解：（1）把B（﹣1，0），D（2，﹣2）代入y＝ax2﹣x+c得，解得：．故抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（3，0），∴AB＝4，当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC＝2，∴S△ABC＝×4×2＝4，设AC的解析式为y＝kx+b，把A（3，0），C（0，﹣2）代入y＝kx+b得，解得．∴y＝x﹣2，如图1，过点E作x轴的垂线交直线AC于点F，设点F（a，a﹣2），点E（a，a2﹣a﹣2），其中﹣1＜a＜3，∴S△ACE＝EF|x A﹣x C|＝|a2﹣a|＝，∵S△ACE＝S△ABC，∴a2﹣3a＝2或﹣a2+3a＝2，解得a1＝（舍去），a2＝，a3＝1，a4＝2，∴E1（，），E2（1，﹣），E3（2，﹣2）；（3）在y＝ax2+bx﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC＝2，如图2，设P（0，m），则PC＝m+2，OA＝3，AC＝＝，①当P A＝CA时，则OP1＝OC＝2，∴P1（0，2）；②当PC＝CA＝时，即m+2＝，∴m＝﹣2，∴P2（0，﹣2）；③当PC＝P A时，点P在AC的垂直平分线上，则△AOC∽△P3EC，∴＝，∴P3C＝，∴m＝，∴P3（0，），④当PC＝CA＝时，m＝﹣2﹣，∴P4（0，﹣2﹣）．综上所述，P点的坐标（0，2）或（0，﹣2）或（0，）或（0，﹣2﹣）．25．【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则y＝3x，所以x＝．把x＝代入已知方程，得化简，得y2+3y﹣9＝0，故所求方程为y2+3y﹣9＝0．故答案是：y2+3y﹣9＝0；（2）设所求方程的根为y，则y＝（x≠0），于是x＝（y≠0）把x＝代入方程ax2+bx+c＝0，得a（）2+b•+c＝0去分母，得a+by+cy2＝0．若c＝0，有ax2+bx＝0，于是方程ax2+bx+c＝0有一个根为0，不符合题意，∴c≠0，故所求方程为cy2+by+a＝0（c≠0）；（3）设所求方程的根为y，则y＝x2，所以x＝±．①当x＝时，把x＝代入已知方程，得﹣m+n＝0，即y﹣m+n＝0；②当x＝﹣时，把x＝﹣代入已知方程，得+m+n＝0，即y+m+n＝0．26．【解答】解：（1）连接CF，∵在Rt△ABC，Rt△CDE中，A∠ABC＝∠EDC＝45°，∴∠ACB＝∠ECD＝45°，AB＝BC，ED＝EC，∵A，C，E三点在同一直线上，∴∠BCD＝90°，∵F为BD的中点，∴CF＝DF＝BF，∵，∴△ACF≌△ABF（SSS），∴∠CAF＝∠CAB＝45°，同理：△ECF≌△EDF（SSS），＝45°，∴△AEF为等腰直角三角形，∵AC＝AB＝3，CE＝DE＝5，∴．（2）证明：取BC的中点M，CD的中点N，连接AM，MF，EN，FN，∵F为BD的中点，∴FM为△BCD的一条中位线，∴FM∥CD，FM＝，∴四边形MCNF为平行四边形，CM＝FN，MF＝CN，∠CMF＝∠FNC，∵在Rt△ABC中，M为BC的中点，∴∠AMC＝90°，AM＝CM，同理：∠ENC＝90°，EN＝CN，∴AM＝FN，MF＝EN，∠AMF＝∠AMC+∠CMF＝∠ENC+∠CNF＝∠FNE．∵，∴△AMF≌△FNE（SAS），∴AF＝EF，∠AFM＝∠FEN，∵∠AFE＝∠MFN﹣∠AFM﹣∠EFN＝180°﹣∠FNC﹣∠FEN﹣∠EFN＝∠ENC＝90°．∴△AEF为等腰直角三角形；（3）证明：取BC的中点M，CD的中点N，连接AM，MF，EN，FN，∵F为BD的中点，∴FM为△BCD的一条中位线，∴FM∥CD，FM＝，∴四边形MCNF为平行四边形，CM＝FN，MF＝CN，∠CMF＝∠FNC，∵在Rt△ABC中，M为BC的中点，∴∠AMC＝60°，AM＝CM，同理：∠ENC＝60°，EN＝CN，∴AM＝FN，MF＝EN，∠AMF＝∠AMC+∠CMF＝∠ENC+∠CNF＝∠FNE．∵，∴△AMF≌△FNE（SAS），∴AF＝EF，∠AFM＝∠FEN，∵∠AFE＝∠MFN﹣∠AFM﹣∠EFN＝180°﹣∠FNC﹣∠FEN﹣∠EFN＝∠ENC＝60°．∴△AEF为等边三角形．。