div A lim S A dS V 0 v
x
f (x, y, z) lim f (x, y y, z) f (x, y, z)
y
y 0
y
y Q
y
P
x
x
标量场f (x, y, z)延l 方向的方向导数表示f沿该方向的变化率
f lim f (x x, y y) f (x, y) l x2 y2，二维
l l0
l
f lim f (x x, y y, z z) f (x, y, z) l x2 y2 z2，三维
dV
V l1
dl1
V l2
dl2
V l3
dl3
dl aˆu1 dl1 aˆu2 dl2 aˆu3 dl3 aˆu1 (h1du1) aˆu2 (h2du2 ) aˆu3 (h3du3 )
dV
( V l1
aˆu1
V l2
aˆu2
V l3
aˆu3 ) (aˆu1 dl1
aˆu2 dl2
aˆu3 dl3 )
S
0
高斯定理
闭合曲面内的电量为正、负、零时的通量······
根据矢量通过某一闭合面的通量性质可以判断闭合曲面中源的正 负特性，以及存在与否。
5C
-2C
5C
3C 4C
通量仅能表示闭合曲面中源的总量，它不能显示源的分布特性， 如何显示源的特性呢？？？
15
1) 散度(Divergence)
矢量场 A 中某点的散度定义为包围该点的体积趋于零时,单位体积中 流出A 的净流散通量,缩写为div A:
z 源点 P’ (x’,y’,z’)
r'
O
R (r r ' )
场点 P (x, y, z)
r y
R R (x x ')2 ( y y ')2 (z z ')2
1 R
eˆx
x
1 R
eˆy
y
1 R
eˆz
z
1 R
同理可得
1 R3
[( x
x
')eˆx
(
y
y
')eˆy
9
圆柱坐标系 球坐标系
f
aˆr
f r
aˆ
f
r
aˆz
f z
f
aˆR
f R
aˆ
f
R
aˆ
f
R sin
梯度运算符合以下规则：
C 0
C为常数
C C
( )
()
( / ) ( ) / 2
F () F ' () 10
Example 2-16(P45)
11
例3
设标量 =xy2+yz3, 矢量 A 2aˆx 2aˆy aˆz
3
1. 标量场的梯度
现在介绍在给定时间情况下 描述标量场的空间变化率的 方法. 在不同方向上的变化 率可能不同,所以需要一个矢 量来定义给定点和给定时间 上标量场的变化率,由此引入 梯度的概念.
4
方向导数
f (x, y, z) lim f (x x, y, z) f (x, y, z)
x
x0
试求标量函数在点（2，-1，1）处沿矢量A的方向上的方向导数。
解 已知梯度
Gradf
f
=
aˆx
x
aˆy
y
aˆz
z
f
y2aˆx (2xy z2 )aˆy 3yz2aˆz
那么，在点（2，-1，1）处的梯度为
Grad aˆx 3aˆy 3aˆz
因此，标量函数在点（2，-1，1）处沿矢量A的方 向上的方向导数为
( V l1
aˆu1
V l2
aˆu2
V l3
aˆu3 ) dl
V
V l1
aˆu1
V l2
aˆu2
V l3
aˆu3
V
V h1u1
aˆu1
V h2u2
aˆu2
V h3u3
aˆu3
8
In Cartesian coordinates
V
V x
aˆx
V y
aˆ y
V z
aˆz
( x
aˆx
y
aˆ y
z
aˆz
)V
It is convenient to consider in Cartesian coordinates as a vector differential operator.
x
aˆx
y
aˆ y
z
aˆz
But this is not definition in other coordinate.
l l0
l
数学上可以证明（三维）f f cos f cos f cos
l x
y
z
标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。
5
V q
4 0 R
Q1 l1
ln
Q
Q2
P l2
1) Directional derivative dv/dl
f lim f (x x, y y, z z) f (x, y, z)
(z
z
')eˆz
]
'
1 R
R R3
R R3
13
2. 矢量场的散度
A
B
Vector field 通量线或流线来描述
电力线
the flux of a vector A dS
S
14
如： 真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面 包围的自由电荷的电荷量q与真空介电常数0之比：
q
E dS
l l0
l
l x2 y2 z2，三维
2) Gradient (dv/dn)an
标量的梯度定义为一矢量,其大小为标量的空间最大变化率,其方向为 标量增加率最大的方向.
6
We write
GradV
dV dn an
customary
dV V dn an
沿 dl 的方向导数为:
dV dV dn dV cos
Grad eˆA (aˆx 3aˆy 3aˆz )
A A
(aˆx
3aˆy
3aˆz )
2aˆx
2aˆy 3
aˆz
1 3
12
例 计算
1 R
及
'
1 R
解
eˆx
x
eˆy
y
eˆz
z
'
eˆx
x'
eˆy
y
'
eˆz
z
'
x
R (x x ')eˆx ( y y ')eˆy (z z ')eˆz
Field and Wave Electromagnetic 电磁场与电磁波
2014. 3. 3
Review
1. Transform of Coordinate Systems 2. Integrals Containing Vector Functions
2
Main topic
1. 标量场的梯度 2. 矢量场的散度 3. 散度定理
dl dn dl dn
V n
aˆn aˆl
V
aˆl
上式表明 V 在 al 方向上的空间增长率等 于 V 的梯度在该方向上的投影(分量).
l
nˆ
dn cos
dl
P
dV (V ) dl
7
3) The expression of gradient V in coordinates
dV (V ) dl