2009年北京市普通高考数学预测卷数学试题（理科） 命题人:张启振本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写清楚，并将准考证号对应的数字涂黑.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效.3．本卷共l2小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.参考公式：如果事件AB 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A ，B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ∙=∙ 球的体积公式 343V R π=一、选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1．设复数2121,1,21z z z i z i z =+=-=则复数在复平面内对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若互不相等的实数15,,,,,,=++c b a bc ab ca c b a 且成等比数列成等差数列，则=a（ ）A ．-20B ．5C ．-5D ．203．已知函数)2009(,4)20091(2log log )(32f f x b x a x f 则且=++=的值为 （ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．24．同时具有性质：“①最小正周期是π②图像关于直线3x π=对称③在[,]63ππ-上是增函数”的一个函数是（ ）A ．sin()26x y π=+B ．cos(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．cos(2)6y x π=-5．将1、2、3…9这九个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3、4固定在图中的位置时，填写空格的办法为（ ）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种6．图中三条曲线给出了三个函数的图象，一条是汽车位移函数)(t s ，一条是汽车速度函数)(t v ，一条是汽车加速度函数)(t a ，则（ ）A ．曲线a 是)(t s 的图象，b 是)(t v 的图象，c 是)(t a 的图象B ．曲线b 是)(t s 的图象，a 是)(t v 的图象，c 是)(t a 的图象C ．曲线a 是)(t s 的图象，c 是)(t v 的图象，b 是)(t a 的图象D ．曲线c 是)(t s 的图象，b 是)(t v 的图象，a 是)(t a 的图象7．斜率为2的直线l 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A．e <B．1e << C．1e <<D．e >8．已知ABC ∆，如果对一切实数||||,AC BC t BA t ≥-都有，则ABC ∆一定为 （ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．与t 的值有关第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。

2．请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答. 3．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．如右图，在正方体ABCD -1111A B C D 中，p 为DC 的中点， 则1D P 与1BC 所在直线所成角的余弦值等于 .10．定义在R 上的函数R x x f x f ∈-且对于任意的反函数为),()(1，都有=-+-=+---)4()1(,3)()(11x f x f x f x f 则 .11．已知20220x y x y -≥⎧⎨-+≤⎩ ，则yx +)21(的最小值是 .12．若9)222(-x的展开式的第7项为=x 则,421 ·13．已知点P 是抛物线x y 42=上的点，设点P 到抛物线准线的距离为1d ，到圆1)3()3(22=-++y x 上一动点Q 的距离为212,d d d +则的最小值是 .14．下列命题：①如果一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行，那么这两个平面平行；②如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一平面的两个不同平面相互平行；④垂直于同一直线的两个不同平面相互平行。

其中真命题的是 .（把正确的命题序号全部填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分） a b c 、、为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，(cos,sin ),(cos ,sin )2222c c c cm n ==-，且m 与n 的夹角为3π。

（I ）求角C ；（Ⅱ）已知72c =，△ABC 的面积S =，求a b +．16．（本题小共14分）从某批产品中，有放回地抽取产品2次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有一件是二等品”的概率()0.96p A = （Ｉ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率P（II ）若该批产品共100件，从中一次性任意抽取2件，用ξ表示取出的2件产品中的二等品的件数，求ξ的分布列及期望。

17．（本题满分l3分）如图所示，正方形ABCD 和矩形ADEF 所在平面相互垂直，G 是AF 的中点． （I ）求证：AC ∥平面GBE ；（Ⅱ）若直线BE 与平面ABCD 成45o 角，求二面角B —GE —D 的大小．18．（本题满分13分）已知三次函数32()f x x ax bx c =+++在(,1)-∞-，（2,+∞）上单调递增，在（-1，2）上单调递减，当且仅当.54)(,42+->>x x x f x 时 （I ）求函数)(x f 的解析式； （II ）若函数)(),ln()1()2(3)()(x h m x m x x f x h 求++--'=的单调区间和极值。

19．（本题满分14分）已知点M ,N 分别在直线y mx =和(0)y mx m =->上运动,点P 是线段MN 的中点,且2,MN =动点P 的轨迹是曲线C .（I ）求曲线C 的方程,并讨论C 所表示的曲线类型;（II ）当m =时,过点(A 的直线l 与曲线C 恰有一个公共点,求直线l 的斜率.20．（本题满分13分）设),2,1()1(2,},{,2211 =-==>+n x x x a x x a n nn n 其中给定数列，求证： （I ）),2,1(1,21=<>+n x x x nn n ； （II ）如果),2,1(212,31=+≤≤-n x a n n 那么参考答案一、选择题二、填空题 9.51010. 0 11．14 12．13- 13．4 14．③④三、解答题15．解：（1）∵(cos,sin )22C C m =，(cos ,sin )22C C n =-， ∴22cossin cos 22C C m n C ⋅=-=． …………2分 又1||||cos cos 332m n m n ππ⋅=⋅==， …………4分∴1cos 2C =，∴3C π=．…………6分（2）∵2222cos c a b ab C =+-，72c =，1cos 2C =，∴22249()34a b ab a b ab =+-=+-． …………8分 ∵11sin 22S ab C ab ===∴6ab =． ∴24949121()318444a b ab +=+=+=， ∴112a b +=.…………10分 16．解：（1）记A 0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A 1表示事件“取出的2件产品中恰有1件是二等品”．则A 0、A 1互斥，且A ＝A 0＋A 1．故P （A ）＝P （A 0＋A 1）＝P （A 0） ＋P （A 1）＝（1－p ）2＋C 12p （1－p ）＝1－p 2．依题意，知1－p 2＝0.96，又p ＞0，得p ＝0.2．…………6分 （2）（理）ξ可能的取值为0，1，2．若该批产品共100件，由（1）知，其中共有二等品100×0.2＝20件，故Ｐ（ξ＝0）＝4953162100280=C C ．Ｐ（ξ＝1）＝4951602100120180=C C C ．Ｐ（ξ＝2）＝495192100220=C C ．…………9分所以ξ的分布列为∴ξ的期望2012.495495495E ξ=⨯+⨯+⨯==…………12分 17．（1）证明：连结BD 交AC 于点M ，取BE 的中点N 连结MN ，则MN ∥ED 且MN ＝21ED ，依题意， 知AG ∥ED 且AG ＝21ED ， ∴MN ∥AG 且MN ＝AG ．故四边形MNAG 是平行四边形， AM ∥ＧＮ， 即AC ∥ＧＮ，…………3分又∵GBE AC GBE GN 平面，平面⊄⊆∴ AC ∥平面GBE ．…………6分（2）解：延长EG 交DA 的延长线于H 点，连结BH ，作AO ⊥GH 于O 点，连结BO ．∵ 平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD ∩平面ADEF ＝AD ，AB ⊥AD ∴ AB ⊥平面ADEF ，由三垂线定理，知AB ⊥GH ，故∠AOB 就是二面角B －GE －D 的平面角．…………8分∵ 平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD ∩平面ADEF ＝AD ，ED ⊥AD ∴ ED ⊥平面ABCD ，故∠EBD 就是直线BE 与平面ABCD 成的角，……10分知∠EBD ＝45°，设AB ＝a ，则BE ＝BD ＝2a ．在直角三角形AGH 中：AH ＝AD= a ，AG ＝BE 21＝22a ， HG ＝a AG AH 2622=+，AO ＝a HG AG AH 33=⋅． 在直角三角形ABO 中：tan ∠AOB ＝333==a a AOAB．∴ ∠AOB ＝60°．故二面角B －GE －D 的大小为60°．…………12分18．解 （1）)(x f 在),2(),1,(+∞--∞上单调递增，(1,2)-上单调递减，023)(2=++='∴b ax x x f 有两根1,2-，322312,,33()6.226.12,3a a f x x x x c b b ⎧-+=-⎧⎪=-⎪⎪∴∴∴=--+⎨⎨⎪⎪=--⨯=⎩⎪⎩……4分令522554)()(232-+--=+--=c x x x x x x f x H ， 则2()352H x x x '=--，因为()H x '在[4,)+∞上恒大于0，所以()H x 在[4,)+∞上单调递增， 故(4)0H =， 11c ∴=-，11623)(23---=∴x x x x f . ……………6分 （2）2()336f x x x '=--，)2)(ln()1(1)(≠->++-+=∴x m x m x m x x h 且． mx x m x m x h +-=++-='∴111)( ． ………………8分 ①当2m ≤-时，2m -≥，定义域为),(+∞-m ，0)(>'x h 恒成立，),()(+∞-m x h 在上单调递增； …………9分 ②当12-≤<-m 时，12≥->m ，定义域：),2()2,(+∞- m ，0)(>'x h 恒成立，),2(),2,()(+∞-m x h 在上单调递增； …………10分③当1m >-时，1m -<，定义域：),2()2,(+∞- m ， 由0)(>'x h 得1x >，由0)(<'x h 得1x <．故在(1,2),(2,)+∞上单调递增；在)1,(m -上单调递减. …………11分 所以当2m ≤-时，),()(+∞-m x h 在上单调递增，故()h x 无极值； 当12-≤<-m 时，),2(),2,()(+∞-m x h 在上单增；故()h x 无极值. 当1m >-时，()h x 在(1,2),(2,)+∞上单调递增；在)1,(m -上单调递减.故()h x 有极小值,且()h x 的极小值为(1)2(1)ln(1)h m m =-++. …12分19．解：（I ）设),(),,(),,(2211mx x N mx x M y x P -依题意得121222212122,2,()()2,x x x mx mx y x x mx mx ⎧+=⎪-=⎨⎪-++=⎩…………2分 消去21,x x ，整理得112222=+m y mx ．…………4分 当1>m 时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆； 当10<<m 时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆； 当1=m 时，方程表示圆． …………6分（II ）当22=m 时，方程为121222=+y x ，设直线l 的方程为)362(+=x k y ，221,122(x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩…………8分 消去y 得023323616)41(2222=-+++k x k x k ．…………10分 根据已知可得0=∆，故有0)2332)(41(4)3616(2222=-+-k k k ， 432=k ， ∴直线l 的斜率为23±=k ． …………12分 20．证明 （Ⅰ）即证12n n x x +<<.()()2111211122(1)21x x x x x x x -==+--，()()2211211222(1)21x x x x x -==+--，12x a =>， ∴ 212x x <<.…………2分假设()*12k k x x k N +<<∈，则()()21112111122(1)21k k k k k k k k x x x x x x x x ++++++++-==+>--，…………4分 ()()22112112222(1)21k k k k k x x x x x +++++-==+>--， ∴ 212k k x x ++<<.综上所述，根据数学归纳法，命题成立. …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得()()()21221102222(1)122kk k k k k k x x x x x x x +--<-==⋅-<---，…………8 ∴ ()()112112122212222222n n n n n n x x x x x a x x x -------⎛⎫-=⋅⋅⋅-<- ⎪---⎝⎭ (10)又 3a ≤，∴ 1122n n x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即()1*12N 2n n x n -⎛⎫<+∈ ⎪⎝⎭.………12分。