期末检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(玉林中考)sin30°＝( B ) A ．22 B ．12 C ．32 D ．332．(2020·凉山州)如图，下列几何体的左视图不是矩形的是( B )3．(2020·黔西南州)如图，某停车场入口的栏杆AB ，从水平位置绕点O 旋转到A ′B ′的位置，已知AO 的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA ′＝α，则栏杆A 端升高的高度为( B )A ．4sin α 米B ．4sin α米C ．4cos α米 D ．4cos α米第3题图 第4题图 第5题图第6题图4．(新疆中考)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，下列说法中不正确的是( D )A ．DE ＝12 BCB ．AD AB ＝AE ACC ．△ADE ∽△ABCD ．S △ADE ∶S △ABC ＝1∶2 5．(2020·怀化)在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1＝k 1x ＋b 与反比例函数y 2＝k 2x (x ＞0)的图象如图所示．则当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围为( D )A ．x ＜1B ．x ＞3C ．0＜x ＜1D ．1＜x ＜36．(2020·宜宾)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上一点，连接AC 和BC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，且CD ＝4，BD ＝3，则⊙O 的周长是( A )A ．253 πB ．503 πC ．6259 πD ．62536π 7．(2020·自贡)函数y ＝k x 与y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则函数y ＝kx －b 的大致图象为( D )8．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC 高度应该设计为( D ) A.(11－22 )米 B ．(113 －22 )米 C ．(11－23 )米 D ．(113 －4)米第8题图 第9题图 第10题图9．(2020·苏州)如图，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点D (3，2)在对角线OB 上，反比例函数y ＝k x (k ＞0，x ＞0)的图象经过C ，D 两点．已知平行四边形OABC 的面积是152，则点B 的坐标为( B ) A ．(4，83 ) B ．(92 ，3) C ．(5，103 ) D ．(245 ，165) 10．(2020·遂宁)如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，连接AE ，DE ，分别交BD ，AC 于点P ，Q ，过点P 作PF ⊥AE 交CB 的延长线于F ，下列结论：①∠AED ＋∠EAC ＋∠EDB ＝90°；②AP ＝FP ；③AE ＝102 AO ；④若四边形OPEQ 的面积为4，则该正方形ABCD 的面积为36；⑤CE ·EF ＝EQ ·DE .其中正确的结论有( B )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二、填空题(每小题3分，共15分)11．(上海中考)已知反比例函数y ＝k x (k ≠0)，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而减小，那么k 的取值范围是k >0．12．如图，在▱ABCD 中，点E 是边BC 上一点，AE 交BD 于点F ，若BE ＝2，EC ＝3，则BF DF的值为25 ．第12题图 第13题图 第14题图第15题图13．(2020·达州)如图，小明为测量校园里一棵大树AB 的高度，在树底部B 所在的水平面内，将测角仪CD 竖直放在与B 相距8 m 的位置，在D 处测得树顶A 的仰角为52°.若测角仪的高度是1 m ，则大树AB 的高度约为__11_m__．(结果精确到1 m ．参考数据：sin 52°≈0.78，cos 52°≈0.61，tan 52°≈1.28)14．(2020·鄂州)如图，点A 是双曲线y ＝1x(x ＜0)上一动点，连接OA ，作OB ⊥OA ，且使OB ＝3OA ，当点A 在双曲线y ＝1x 上运动时，点B 在双曲线y ＝k x上移动，则k 的值为__－9__．15．(2020·岳阳)如图，AB 为半圆O 的直径，M ，C 是半圆上的三等分点，AB ＝8，BD 与半圆O 相切于点B .点P 为AM 上一动点(不与点A ，M 重合)，直线PC 交BD 于点D ，BE ⊥OC 于点E ，延长BE 交PC 于点F ，则下列结论正确的是__②⑤__．(写出所有正确结论的序号)①PB ＝PD ；②BC 的长为43π；③∠DBE ＝45°；④△BCF ∽△PFB ；⑤CF ·CP 为定值． 三、解答题(共75分)16．(8分)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB ＝2，求△ABC 的周长．(结果保留根号)解：△ABC 的周长是6＋2317．(9分)(2020·成都)在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y ＝m x(x ＞0)的图象经过点A (3，4)，过点A 的直线y ＝kx ＋b 与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)若△AOB 的面积为△BOC 的面积的2倍，求此直线的函数表达式．解：(1)∵反比例函数y ＝mx(x ＞0)的图象经过点A (3，4)，∴k ＝3×4＝12，∴反比例函数的表达式为y ＝12x (2)∵直线y ＝kx ＋b 过点A ，∴3k ＋b ＝4，∵过点A 的直线y ＝kx ＋b 与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，∴B (－b k，0)，C (0，b )，∵△AOB 的面积为△BOC 的面积的2倍，∴12 ×4×|－b k |＝2×12 ×|－b k |×|b |，∴b ＝±2，当b ＝2时，k ＝23，当b ＝－2时，k ＝2，∴直线的函数表达式为：y ＝23x ＋2或y ＝2x －2 18．(9分)如图①是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．(1)请说出这个几何体模型的最确切的名称是直三棱柱；(2)如图②是根据 a ，h 的取值画出的几何体的主视图和俯视图(图中的粗实线表示的正方形(中间一条虚线)和三角形)，请在网格中画出该几何体的左视图；(3)在(2)的条件下，已知h ＝20 cm ，求该几何体的表面积．(结果保留根号)解：(2)图略 (3)由题意可得：a ＝h 2 ＝202＝102 ，S 表面积＝12 ×(102 )2×2＋2×102 ×20＋202＝(600＋4002 ) cm 219．(9 分)如图，等边三角形ABC 的边长为6，在AC ，BC 边上各取一点E ，F ，使AE ＝CF ，连接AF ，BE 相交于点P .(1)求证：AF ＝BE ，并求∠APB 的度数；(2)若AE ＝2，试求AP ·AF 的值．解：(1)∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∠C ＝∠CAB ＝60°，又∵AE ＝CF ，∴△ABE ≌△CAF (SAS)，∴AF ＝BE ，∠ABE ＝∠CAF .又∵∠APE ＝∠BPF ＝∠ABP ＋∠BAP ，∴∠APE ＝∠BAP ＋∠CAF ＝60°，∴∠APB ＝180°－∠APE ＝120° (2)∵∠C ＝∠APE ＝60°，∠PAE ＝∠CAF ，∴△APE ∽△ACF ，∴AP AC ＝AE AF ，即AP 6 ＝2AF，∴AP ·AF ＝12 20．(9分)(2020·黄冈)已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴负半轴交于点D ，OB ＝5 ，tan ∠DOB ＝12. (1)求反比例函数的解析式；(2)当S △ACO ＝12 S △OCD 时，求点C 的坐标．解：分别过点B ，A 作BM ⊥x 轴，AN ⊥y 轴，垂足为点M ，N ，(1)在Rt △BOM 中，OB ＝5 ，tan ∠DOB ＝12，∴BM ＝1，OM ＝2，∴点B (－2，－1)，∴k ＝(－2)×(－1)＝2，∴反比例函数的关系式为y ＝2x (2)∵S △ACO ＝12 S △OCD ，∴OD ＝2AN ，又∵△ANC ∽△DOC ，∴AN DO ＝NC OC ＝CA CD＝12 ，设AN ＝a ，CN ＝b ，则OD ＝2a ，OC ＝2b ，∵S △OAN ＝12 |k |＝1＝12 ON ·AN ＝12×3b ×a ，∴ab ＝23 ①，由△BMD ∽△CNA 得MD AN ＝BM CN ，即2－2a a ＝1b ，也就是a ＝2b 2b ＋1②，由①②可求得b ＝1，b ＝－13(舍去)，∴OC ＝2b ＝2，∴点C (0，2) 21．(10分)(2020·河南)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP 上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为22°，然后沿MP 方向前进16 m 到达点N 处，测得点A 的仰角为45°.测角仪的高度为1.6 m.(1)求观星台最高点A 距离地面的高度(结果精确到0.1 m ．参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40，2 ≈1.41)；(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m ．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．解：(1)过A 作AD ⊥PM 于D ，延长BC 交AD 于E ，则四边形BMNC ，四边形BMDE 是矩形，∴BC ＝MN ＝16 m ，DE ＝CN ＝BM ＝1.6 m ，∵∠AEB ＝90°，∠ACE ＝45°，∴△ACE 是等腰直角三角形，∴CE ＝AE ，设AE ＝CE ＝x ，∴BE ＝16＋x ，∵∠ABE ＝22°，∴tan 22°＝AE BE ＝x16＋x ≈0.40，∴x ≈10.7(m)，∴AD ＝10.7＋1.6＝12.3(m)，答：观星台最高点A 距离地面的高度约为12.3 m(2)∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6 m ，∴本次测量结果的误差为12.6－12.3＝0.3(m)，减小误差的合理化建议为：可以通过多次测量取平均值的方法来减小误差22．(10分)(2020·常德)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，D 是AB 上的一点，DE ⊥AB 于D ，DE 交BC 于F ，且EF ＝EC .(1)求证：EC 是⊙O 的切线；(2)若BD ＝4，BC ＝8，圆的半径OB ＝5，求切线EC 的长．解：(1)连接OC ，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∵DE ⊥AB ，∴∠OBC ＋∠DFB ＝90°，∵EF ＝EC ，∴∠ECF ＝∠EFC ＝∠DFB ，∴∠OCB ＋∠ECF ＝90°，∴OC ⊥EC ，∴EC 是⊙O 的切线 (2)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵OB ＝5，∴AB ＝10，∴AC ＝AB 2－BC 2 ＝100－64＝6，∵cos ∠ABC ＝BD BF ＝BC AB ，∴810 ＝4BF ，∴BF ＝5，∴CF ＝BC －BF ＝3，∵∠ABC ＋∠A ＝90°，∠ABC ＋∠BFD ＝90°，∴∠BFD ＝∠A ，∴∠A ＝∠BFD ＝∠ECF ＝∠EFC ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠A ＝∠BFD ＝∠ECF ＝∠EFC ，∴△OAC ∽△ECF ，∴EC OA ＝CF AC ，∴EC ＝OA ·CF AC ＝5×36＝5223．(11分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB 于点D .点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到点C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．(1)求线段CD 的长；(2)设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t ，使得S △CPQ ∶S △ABC ＝9∶100？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；(3)当t 为何值时，△CPQ 为等腰三角形？解：(1)线段CD 的长为4.8 (2)过点P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，由题意可知DP ＝t ，CQ ＝t ，则CP ＝4.8－t .由△CHP ∽△BCA 得PH AC ＝PC AB ，∴PH 8 ＝4.8－t 10 ，∴PH ＝9625 －45 t ，∴S △CPQ ＝12CQ ·PH ＝12 t (9625 －45 t )＝－25 t 2＋4825 t .设存在某一时刻t ，使得S △CPQ ∶S △ABC ＝9∶100.∵S △ABC ＝12 ×6×8＝24，且S △CPQ ∶S △ABC ＝9∶100，∴(－25 t 2＋4825t )∶24＝9∶100，整理得5t 2－24t ＋27＝0，即(5t －9)(t －3)＝0，解得t ＝95 或t ＝3，∵0≤t ≤4.8，∴当t ＝95或t ＝3时，S △CPQ ∶S △ABC ＝9∶100 (3)①若CQ ＝CP ，则t ＝4.8－t .解得t ＝2.4；②若PQ ＝PC ，作PH ⊥QC于点H ，∴QH ＝CH ＝12 QC ＝t 2 ，∵△CHP ∽△BCA ，∴CH BC ＝CP AB ，∴t 26 ＝4.8－t 10 ，解得t ＝14455；③若QC ＝QP ，过点Q 作QE ⊥CP ，垂足为E ，同理可得t ＝2411 .综上所述：当t 为2.4或14455或2411时，△CPQ 为等腰三角形。