勾股数的规律
能够组成一个直角三角形的三边长的正整数，叫做勾股数。

如“勾三股四弦为五”（3，4，5）再如常见的（6，8，10）（5，12，13）、（7，24，25），熟记一些勾股数利于我们更快、更准的解决于直角三角形有关的实际问题。

下面就勾股数的三个正整数之间的规律进行探究：
规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现
由（3，4，5）有： 32=9=4+5
由（5，12，13）有： 52=25=12+13
由（7，24，25）有： 72=49=24+25
由（9，40，41）有： 92=81=40+41.
即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。

其论证如下：数a为大于1的正数，则2a+1为奇数数，则有
∵（2a+1）2=4a2+4a+1=（2a2+2a）+（2a2+2a+1）
∴（2a +1）2+（2a 2+2a）2=（2a2+2a+1）2
因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式一：
（2a+1，2a2+2a，2a2+2a+1）（a为正整数）
或整理为：对于一个大于1的整奇数m,构成的勾股数为（m,,）
规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现
由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10）
由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17）
由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26）
即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续且相差为2的整数之和的二倍。

其论证如下：数a为大于1的正数，则2a为偶数，则有
∵（2a）2=4a2=2[（a2-1）+（a2+1）]
∴（2a）2+（a2-1）2=（a2+1）2（a≥2且a为正整数）
因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式二：
（2a，a2-1，a2+1）（a≥2且a为正整数）
或整理为：对于一个大于1的整偶数m,构成的勾股数为
（m,,）。