勾股数的规律总结
我们知道，像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数有什么规律吗？下面就让我们分类探究一下.
一、最短边的长度为奇数 观察下表中的勾股数：
根据上面的表格，我们可以发现以上勾股数（，，无公约数）具备一定的特征，很显然，当21a n =+（n ≥1）时，()21b n n =+，()211c n n =++.同时我们容易验证：
()
()()22
2
2121211n n n n n +++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
即当最短边的长度为奇数时，勾股数有此规律. 二、最短边的长度为偶数
最短边的长度为偶数时，没有公约数的勾股数又有什么规律呢？
首先，最短边为偶数时，其他两边不可能再是偶数，否则就有了公约数2，所以另外两个勾股数必为奇数，而且这两个奇数的平方差是8的倍数（八年级上册曾学过）.这是因为两个奇数可以表示为21m +和21n +，这里的m 、n 都是正整数，不妨设m n >，则
()()
()22
222121441441m n m m n n +-+=++-++
(
)()22
44m n
m n =-+-
()()41m n m n =-++.
因为m 、n 都为正整数，而任意两个正整数的和与差具有同奇同偶性，所以m n -与
1m n ++这两个数中，有且只有一个偶数，所以()()41m n m n -++必定能被8整除.这说
明，一组无公约数的勾股数中，如果最小的数为偶数，则它的平方必为8的倍数，而另外两数必为奇数.
由此表格中的数据可以得出，该表格中的无公约数的勾股数具备这样的特征：当（n ≥1）时，2161b n =-，2
161c n =+，同时我们容易验证：
()
()()2
2
2
228161161n n n +-=+.
综上，我们对无公约数的勾股数做了一定的探索，并获得了一般规律，只要能牢固掌握这些规律，今后解决相关的题目就能够驾轻就熟.。