2016-2017学年四川省成都市龙泉一中高二（上）入学数学试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．经过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为4，则直线l的方程为（）A．x﹣2y+9=0或x+2y+3=0 B．2x﹣y+9=0或2x+y+3=0C．x+2y+3=0或x﹣2y+9=0 D．x+2y+9=0或2x﹣y+3=02．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=30°，则cosC=（）A．B．C．﹣D．±3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（）A．35 B．﹣3 C．3 D．﹣0.54．对数型函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，1）5．设集合M={x|x2﹣5x﹣6＞0}，U=R，则∁U M=（）A． B．（﹣∞，23，+∞）C． D．6．已知向量=（2，1），=（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣17．用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间上的实根，取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（）A． B． C．D．以上都不对8．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC=0，M是线段D1O上的动点，过点M做平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为（）A．B．C．D．19．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A．AC⊥BDB．AC=BDC．AC∥截面PQMND．异面直线PM与BD所成的角为45°10．已知函数f（x）=ln（cosx），则下列说法中，错误的是（）①f（x）在定义域上存在最小值；②f（x）在定义域上存在最大值③f（x）在定义域上为奇函数；④f（x）在定义域上为偶函数．A．①③B．②④C．①②D．③④11．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变12．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（）A．α∥β⇒l∥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥βD．l⊥m⇒α⊥β二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．已知sinθ+cosθ=，则sin2θ的值为______．14．已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ______．15．将一个总体分为A，B，C三个层次，已知A，B，C的个体数之比为5：3：2，若用分层抽样法抽取容量为150的样本，则B中抽取的个体数应该为______个．16．已知矩形ABCD中，AB=2，BC=1，在矩形ABCD内随机取一点M，则BM＜BC的概率为______．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知全集为实数集，集合A={x|1＜x＜4}，B={x|3x﹣1＜x+5}．（1）求集合B及∁R A；（2）若C={x|x≤a}，（∁R A）∩C=C，求实数a的取值范围．18．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC 边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，B=．（1）若a=3，b=，求c的值；（2）若f（A）=sinA（cosA﹣sinA），a=，求f（A）的最大值及此时△ABC的外接圆半径．20．如图所示，圆O的半径为R，A、B、C为圆O上不同的三点，圆心O在线段AC上．（1）当AB=4，BC=3时，在圆O内任取一点P，求所取点P恰好位于△ABC内的概率；（2）当R=1，B点为圆O上的动点时，此时在圆O内任取一点Q，求点Q位于△ABC内的概率的取值范围．21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD；（Ⅱ）若PA与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积V．2016-2017学年四川省成都市龙泉一中高二（上）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．经过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为4，则直线l的方程为（）A．x﹣2y+9=0或x+2y+3=0 B．2x﹣y+9=0或2x+y+3=0C．x+2y+3=0或x﹣2y+9=0 D．x+2y+9=0或2x﹣y+3=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线l的距离d，利用弦长公式：=r2即可得出．【解答】解：圆x2+y2+4y﹣21=0配方可得：x2+（y+2）2=25，可得圆心C（0，﹣2），半径r=5．设经过点M（﹣3，﹣3）的直线l的方程为：y+3=k（x+3），化为：kx﹣y+3k﹣3=0．圆心到直线l的距离d==，∴+=52，化为：2k2﹣3k﹣2=0，解得k=2或﹣．∴直线l的方程为x+2y+9=0或2x﹣y+3=0．故选：D．2．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=30°，则cosC=（）A．B．C．﹣D．±【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinC=，又AB＜AC，利用大边对大角可得C为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可求得cosC的值．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠B=30°，∴由正弦定理可得：sinC===，又∵AB＜AC，C为锐角，∴cosC==．故选：A．3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（）A．35 B．﹣3 C．3 D．﹣0.5【考点】众数、中位数、平均数．【分析】在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15少输入90，在计算过程中共有30个数，所以少输入的90对于每一个数来说少3，求出的平均数与实际平均数的差可以求出．【解答】解：∵在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15少输入90，而=3∴平均数少3，∴求出的平均数减去实际的平均数等于﹣3．故选B．4．对数型函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，1）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据对数函数必要（1，0）点，结合函数图象的平移变换法则，可得答案．【解答】解：对数函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象由对数函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象向上平移一个单位得到，故函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，1），故选：D．5．设集合M={x|x2﹣5x﹣6＞0}，U=R，则∁U M=（）A． B．（﹣∞，23，+∞）C． D．【考点】补集及其运算．【分析】先求出集合M，然后进行补集的运算即可．【解答】解：x2﹣5x﹣6＞0即（x﹣6）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞6，∴M=（﹣∞．﹣1）∪（6，+∞），∴∁U M=，故选：C6．已知向量=（2，1），=（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件便有，进行向量数量积的坐标运算便可得出k的值．【解答】解：∵；∴；∴k=2．故选：A．7．用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间上的实根，取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（）A． B． C．D．以上都不对【考点】二分法求方程的近似解．【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由f（2）＜0，f（2.5）＞0 知，f（x）零点所在的区间为．【解答】解：设f（x）=x3﹣2x﹣5，f（2）=﹣1＜0，f（3）=16＞0，f（2.5）=﹣10=＞0，f（x）零点所在的区间为，方程x3﹣2x﹣5=0有根的区间是，故选A．8．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC=0，M是线段D1O上的动点，过点M做平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为（）A．B．C．D．1【考点】棱柱的结构特征．【分析】根据正方体的结构特征，可证，N在B1D1上，过N作NG⊥A1B1，交A1B1于G，设NG=x，利用勾股定理构造关于x的函数，求函数的最小值．【解答】解：∵平面ACD1⊥平面BDD1B1，又MN⊥平面ACD1，∴MN⊂平面BDD1B1，∴N∈B1D1过N作NG⊥A1B1，交A1B1于G，将平面A1B1C1D1展开，如图：设NG=x，（0≤x≤1），∴AN===≥，当x=时最小．故选B．9．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A．AC⊥BDB．AC=BDC．AC∥截面PQMND．异面直线PM与BD所成的角为45°【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．【解答】解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正确；∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．由BD∥PN，∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确；由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．∴，，而AN≠DN，PN=MN，∴BD≠AC．B错误．故选：B．10．已知函数f（x）=ln（cosx），则下列说法中，错误的是（）①f（x）在定义域上存在最小值；②f（x）在定义域上存在最大值③f（x）在定义域上为奇函数；④f（x）在定义域上为偶函数．A．①③B．②④C．①②D．③④【考点】命题的真假判断与应用；复合函数的单调性；对数函数的图象与性质．【分析】根据已知中函数f（x）=ln（cosx），分析出函数的最值及奇偶性，可得答案．【解答】解：由cosx＞0得：x∈（﹣+2kπ， +2kπ），k∈Z，此时f（x）=ln（cosx）≤ln1=0，即f（x）在定义域上存在最大值，无最小值，故①错误，②正确；又由f（x）=ln=ln（cosx）=f（x），故函数为偶函数，故③错误，④正确，故选：B11．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二倍角的余弦．【分析】利用二倍角公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由于函数y=2cos2x=2•=cos2x+1，∴要得到得函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选：B．12．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（）A．α∥β⇒l∥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥βD．l⊥m⇒α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥m，当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，当l∥m有α⊥β，当l⊥m有α∥β或α∩β，得到结论【解答】解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥β，进而可得l⊥m，故A不正确当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，故B不正确当l∥m有直线m⊥平面α，因为直线m⊂平面β，α⊥β，故C正确，当l⊥m有α∥β或α∩β，故D不正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．已知sinθ+cosθ=，则sin2θ的值为﹣．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】将已知的等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，整理后即可求出sin2θ的值．【解答】解：将sinθ+cosθ=左右两边平方得：（sinθ+cosθ）2=，整理得：sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+sin2θ=，则sin2θ=﹣1=﹣．故答案为：﹣14．已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可．【解答】解：y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）=sin（πx+φ﹣α），其中sinα=，cosα=．∵函数的图象关于直线x=1对称，∴π+φ﹣α=+kπ，即φ=α﹣+kπ，则sin2φ=sin2（α﹣+kπ）=sin（2α﹣π+2kπ）=sin（2α﹣π）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣2××=，故答案为：15．将一个总体分为A，B，C三个层次，已知A，B，C的个体数之比为5：3：2，若用分层抽样法抽取容量为150的样本，则B中抽取的个体数应该为45个．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样原理，每个个体被抽到的比例相等，即可求出结果．【解答】解：根据分层抽样原理，抽取容量为150的样本，在B中应抽取的个体数为：150×=45．故答案为：45．16．已知矩形ABCD中，AB=2，BC=1，在矩形ABCD内随机取一点M，则BM＜BC的概率为．【考点】几何概型．【分析】本题为几何概型，由题意通过圆和矩形的知识确定满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．【解答】解：四边形ABCD的面积为2．BM＜BC表示以B为圆心，1为半径的圆在矩形ABCD内部的部分，面积为，∴BM＜BC的概率为=．故答案为：．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知全集为实数集，集合A={x|1＜x＜4}，B={x|3x﹣1＜x+5}．（1）求集合B及∁R A；（2）若C={x|x≤a}，（∁R A）∩C=C，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）化简集合B，求出集合A在R中的补集即可；（2）根据交集的定义，计算得出C⊆∁R A，再求出a的取值范围即可．【解答】解：（1）∵B={x|3x﹣1＜x+5}，∴B={x|x＜3}，又∵A={x|1＜x＜4}，∴∁R A={x|x≤1或x≥4}；（2）∵（∁R A）∩C=C，∴C⊆∁R A={x|x≤1或x≥4}，又C={x|x≤a}，∴a≤1．18．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC 边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）设C（m，n），利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；（2）利用中点坐标公式、点斜式即可得出．【解答】解：（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．∴k BC==∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，B=．（1）若a=3，b=，求c的值；（2）若f（A）=sinA（cosA﹣sinA），a=，求f（A）的最大值及此时△ABC的外接圆半径．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用余弦定理即可得解c的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（A）=sin（2A+）﹣，利用正弦函数的性质可求f（A）的最大值，利用正弦定理进而可求得此时△ABC的外接圆半径．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵b2=a2+c2﹣2accosB，a=3，b=，，∴7=9+c2﹣2×，整理可得：c2﹣3c+2=0，解得：c=1或2…4分（2）由二倍角公式得f（A）=sin2A+cos2A﹣，∴f（A）=sin（2A+）﹣，∴当A=时，f（A）最大值为，此时△ABC为直角三角形，此时△ABC的外接圆半径：…12分20．如图所示，圆O的半径为R，A、B、C为圆O上不同的三点，圆心O在线段AC上．（1）当AB=4，BC=3时，在圆O内任取一点P，求所取点P恰好位于△ABC内的概率；（2）当R=1，B点为圆O上的动点时，此时在圆O内任取一点Q，求点Q位于△ABC内的概率的取值范围．【考点】几何概型．【分析】（1）根据题意，求出圆O的面积与△ABC的面积，计算点P恰好位于△ABC内的概率值；（2）建立适当的直角坐标系，求出对应△ABC的面积，计算点Q位于△ABC内的概率与取值范围．【解答】解：（1）记“所求点恰好位于△ABC内”为事件A，∵AC为原O的直径，∴2R==5，半径R=，=π•=；∴圆O的面积为S圆O又∵△ABC的面积为S△ABC=×3×4=6，∴点P恰好位于△ABC内的概率为P（A）===；（2）以O为原点，直线AC为x轴，以过O点并垂直于直线AC的直线为y轴建立直角坐标系，则有A（﹣1，0），C（1，0），设B（x，y）；记“所取点Q位于△ABC内”为事件B，则由题设知﹣1＜x＜1，R2=x2+y2=1，∵=（x+1，y），=（x﹣1，y），∴||==，||==，∴△ABC的面积为S△ABC=|AB|•||=ו=；又∵﹣1＜x＜1，∴0＜4﹣4x2＜4，∴0＜S△ABC＜1；=π×12=π，又∵S圆O∴P（B）=，∴点Q位于△ABC内的概率取值范围为0＜P（B）＜．21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．【考点】三点共线；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线，可证由三点组成的两个向量共线，由题设条件不难得到；（II）由（Ⅰ）变形即可得到两向量模的比值；（Ⅲ）求出的解析式，判断其最值取到的位置，令其最小值为，由参数即可，【解答】解：（Ⅰ）由已知，即，∴∥．又∵、有公共点A，∴A，B，C三点共线．（Ⅱ）∵，∴=∴，∴．（Ⅲ）∵C为的定比分点，λ=2，∴，∴∵，∴cosx∈当m＜0时，当cosx=0时，f（x）取最小值1与已知相矛盾；当0≤m≤1时，当cosx=m时，f（x）取最小值1﹣m2，得（舍）当m＞1时，当cosx=1时，f（x）取得最小值2﹣2m，得综上所述，为所求．22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD；（Ⅱ）若PA与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积V．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（I）由中位线定理得出MN∥BC，由MN∥AD，故MN∥AD，得出MN∥平面PAD；（II）由∠PAD=45°得出PD=AD，于是棱锥体积V=．【解答】（Ⅰ）证明：∵M、N分别是棱PB、PC中点，∴MN∥BC，又ABCD是正方形，∵AD∥BC，∴MN∥AD．∵MN⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD．（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，∴PA与平面ABCD所成的角为∠PAD，∴∠PAD=45°．∴PD=AD=2，故四棱锥P﹣ABCD的体积V==．2016年9月25日。