俯视图正视图侧视图中宁一中2015届高三第二次月考试卷理科数学考试时间；150分钟 分值；120分第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1. 设集合2{|2},{|340},S x x T x x x =>-=+-≤则()R S T ð＝( )A ．(－2，1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)2．复数311i z i-=+（i 为虚数单位）的模是（ ） B. C.5 D.83．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则||a ＋b ＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．104．设,αβ为两个不同平面，m 、 n 为两条不同的直线，且,,βα⊂⊂n m 有两个命题：P ：若m ∥n ,则α∥β；q ：若m ⊥β, 则α⊥β. 那么（ ） A ．“p ⌝或q ”是假命题 B ．“p ⌝且q ”是真命题 C ．“p 或q ⌝”是真命题 D ．“p⌝且q ”是真命题 5．如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形， 俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为（） A ．2+3π+．2+2π+C ．8+5π+ D ．6+3π+6. 设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝1log (1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( )A ．是增函数且f (x )<0B ．是增函数且f (x )>0C ．是减函数且f (x )<0D ．是减函数且f (x )>07. 函数22x y x =-的图象大致是（ ）8、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 112,1+==n n a S a ,则n S =（ ）（A ）12-n （B ）1)23(-n （C ）1)32(-n （D ）121-n9. (设11333124log ,log ,log ,233a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ）. （A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a <<10. 在ABC ∆，内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠=（ ）（A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）56π 11. 函数()2sin()(0)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<，的部分图像如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）．（A ） 2，3-π （B ） 2，6-π (C) 4，6-π（D ）4，3π12. 在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．。

13.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．14. 若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，，则2z x y =+的最小值为_________．15. 如图，在ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AC AD ⊥,23,322sin ==∠AB BAC , 3=AD , 则BD 的长为16．已知函数11,1(x)4ln ,1x x f x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是三. 解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17、（本小题满分12分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=．（1）求sin sin CA的值； （2）若1cos 4B =，△ABC 的周长为5，求b 的长．18、 （本小题满分12分） 已知函数()ln (f x x a x a =-∈R).（1）当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的极值.19、 （本小题满分12分）已知等差数列}{n a 满足：357726a a a =+=，．{}n a 的前n 项和为.n S（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令112-=n n a b *()n ∈N ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．20.（ 本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12PD .（Ⅰ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （Ⅱ）求二面角Q BP C --的余弦值.21. （本小题满分12分） 设函数2()(1)x f x x e ax =--． （Ⅰ）若a =12，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D 。

（Ⅰ）证明：DB=DC ； （Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。

（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=。

（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.中宁一中2015届高三第二次月考试卷理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13 1800 14 -6．16 11[,)4a e∈三. 解答题(本大题共6小题，共70分，17、解：（1）由正弦定理，设,sin sin sin a b ck A B C=== 则22sin sin 2sin sin sin sin c a k C k A C Ab k B B ---==． 所以cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=，即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-，化简可得sin()2sin()A B B C +=+．又πA B C ++=，所以sin 2sin C A =．因此sin 2.sin CA= （2）由sin 2sin CA=，得2c a =．由余弦定理及1cos 4B =，得22222222cos 14444.b ac ac Ba a a a =+-=+-⨯= 所以2.b a =又5,a bc ++=所以1a =．因此2b =．18、解：函数()f x 的定义域为（0，+∞），'()f x =1.ax- （I ）当a =2时，()f x =x-2ln x ，()f x '=1-2x（x ＞0）， 因而(1)f =1，()f x '=-1， 所以曲线y=()f x 在点A (1，(1)f )处的切线方程为1(1)+20y x x y -=---=，即. （II ）由()f x '=1,a x a x x x--=＞0知： ①当a ≤0时，'()f x ＞0，函数()f x 为（0，+∞）上的增函数，函数()f x 无极值. ②当a ＞0时，由'()f x =0，解得x a =.又当x ∈(0, a )时，'()f x ＜0；当x ∈(a , +∞)时，'()f x ＞0，从而函数()f x 在x =a 处取得极小值，且极小值为()f a =ln a a -，无极大值. 综上，当a ≤0时，函数()f x 无极值；当a ＞0时，函数()f x 在x =a 处取得极小值ln a a -，无极大值. 19、解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 由于357726a a a =+=，，所以112721026a d a d +=+=，，解得132a d ==，． 由于11()(1)2n n n n a a a a n d S +=+-=， 所以21(2)n n a n S n n =+=+，． （Ⅱ）因为21n a n =+， 所以214(1)n a n n -=+， 因此1111().4(1)41n b n n n n ==-++故12n n T b b b =+++111111(1)42231n n =-+-++-+11(1)41n =-+4(1)nn =+，所以数列{}n b 的前n 项和.4(1)n nT n =+20. 解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -.（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===-所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅=即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC .故PQ ⊥平面DCQ . 又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ . （II ）依题意有B （1，0，1），(1,0),(12,1).C B B P ==--设(,,)x y z =n 是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,CB x x y z BP ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩即n n因此可取(0,1,2).=--n 设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.BP PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m可取(1,1,1).=m所以cos ,<>=m n 故二面角Q BP C --的余弦值为 21、解：（Ⅰ）12a =时，21()(1)2x f x x e x =--， ()1(1)(1)x x xf x e xe x e x '=-+-=-+． 当()1x ∈-∞-，时()f x '>0；当()10x ∈-，时，()0f x '<；当()0x ∈+∞，时，()0f x '>．故()f x 在()1-∞-，，()0+∞，单调增加，在（1-，0）单调减少．（Ⅱ）()(1)xf x x e ax =--．令()1xg x e ax =--，则()xg x e a '=-．若1a ≤，则当()0x ∈+∞，时，()g x '>0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当x ≥0时()g x ≥0，即()f x ≥0．若a >1，则当()0ln x a ∈，时，()g x '<0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当()0ln x a ∈，时()g x ＜0，即()f x ＜0． 综合得a 的取值范围为(]1-∞，请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。