求 z , z . x y
z
解： z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
uv x yx y
ex y[ y sin( x y) cos(x y)]
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
u v
z z u z v o ( )
t u t v t t 3
z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t
z
令 t ,则0 有 u 0, v 0,
u du , v dv
uv
t dt t dt
tt
o ( ) o( ) t
( u )2 ( v)2 0
求 2z . xy
解 : 令u y , v xy,
x
z x2 f (u, v)
f
uv
x yx y
z x
2 xf
x2
[ uf
u x
f v
v x
]
2xf
x2
f1 (
y x2
)
x2
f2
y
12
x
2xf yf1 x2 yf2
f1( f2)
u
v
y
x
2z xy
y
2x
y
(
f
)
y
(
yf1)
x2
y
z f (u, v) 在点 (u, v) 处可微, 则复合函数
z
z f ( (t), (t)) 在点 t可导, 且有链式法则
dz z du z dv dt u dt v dt
uv
tt
证: 设 t 取增量 t , 则相应中间变量有增量 u , v z z u z v o ( ) ( (u)2 (v)2 )
fvv )
14
二. 复合函数的全微分
设函数 z f (u, v), u (x, y), v (x, y) 都可微,
则复合函数 z f ( (x, y) , (x, y)) 的全微分为
dz z dx z d y x y
(z u z v ) d x ( z u z v )d y
(
yf2)
2x[f u f v ] u y v y
f1
y[ f1 u
u y
f1 v
v ] y
x2
f 2
x2
y[ f2 u
u y
f 2 v
v y
]
f1 3x2
f2
y x
f11 x3 yf22
13
课堂练习
设z
f
xy,
1
(
x
2
2
y2
),其中f ( u,v )具有二阶连续偏导数,
求 2z x 2
解: d z d ( eu sin v )
x y
eu sin v du eu cos v d v
ex y[sin( x y)d (x y) cos(x y)d (x y)]
ex y[sin( x y) ( ydx xd y) cos(x y)(d x d y)]
ex y[ y sin( x y) cos(x y)]dx
u x v x
u y v y
z ( u d x
u
d y)
z
( v d x
v d y)
u x y
v x y
z du z dv
u
v
这说明,无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表
达式一样, 这性质叫做全微分形式不变性 .
15
例 6. z eu sinv, u xy, v x y,求 z , z .
ex y[xsin( x y) cos(x y) ]d y
所以
z ex y[ y sin( x y) cos(x y)] x
z ex y[x sin( x y) cos(x y)]
y
16
内容小结
一. 复合函数求导的链式法则
“分段用 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”
乘 例如, , u f (x, y,v), v (x, y),
u
u x
f1
f 3 1
u y
f2
f 3 2
x
yv xy
二. 全微分形式不变性
z f (u , v), 不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z fu (u ,v) du fv (u ,v) dv
17
习题9 4 P82
2,5,7,8(1)(2),11,12(2)(4)
18
2z y 2
解
z x fu y fv x
z y fu x fv y
2z x 2 ( fuu y fuv x) y ( fvu y fvv x)x fv
2z y 2
( fuu
x
f uv
y)x ( fvux
fvv y)y
fv
2z x 2
2z y 2
(x2
y 2 )( fuu
记
f1
f
(u,v) , u
f12
2 f (u,v) , uv
w
u
v
同理有 f2, f11, f22 .
x y zx y z
w x
f u f v u x v x
f1 yzf2;
10
2w xz
z
(
f1
f1 f1 u z u z
yzf2)
f1 z
yf2
yz
f1 v v z
f11
ex y[x sin( x y) cos(x y)]
7
例2. u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y ,
求 u , u
u
x y
解: u f f z
xyz
x x z x
xy
2 x ex2 y2 z2 2z ex2 y2 z2 2 x sin y
求全导数 d z .
dt
z
解:
dz z du z dv z dt u dt v dt t
tt
vet u sin t cost
et (cos t sin t) cost
9
例 4 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶 连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz; w f (u, v)
2 x (1 2 x2 sin 2 y) ex2 y2 x4 sin2 y
u f f z y y z y
2yex2 y2 z2
2ze
x2
y
2
z
2
x
2
cos
y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin2 y 8
例 3. 设 z u v sin t , u et ,
xyf12;
f2; z
u
f1
,
f2
v
f2 z
f2 u f2 v u z v z
f21 xyf22;
x
y
z
x
y
z
于是2w xzf11来自xyf12yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
11
例5 设z x2 f ( y , xy),其中f具有二阶连续偏导, x
f1 f2 f3
2）中间变量是多元函数的情形。例如
z
uvw ttt
z f (u,v) , u (x, y), v (x, y)
则在它们都可微的条件下
z z u z v x u x v x
z y
z u u y
z v
v y
f12
f2 2
z
uv x yx y
5
又如 z f (x,v), v (x, y)
t t
（t 0 时,根式前加“–”
dz z du z dv dt u dt v dt
号)
( 全导数公式 )
4
推广: 1）中间变量多于两个的情形。例如
z f (u,v, w) , u (t), v (t), w (t)
则在它们都可微的条件下
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
当它们 都具有可微条件时，则有
z x
f x
f v
v x
f1
f 2 1
z y
f v
v y
f2 2
注意:
这里 z
x
与
f x
不同
z x
表示固定 y 对 x 求导
f 表示固定 v 对 x 求导
x
z f
xv
xy
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导6
例1. 设 z eu sin v , u x y , v x y
第四节 多元复合函数的求导法则
一元复合函数 y f (u), u (x)
求导法则 d y d y du dx du dx
微分法则 dy f (u) du f (u) (x) dx
推广 （1）多元复合函数求导的链式法则 （2）多元复合函数的全微分
2
一. 复合函数求导的链式法则
定理 如果函数 u (t), v (t) 都在点 t可导,函数