重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设向量a 与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos 1β=时有().(A) a ⊥xoy 面 (B) a //xoz 面 (C) a ⊥yoz 面 (D) a xoz ⊥面 知识点:向量与坐标面的位置关系,难度等级:1. 答案: (D)分析:cos 1β=,0β=,a 与y 轴正向夹角等于零,a xoz ⊥面. 2. 方程22()0ydx x y x dy -++=的积分因子为().(A)21()x x μ=(B)21()y y μ= (C)221(,)x y x y μ=+ (D)1(,)x y x yμ=+ 知识点:微分方程,积分因子,难度等级:1. 答案: (C)分析:当微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=不是全微分方程时,若存在二元函数(,),x y μ使得(,)[(,)(,)]0x y M x y dx N x y dy μ+=是全微分方程,则称(,)x y μ为方程的积分因子.因此代入(A),(B),(D)所给函数均不满足条件,因此应选(C).3. 设积分区域D 由||1,x ≤||1y ≤确定,则=⎰⎰Dxy xydxdy xe sin cos ().(A)0 (B)e (C)2 (D)2-e知识点:二重积分对称性的使用,难度等级:1. 答案:(A)分析:积分区域关于y 轴对称,被积函数为关于y 的奇函数,积分值为0,选A .4．微分方程27(1)y y x '''-=-用待定系数法确定的特解(不求系数值)形式是().(A)2()y x Ax B =+ (B) 27()x y x Ax Bx C e =++ (C)27()x y Ax Bx C e =++ (D)2()y x Ax Bx C =++命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密知识点:微分方程特解形式,难度等级:1. 答案: (D)分析:原方程所对应的齐次方程为07,y y '''-=其特征方程为27(70,)λλλλ-=-=其特征根为120,7.λλ==而220(1)(1),x x x e ⋅-=-故方程的特解为2().y x Ax Bx C =++故应选(D).5. 下列各曲线中,绕y 轴旋转而成的椭球面2223231x y z ++=的曲线是(). (A) 222310x y y ⎧+=⎨=⎩(B)223210y z x ⎧+=⎨=⎩(C) 223210x y z ⎧+=⎨=⎩ (D)223310x z y ⎧+=⎨=⎩知识点:旋转曲面对应的曲线方程,难度等级:2.答案:(C)分析:222310x y y ⎧+=⎨=⎩可以写成221x y ⎧=⎨=⎩绕y轴旋转而成的旋转面为22221x z +=;223210y z x ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转而成的旋转面为2222321x y z ++=;223210x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转而成的旋转面为2223231x y z ++=;223310x z y ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转而成的不是旋转面,而是它本身22331.0x z y ⎧+=⎨=⎩. 6. 设∑为0z =(222R y x ≤+)的上侧,则22()x y dxdy ∑+=⎰⎰().(A)42222R dxdy RRy x π=⎰⎰≤+ (B)42222R dxdy RRy x π-=-⎰⎰≤+(C)242003R dr r d Rπθπ=⎰⎰ (D)0知识点:对坐标的曲面积分,难度等级:1. 答案:(C)分析:被积函数自变量在园面内取,故A,B 错误,C 与D 之一成立,上侧取正化为二重积分为C,计算结果不为0,不选D.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 已知级数31ln(1)tn n n ∞=+∑收敛,则参数t 的取值范围__________. 知识点:含参级数收敛,参数范围,难度等级:2. 答案: 1.t >分析:3ln(1)3ln ~,t t n nn n +在1t >时23ln tn n n ∞=∑收敛.故 1.t > 8. 两个平行平面0218419=++-z y x 和0428419=++-z y x 间的距离为__________.知识点:两平面间的距离,难度等级:3. 答案:1.分析:两个平行平面间的距离等于第一个平面内任一点000(,,)x y z 到第二个平面的距离,即000194842,21x y z d -++=其中0001948210.x y z -++=即000194821.x y z -+=-于是0001948422142 1.2121x y z d -++-+===9.222y xdx e dy -⎰⎰=__________.知识点:二重积分交换积分次序计算,难度等级:2. 答案:41(1).2e --分析: 直接计算不行,交换积分顺序,可得所求.10. 设L 是从点() 0, ,ππe e A -沿曲线cos , sin , t tt x e t y e t z e===到点()1 , 0 , 1B 的弧段,则第二类曲线积分 LI xdx ydy zdz =++⎰的值为__________.知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案:()21.I e π=--分析:2221(),2xdx ydy zdz d x y z ++=++()()()1 , 0 , 12222, 0, 1()1.2e e I x y z e πππ-⇒=++=- 11.21x y z ++=下的极小值等于__________.知识点:三元函数的条件极值,难度等级:3. 答案:6分析:令(,,)f x y z =由拉格朗日乘数法,在约束条件21x y z ++=下的极小值点满足方程组020.0λλλ⎧+=+=+=解此方程组得111,,.663x y z ===所以极小值等于= 12. ∑为柱面222a y x =+被平面1z =和4z =所截得的在第一卦限内的部分,则⎰⎰∑++ydzdx xdydz zdxdy =__________.知识点:对坐标的曲面积分,难度等级:3. 答案:23.2a π分析:曲面可视为4)y z =≤≤或4),x z =≤≤23.2yz zxD D zdxdy xdydz ydzdx a π∑++=+=⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 计算曲线积分,L xds ⎰L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界.知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1.分析:直接化为定积分计算. 解: 整个边界可分为两部分,分别为:21:(01);L y x x =≤≤ 2:(01).L y xx =≤≤故121Lxds x=++⎰⎰⎰3212011[(14)]1)1212x =++=+ 14. 解方程22ln .xy y x y x '+=知识点:微分方程,变量代换,难度等级:2 分析:注意(,)xy y xy ''=+从而作代换,u xy = 解 :令,u xy =则,u y xy ''=+代入方程可得2ln duu x dx = 这是变量分离方程,即2ln .du xdx u =⎰⎰解得1ln .x x x C u-=-+故原方程的解为1().(ln())y x x x C x x=-+-15. 将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-112)1(n n n 的和.知识点:函数的幂级数展开,常数项级数求和,难度等级:2 分析:求导再展开,幂级数逐项积分.解: 2214()(12)12112f x x x x -'=⋅+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭2214x -=+ 202(4)n n x ∞==--∑12120(1)2,n n n n x ∞++==-∑ 11,.22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()f x f x dx '⇒=⎰12120((1)2)n n n n x dx ∞++==-∑⎰12121(1)2.21n n n n x C n ++∞+=-=++∑⇒由4)0(π=f 知 .4C π=()f x ⇒=+4π121210(1)2,21n n n n x n ++∞+=-+∑ 11[,].22x ∈- ⇒令21=x 得:∑∞=+-112)1(n n n 1.4π=- 16. 计算333(cos cos cos ),x y z dS αβγ∑++⎰⎰其中∑为曲面222x y z +=夹在平面0z =及(0)z h h =>之间的部分,cos ,cos ,cos αβγ为此曲面的外法线的方向余弦.知识点:对面积的曲面积分,高斯公式,球坐标,难度等级:3分析:添加辅助面构成闭曲面,用高斯公式,据被积函数特点,用球面坐标计算三重积分.解: 添加辅助面1:z h ∑=,取上侧,则∑与1∑构成闭区域Ω,用高斯公式,用球面坐标计算三重积分:1333(cos cos cos )x y z dS αβγ∑+∑++⎰⎰2223()x y z dV Ω=++⎰⎰⎰244cos 053sin 9.10hd d r drh ππϕθϕϕπ==⎰⎰⎰而1333(cos cos cos )x y z dS αβγ∑++⎰⎰1333()x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰1335.xyD z dxdyh dxdy h π∑===⎰⎰⎰⎰于是33355591(cos cos cos ).1010x y z dS h h h αβγπππ∑++=-=-⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分) 17．判别级数()11211+--∞=∑n nn n 的收敛性. 知识点:交错级数敛散性,难度等级:1 解:因为n n n n u u n n 11)1(1||||221+⋅+++=+nn n n n n 2212323+++++=,1≤ 即||||1n n u u ≤+),2,1( =n 且1lim||lim 2+=∞→∞→n nu n n n .0=由交错级数审敛法,原级数收敛.另一方面,1||2+=n n u n 22n n n +≥,21n =而∑∞=121n n 发散.故∑∑∞=∞=+=1211||n n n n nu 发散. 于是级数∑∞=-+-1211)1(n n n n是条件收敛的. 18．在曲面22260x y z --+=上求一点,使该点处的切平面垂直于直线215,213x y z ++-==-并求该切平面. 知识点:曲面,直线,切平面.难度等级:2分析:形式上写出切点处的切平面的法向量,利用切平面与已知直线垂直且切点在切平面上得切点,进而写切平面方程.解: 曲面在点000(,,)x y z 处的法向量000(,,)n x y z =--平行于向量(2,1,3),-所以000.213x y z --==- 令000,213x y z t --===-得到0002,,3.x t y t z t ==-=代入22260x y z --+=得,1.t =±所求的点为(2,1,3)-和(2,1,3),--切平面为2(2)(1)3(3)0,x y z -++--=即2360;x y z +-+=和2(2)(1)3(3)0,x y z ++--+=即2360.x y z +--=五、 证明题(每小题6分,共12分)19．函数z z x y =(,)由方程F x z y y zx(,)++=0所确定,其中F 有连续的一阶偏导数,求证: .z zxy z x y∂∂+=∂∂ 知识点:隐函数的偏导数,难度等级:1分析:由方程(,)z zF x y yx++=(,,)0G x y z =确定的隐函数z z x y =(,)的偏导数,x z G z x G ∂=-∂,y zG zy G ∂=-∂求出,,x y z G G G 后可得,,z zx y∂∂∂∂代入z z xy x y∂∂+∂∂即可得到结论.证明:12212221();1yF zF yF zF z x xxF F x-++∂=-=∂11221;F F zx y F F x-∂=-=-∂1212.yF zF yF z z xy z x y F +-∂∂+==∂∂ 20. 设在上半平面{}(,)0D x y y =>内,函数(,)f x y 具有连续偏导数,且对任意的0t >都有2(,)(,).f tx ty t f x y -=证明:对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线,L 都有(,)(,)0.Lyf x y xf x y dy -=⎰知识点:对坐标的曲线积分,格林公式,齐次函数,难度等级:3 分 析: 利用格林公式化为二重积分,再利用已知条件. 证明:设L 为逆时针方向,L 所围的区域为0.D 由格林公式,0(,)(,)(,)(,)2(,).x y LD yf x y xf x y dy xf x y yf x y f x y dxdy ⎡⎤-=-++⎣⎦⎰⎰⎰ 对所给方程2(,)(,)f tx ty t f x y -=两边对t 求导,3(,)(,)2(,).x y xf tx ty yf tx ty t f x y -+=-令1t =得(,)(,)2(,)0.x y xf x y yf x y f x y ++=将该式代入第一式,有(,)(,)0.Lyf x y xf x y dy -=⎰六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设平面薄片所占闭区域D 由曲线ln ,y x =直线0y =及x e =围成,面密度1,ρ=求它对直线x t =的转动惯量,并问当t 为何值时此转动惯量最小？知识点:平面区域关于直线的转动惯量,最值.难度等级:3 分析:积分区域是平面区域,由转动惯量公式建立关于变直线二重积分,利用结果为关于变量t 的函数求极值.解:()2()DI t x t d ρσ=-⎰⎰()12310()3y yeeee dy x t dxx t dyρ=--=⎰⎰⎰223(1)21299t e t e +=-++ ()21()21.2I t t e '⇒=-+ 令()0,I t '=有 ()211.4t e =+当()2114t e =+时,转动惯量最小.22．求向量场{}23,,A y xz yz =-沿闭曲线Γ的环流量,其中Γ为圆周222, 2.x y z z +==若从z 轴的正向看去,这圆周是取逆时针方向.知识点:向量场的环流量,斯托克斯公式,对称性,难度等级:3 分析:曲线的参数方程不易写出,积分路径为闭,用斯托克斯公式化为对面积的曲面积分.解: 取∑为平面2z =被Γ所围成的部分的上侧,∑的法线向量为(0,0,1),n =其方向余弦为(cos ,cos ,cos )(0,0,1).αβγ=于是23ydx xzdy yz dz Γ-+⎰2cos cos cos 3(3)dS x y z y xz yz z dSαβγ∑∑∂∂∂=∂∂∂-=--⎰⎰⎰⎰ 2245520.x y dSdxdy π∑+≤=-=-=-⎰⎰⎰⎰。