命题角度：
1．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底边之分， 角有底角和顶角之分；
2．遇到等腰三角形的高线问题要考虑高在形内和形外两
种情况． 例3 [2013· 毕节 ] 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为 D．12
8，则这个等腰三角形的周长为( C ) A．16 B．20或16 C．20
考点聚焦
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 反比例函数
方法点析
要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相
等，而得到两边相等的方法主要有：(1)通过等角对等边 得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂
直平分线的性质得两边相等．
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归类探究
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第19课时┃ 反比例函数
探究三 等腰三角形的多解问题
[点析] 因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶 角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况， 故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免 漏解情况．
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第19课时┃ 反比例函数
探究四 等边三角形的判定与性质
命题角度：
等边三角形的判定与性质的综合． 例4 如图19－3，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、
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第19课时┃ 反比例函数
考点3 等边三角形
定义 三边相等的三角形是等边三角形
等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于 相等 性质 ______ 60°
等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴 3
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形
判定
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
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判定
实质
构成
第19课时┃ 反比例函数
归 类 探 究
探究一 等腰三角形的性质的运用 命题角度： 1. 等腰三角形的性质； 2. 等腰三角形“三线合一”的性 质． 例1 [2013· 温州 ]如图19－1，在等腰三角形ABC中，AB＝
AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点 E，EF⊥AB，垂足为F. 求证：EF＝ED.
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第19课时┃ 反比例函数
解
析
根据等腰三角形三线合一，确定
AD⊥BC.又因为EF⊥AB，然后根据角平分线上的 点到角的两边的距离相等可证明结论．
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC. ∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
图19－1
∴EF＝ED.
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中线 等腰三角形顶角的平分线、底边上的________ 和底边上的高互相重合，简称“三线合一”
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定理2
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第19课时┃ 反比例函数
(1)等腰三角形两腰上的高相等 (2)等腰三角形两腰上的中线相等 (3)等腰三角形两底角的平分线相等 拓展 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 (5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行 (6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离乊和等于一腰 上的高 (7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离乊差等于 一腰上的高
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第19课时┃ 反比例函数
考点4
定义
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线段的垂直平分线
经过线段的中点且与这条线段垂直的直线叫做这条线段的 垂直平分线
性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
________ 相等 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线 ___________上 距离相等 线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点___________的 所有点的集合
∴△ABC是等腰三角形．
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第19课时┃ 反比例函数
(2)点O在∠BAC的平分线上．理由如下： 连接AO.
∵△BDC≌△CEB，
∴DB＝EC. ∵OB＝OC，∴ OD＝OE.
又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，
∴△ADO≌△AEO(HL)． ∴∠DAO＝∠EAO.
∴点O是在∠BAC的平分线上．
AC上的点，且CD＝AE，AD与BE
相交于点P.
(1)求证：∠ABE＝∠CAD； (2)若BH⊥AD于点H，求证：PB＝2PH.
图19－3
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归类探究
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第19课时┃ 反比例函数
解
析
(1)欲证∠ABE＝∠CAD，可以通过证明
△ABE≌△CAD得出；
(2)欲证PB＝2PH，因为BH⊥AD于点H，在Rt△PBH中根
图19－5
出内角∠C.
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第19课时┃ 反比例函数
解
在△ABD 中，AB＝AD， 1 ∴∠B＝∠ADB＝(180°－26°)× ＝77°. 2 又∵在△ADC 中，AD＝DC， 1 1 ∴∠C＝ ∠ADB＝77°× ＝38.5°. 2 2 [点析] (1)利用三角形的内角和定理求角的度数是一种
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第19课时┃ 反比例函数
方法点析 等边三角形中隐含着三边相等和三个角都是60°等 条件，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构
造全等．
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归类探究
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第19课时┃ 反比例函数
探究五 等腰三角形的创新应用 命题角度： 等腰三角形性质“等边对等角”与“等腰三角形的三线 合 一”的运用． 例5 如图19－4，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝ 120°，点A的坐标是(1，0)，点B、C在y轴上，在x轴上是 否存在点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形？
第19课时
等腰三角形
第19课时┃ 反比例函数
考 点 聚 焦
考点1
定义
等腰三角形的概念与性质
有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰， 两边
第三边为底
轴对 称性 等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴 1 等腰三角形的两个底角相等(简称为：
性质
定理1
等边对等角 ________________)
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回归教材
∠DCB＝∠EBC；(2)连接AO，通过HL证明
△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO，
利用角平分线上的点到角两边的距离相等， 证明结论． 解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (AAS)． ∴∠EBC＝∠DCB, ∴AB＝AC.
图19－4
解：在x轴上存在点P(－1，0)，P(3，0)使△PAB、 △PBC、△PAC都是等腰三角形．理由如下：
①∵AB＝AC＝2，AO⊥BC，∠BAC＝120°，
∴OB＝OC，∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝60°，
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第19课时┃ 反比例函数
∴取A(1，0)关于y轴的对称点P(－1，0)，则PB＝AB， PC＝AC，∠BPA＝∠BAP＝60°， ∴PB＝AB＝PC＝AC， ∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形． ②∵P(3，0)，A(1，0)， ∴BA＝AP＝AC＝2. 又∵∠BAP＝∠CAP， ∴△BAP≌△CAP. ∴BP＝CP. ∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．
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第19课时┃ 反比例函数
解 析 因为已知长度为4和8两边，没有明确哪
条边是底边哪条边是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． ①当4为底时，其他两边长都为8，长为4、8、8的三条线段 可以构成三角形，周长为20； ②当4为腰时，其他两边长分别为4和8， ∵4＋4＝8， ∴不能构成三角形，故舍去．∴答案只有20.
命题角度：
等腰三角形的判定．
例2 [2011· 扬州 ] 已知：如图19－2，锐角△ABC的两条高
BD、CE相交于点O，且OB＝OC. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上， 并说明理由．
图19－2
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第19课时┃ 反比例函数
解 析 (1)利用△BDC≌△CEB 证明
如果存在，请写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
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第19课时┃ 反比例函数
解
析
先由等腰三角形三线合一的性
质得出OB＝OC，∠OAB＝∠OAC＝60°， 再取∠BPA＝BAP＝60°，所以PB＝AB＝ PC＝AC，从而根据等腰三角形的定义得出 △PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．
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第19课时┃ 反比例函数
方法点析
(1)等腰三角形的性质揭示了三角形中边与角的转化关系， 由两边相等转化为两角相等，是证明两角相等的常用方法； (2)等腰三角形“三线合一”是证明两条线段相等、两个角
相等以及两条直线互相垂直的重要依据．
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第19课时┃ 反比例函数 探究二 等腰三角形的判定
据含30°的直角三角形的性质由∠BPH＝60°即可得到答案． 证明：(1)∵等边△ABC，∴AC＝AB，∠C＝∠CAB. ∵CD＝AE，∴△CAD≌△ABE.
∴∠CAD＝∠ABE.
(2)∵∠BPH＝∠BAD＋∠ABP＝∠BAD＋∠CAD＝60°， 且BH⊥AD于点H，∴∠EBH＝30°.
∴在Rt△PBH中，PB＝2PH.
常用的方法； (2)遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分， 角有底角和顶角之分； (3)遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况．