4
，
5 ，但 ， 4
所以 是 tan tan 的既不充分也不必要条件. （4）原问题等价其逆否形式，即判断“ x 1 且 y 2 是 x y 3 的____条件” ，故 x y 3 是 x 1 或
y 2 的充分不必要条件.
【知识点梳理】 1、命题“若 p 则 q”为真，记作 p q； “若 p 则 q”为假，记作“p q”. 2、充分与必要条件： ①如果已知 p q，则称 p 是 q 的充分条件，而 q 是 p 的必要条件. ②如果既有 p q，又有 q q，即 p q,则称 p 是 q 的充要条件. 3、充分、必要条件与四种命题的关系： ①如果 p 是 q 的充分条件，则原命题“若 p 则 q”以及逆否命题“若 p 则 q”都是真命题. ②如果 p 是 q 的必要条件，则逆命题“若 q 则 p”以及否命题“若 p 则 q”为真命题. ③如果 p 是 q 的充要条件，则四种命题均为真命题。 4、充要条件的判断方法： 四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么， 结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法，集合思想） ；⑶ 确定条件是结论的什么条件. 【典型例题分析】 例 1.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空. （1）
x 2 0 ， q :{x 1 m x 1 m, m 0} ，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实 x 10 0


p 是 q 的必要不充分条件， q 是 p 的必要不充分条件.
1 m 2, P Ø Q ，即 1 m 10, 得 m 9 . m 0.
点评：①判断 p 是 q 的什么条件，实际上是判断“若 p 则 q”和它的逆命题“若 q 则 p”的真假，若原命 题为真，逆命题为假，则 p 为 q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则 p 为 q 的必要不充 分条件；若原命题为真，逆命题为真，则 p 为 q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则 p 为 q 的既 不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若 p 则 q”的真假困难时，则可以判断它 的逆否命题“若 q 则 p”的真假. 例 2.已知 p，q 都是 r 的必要条件，s 是 r 的充分条件，q 是 s 的充分条件，则 p 是 s 的_________条件. 分析：将各个命题间的关系用符号连接，易解答. 解：
prq

s
故 p 是 s 的的充要条件. 点评：将语言符号化，可以起到简化推理过程的作用. 例 3.已知 p : x 数 m 的取值范围. 分析：若 p 是 q 的必要不充分条件等价其逆否形式，即 q 是 p 的必要不充分条件. 解：由题知： p : P x 2 x 10 ， q : Q {x 1 m x 1 m, m 0}
2
分析：充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性． 证明：必要性：若 x 1 是方程 ax bx c 0 的根，求证： a b c 0 ．
2
x 1 是方程 ax2 bx c 0 的根， a (1)2 b (1) c 0 ，即 a b c 0 ．
x 2, x y 4, 是 的___________________条件； y 2. xy 4.
x4 0 的___________________条件； x 1
（2） ( x 4)( x 1) 0 是
（3） 是 tan tan 的___________________条件； （4） x y 3 是 x 1 或 y 2 的___________________条件. 分析：从集合观点“小范围 大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用. 解： （1） 因为
2019 年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件和必要条件教案 2 北师 大版选修 1-1
1） 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义； 教学目标 2） 会判断充分条件，必要条件和充要条件． 3） 从集合的观点理解充要条件。 4） 会证明简单的充要条件的命题。 重 难 点 点 充分条件，必要条件和充要条件的判断． 充要条件的理解和充要条件的命题的证明。
故 m 的取值范围为 m 9 . 点评：对于充分必要条件的判断，除了直接使用定义及其等价命题进行判断外，还可以根据集合的包 含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系：若集合 P Q ，则 P 是 Q 的充分条件；若集合 P Q ，则 P 是 Q 的必要条件；若集合 P Q ，则 P 是 Q 的充要条件． 例 4.求证：关于 x 的方程 ax bx c 0 有一个根为－1 的充要条件是 a b c 0 ．
x 2, x y 4, x y 4, 1 结合不等式性质易得 ， 反之不成立， 若 x ， y 10 ，有 ， 2 y 2. 2, x y 4, 不成立，所以 是 的充分不必要条件. y 2. y 2. xy 4.
x4 0 的 解 集 为 (1, 4] ， 故 ( x 4)( x 1) 0 是 x 1
（ 2 ） 因 为 ( x 4)( x 1) 0 的 解 集 为 [1, 4] ，
x4 0 的必要不充分条件. x 1
（3）当

2
时， tan , tan 均不存在；当 tan tan 时，取