微专题30
例题1
答案：(1){x|x ＞1，或x ＜－4}；
(2)－2.
解析：∵f(x)是定义域为R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，令x ＝0，得f (0)＝0，k －1＝0，k ＝1.
(1)∵f (1)＞0，∴a －1a
＞0，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，f (x )＝a x －a －x ，∵f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a ＞0，∴f (x )在R 上为增函数(令解析：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(ax 2－ax 1)＋])1()1[(21x x a a -，因为a ＞1，则ax 2－ax 1＞0，21)1()1(x
x a a -＞0，所以f (x 2)－f (x 1)＞0，则f (x )在R 上为单调增函数)．因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0可化为f (x 2＋2x )＞f (4－x )，又f (x )在R 上为单调增函数，所以x 2＋2x ＞4－x ，解得x ＜－4，或x ＞1，所以不等式的解集为{x |x ＞1，或x ＜－4}．
(2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12
(舍去)，∴g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t ＝2x －2－x (x ≥1)，则t ＝2x －2－x (x ≥1)为增函数，
即t ≥21－2－1＝32
.所以g (x )＝h (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2≥－2(当t ＝2， x ＝log 2(1＋2)时取等号)．则g (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2.
例题2 答案：22. 解析：因为函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R )，所以4是函数f (x )的周期．则f (15)＝
f (4×4－1)＝f (－1)＝|211|+-＝12，所以f (f (15))＝f )2
1(＝cos π4＝22. 变式联想
变式1
答案：(1)略；
(2)⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2；(3)当⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2时，D ＝R ； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2时，D ＝(0，＋∞)，或D ＝)7
5log ,(2-∞. 解析：(1)证明：当a ＝b ＝1时，f (x )＝1－2x 1＋2x ＋1
，f (－1)＝14，f (1)＝－15，所以f (－1)≠－f (1)，则f (x )不是奇函数．
(2)f (x )是奇函数时，f (－x )＝－f (x )，即－2－
x ＋a 2－x ＋1＋b ＝－－2x ＋a 2x ＋1＋b
对定义域内任意实数x 都成立，即(2a －b )·22x ＋(2ab －4)·2x ＋(2a －b )＝0，对定义域内任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2ab －4＝0所以⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，或⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.经检验都符合题意． (3)当⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2时，f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，因为2x ＞0，所以2x ＋1＞1，0＜12x ＋1＜1，所以－12＜f (x )＜12而c 2－3c ＋3＝⎝⎛⎭⎫c －322＋34≥34
对任何实数c 成立；所以可取D ＝R 对任何x 、c 属于D ，都有f (x )＜c 2－3c ＋3成立，当⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2时，f (x )＝－2x －12x ＋1－2＝－12＋11－2x (x ≠0)，所以当x ＞0时，f (x )＜－12；当x ＜0时，f (x )＞12
①因此取D ＝(0，＋∞)，对任何x 、c 属于D ，都有f (x )＜c 2－3c ＋3成立．
②当c ＜0时，c 2－3c ＋3＞3，解不等式－12＋11－2x ≤3得：x ≤log 257
. 所以取D ＝)75log ,(2-∞，对任何属于D 的x 、c ，都有f (x )＜c 2－3c ＋3成立．综上，当⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2时，D ＝R ； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2时，D ＝(0，＋∞)，或D ＝)7
5log ,(2-∞ 说明：单调性与奇偶性之间体现了函数性质的局部与整体的关系，这两个性质常“结伴而行”，给问题解决带来了灵活与简便；除了掌握函数单调性、奇偶性的定义外，利用它们解不等式、求参数的值(范围)是常见的题型；另外，奇偶性作为函数的一个整体性质，将问题转化为恒成立问题或者通过列举反例得出结论是两个惯用的解题策略．
变式2
答案：516
. 解析：因为f(x)是以4为周期的奇函数，所以f )4
29(＝ f )438(-＝f )43(-＝－f )43(＝－34)4
31(-＝－316。
f )641(＝f )678(-＝f )67(-＝－f )67(＝－sin 76π＝12，所以，f )429(＋f )6
41(＝－316＋12＝516. 说明：在模考和高考题中，函数的周期性既可以单独考查(如2016、2018江苏卷)，也可以与其他性质(单调性、奇偶性等)一道进行综合考查(2018全国Ⅱ卷)；对于利用周期性求
函数值的问题，一般是借助周期性将所要求的未知区间的函数值等价转化为已知区间上的函数值，在此过程中，有时还要灵活地运用函数的奇偶性，化未知为已知是问题解决永远不变的真理．
串讲激活
串讲1
答案：(3，4]．
解析：f(x)为定义域上的增函数，设任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，因为f(xy)＝f(x)
＋f(y)，所以f(xy)－f(x)＝f(y)，取xy ＝x 2，x ＝x 1，则y ＝x 2x 1，即f(x 2)－f(x 1)＝f )(1
2x x ，因为x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，所以x 2x 1
＞1，又当x ＞1时，f(x)＞0恒成立，所以f(x 2)－f(x 1)＝f )(1
2x x ＞0即f(x 1)＜f(x 2)，所以f(x)是(0，＋∞)上的增函数．因为2＝f(2)＋f(2)＝f(4)，f(x)＋f(x －3)≤2可转换为f(x(x －3))≤f(4)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －3＞0x （x －3）≤4，
，解得3＜x ≤4，所以x 的取值范围为(3，4]．
串讲2 答案：)21,0(.
解析：作出函数f(x)＝|2
12|2+-x x ，x ∈[0，3)的图象，可见f(0)＝12，当x ＝1时，f(x)极大＝12，f(3)＝72
，方程f(x)－a ＝0在[－3，4]上
有10个零点，即函数y ＝f(x)与直线y ＝a 在[－3，4]上有10个公共点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线y ＝a 与函数f(x)＝|212|2+-x x ，x ∈[0，3)的公共点数为4，则有a ∈)21,0(.
新题在线
答案：{m|m>4－22}．
解析：因为函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，且f (－x )在区间(－∞，0)上单调递增，f (－1)＝0，则f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0.所以f (x )<0的解集为{x |x <－1，或0<x <1}．则 N ＝]2,0[|{π
∈x m ， }g （x ）<－1，或0<g （x ）<1，
所以M ∩N ＝}1)(]2,0[|{-<∈x g x m ，π即M ∩N ＝}1)(]2,0[|{-<∈x g x m ，π
，g (x )＝cos 2x ＋m sin x －2m <－1恒成立．令t ＝sin x ＝[0，1]，则t 2－mt ＋2m －2>0对t ∈[0，1]恒成立，
所以m >max 2)22(t t --，令2－t ＝λ∈[1，2]，所以2－t 22－t ＝4－)2(λ
λ+≤4－22(λ＝2时取等号)，则m >4－22，所以M ∩N ＝{m |m >4－22}．。