2012年高考数学二轮复习综合检测：专题七不等式、推理与证明、算法与复数时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．－1[答案] B[解析] ∵(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0a ≠1，∴a ＝2.故选B. (理)(2011·理，1)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈SD.2i∈S [答案] B[解析] i 2＝－1∈S ，故选B.2．(文)(2011·文，6)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案] C[解析] “方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等实数根”⇔m 2－4>0，解得m >2或m <－2.(理)(2011·文，3)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b[答案] B[解析] 取a ＝1，b ＝2，易排除A 、C 、D. 3．下列命题中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a ，b ∈R ，且a ·b ≠0，则a b ＋ba≥2C ．若a ，b ∈R ，且a >|b |，则a n >b n (n ∈N *)D ．若a >b ，c >d ，则a d >bc[答案] C[解析] 当c ＝0时，A 不成立；当ab <0时，a b ＋b a ≤－2，B 不成立；若dc ＝0，a d >bc不成立，D 不成立，故选C.4．(2011·理，8)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值围为( )A ．[－2,2]B ．[－2,3]C ．[－3,2]D ．[－3,3][答案] D[解析] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即(x ＋z,3)·(2，y －z )＝0， ∴z ＝2x ＋3y不等式|x |＋|y |≤1表示如图所示平面区域．作直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0过点A (0,1)时z 取最大值3. 平移l 0过点C (0，－1)时，z 取最小值－3， ∴z ∈[－3,3]．5．(2011·模拟)观察下列数表规律： 3141516则从数2011到2012的箭头方向是( ) A ．2011 B ．2011 C ．2011 D ．2011[答案] D[解析] 由图可以看出，每隔4个数，箭头方向相同，可认为T ＝4，又2011＝502×4＋3，所以2011处的箭头方向同数字3处的箭头方向，故选D.6．(2011·理，7)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4C.92 D ．5[答案] C[解析] ∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b2＝1，∴y ＝1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2＝52＋2a b ＋b 2a ，∵a >0，b >0，∴2a b ＋b2a≥22a b ·b2a＝2，当且仅当 2a b ＝b 2a ，且a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时取得等号， ∴y 的最小值是92，选C.7．(文)(2011·文，6)执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] C[解析] P ＝1，S ＝1―→P ＝2，S ＝1＋12＝32―→P ＝3，S ＝32＋13＝116―→P ＝4，S ＝116＋14＝2512>2，所以输出P ＝4. (理)(2011·理，4)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．－3B ．－12C.13D ．2[答案] D[解析] 由框图知得：i ：0→1→2→3→4，则s ：2→13→－12→－3→2.选D.8．(2011·新课标理，1)复数2＋i1－2i的共轭复数是( ) A ．－35iB.35i C ．－i D ．i[答案] C[解析] 依题意：2＋i1－2i＝2i －11－2i ·i ＝－1i ＝i ，∴其共轭复数为－i ，选C.9．(文)(2011·文，3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为－4，则输出y 的值为( )A ．0.5B ．1C ．2D ．4[答案] C[解析] 第1次循环：x ＝－4，x ＝|－4－3|＝7 第2次循环：x ＝7，x ＝|7－3|＝4 第3次循环：x ＝4，x <|4－3|＝1，y ＝21＝2.输出y .(理)(2011·理，3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 第一次运行结束：i ＝1，a ＝2 第二次运行结束：i ＝2，a ＝5 第三次运行结束：i ＝3，a ＝16第四次运行结束：i ＝4，a ＝65，故输出i ＝4，选B.10．(2011·理，8)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2][答案] C[解析]OA→·OM→＝(－1,1)·(x，y)＝y－x，画出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥2x≤1y≤2表示的平面区域如图所示．可以看出当z＝y－x过点D(1,1)时有最小值0，过点C(0,2)时有最大值2，则OA→·OM→的取值围是[0,2]，故选C.11．(2011·理，9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝( )A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元[答案] C[解析]设派用甲车数x辆，乙车数y辆，由题意：约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤122x ＋y ≤1910x ＋6y ≥72x ≤8y ≤7，目标函数：z ＝450x ＋350y经平移9x ＋7y ＝0得过A (7,5)利润最大z ＝450×7＋350×5＝4900元，故选C.12．(文)(2011·二检)设O (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，AP →＝λAB →，若OP →·AB →≥PA →·PB →，则实数λ的取值围是( )A.12≤λ≤1 B ．1－22≤λ≤1C.12≤λ≤1＋22 D ．1－22≤λ≤1＋22[答案] B[解析] 设P (x ，y )，则由AP →＝λAB →得，(x －1，y )＝λ(－1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－λy ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－λy ＝λ.若OP →·AB →≥PA →·PB →，则(x ，y )·(－1,1)≥(1－x ，－y )·(－x,1－y )， ∴x 2＋y 2－2y ≤0，∴(1－λ)2＋λ2－2λ≤0， ∴1－22≤λ≤1＋22.又点P 是线段AB 上的一个动点，∴0≤λ≤1， ∴1－22≤λ≤1.故选B.(理)(2011·二模)已知函数f (x )＝－x 3＋px 2＋qx ＋r ，且p 2＋3q <0，若对x ∈R 都有f (m 2－sin x )≥f (m ＋2＋cos x )成立，则实数m 的取值围为( )A ．[0,1]B ．[2，5]C ．[1，2]D ．[0，2][答案] A[解析] 由题知，f ′(x )＝－3x 2＋2px ＋q ，其判别式Δ＝4p 2＋12q ＝4(p 2＋3q )<0，∴f ′(x )<0， ∴f (x )在R 上单调递减． 又f (m 2－sin x )≥f (m ＋2＋cos x )，∴m 2－sin x ≤m ＋2＋cos x ，即m 2－m －2≤sin x ＋cos x . 记t ＝sin x ＋cos x ，则问题等价于m 2－m －2≤t min .又t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，x ∈R ，∴t min ＝－2，所以m 2－m －2≤－2，解得0≤m ≤1，∴实数m 的取值围是[0,1]．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．) 13．(2011·潍坊三模)在各项为正数的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12(a n ＋1a n )，则a 3＝________，猜想数列{a n }的通项公式为________．[答案] 3－ 2 n －n －1[解析] (1)由S n ＝12(a n ＋1a n )可计算出a 1＝1，a 2＝2－1，a 3＝3－2.(2)由a 1，a 2，a 3可归纳猜想出a n ＝n －n －1.14．(文)(2011·理，12)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是________．[答案] 5[解析] 第一次执行循环体时，k ＝3，a ＝44＝64，b ＝34＝81，由于a <b ，所以执行第二次循环．第二次执行循环体时，k ＝4，a ＝44＝256，b ＝44＝256，由于a ＝b ，所以执行第三次循环．第三次执行循环体时，k ＝5，a ＝45＝1024，b ＝54＝625，由于a >b ，退出循环结构，输出k ＝5，应填：5.(理)(2011·理，13)执行下图所示的程序框图，输入l ＝2，m ＝3，n ＝5，则输出的y 的值是________．[答案] 68[解析] 依题意，l ＝2，m ＝3，n ＝5，则l 2＋m 2＋n 2≠0， ∴y ＝70×2＋21×3＋15×5＝278，又278>105 ∴y ＝278－105＝173. 又173>105，∴y ＝173－105＝68<105. ∴y ＝68.15．(文)(2011·理，10)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x2＋4y 2)的最小值为________． [答案] 9[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋2×2＝9，当且仅当1x 2y 2＝4x 2y 2时等号成立．(理)(2011·文，16)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． [答案]233[解析] 由x 2＋y 2＋xy ＝1可得，(x ＋y )2＝xy ＋1 而由均值不等式得xy ≤(x ＋y2)2∴(x ＋y )2≤(x ＋y2)2＋1整理得，34(x ＋y )2≤1 ∴x ＋y ∈[－233，233]∴x ＋y 的最大值为233.16．(文)(2011·锡常镇三调)将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是________． [答案]n 22－n2＋3(n ≥3) [解析] 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1(n ≥3)行的最后一个数为n －11＋n －12＝n 22－n2，则第n 行的第3个数为n 22－n2＋3(n≥3)．(理)(2011·二检)如图，点P 在已知三角形ABC 的部，定义有序实数对(μ，υ，ω)为点P 关于△ABC 的面积坐标，其中μ＝△PBC 的面积△ABC 的面积，υ＝△APC 的面积△ABC 的面积，ω＝△ABP 的面积△ABC 的面积；若点Q 满足BQ →＝13BC →＋12BA →，则点Q 关于△ABC 的面积坐标为________．[答案] (12，16，13)[解析] 由点Q 满足BQ →＝13BC →＋12BA →可知Q 到BC 、AC 、AB 三边的距离分别是三边相应高的12，16，13，所以S △QBC ＝12s ，S △AQC ＝16s ，S △AQB ＝13s (s 为△ABC 的面积)．故点Q 关于△ABC 的面积坐标为(12，16，13)．三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)若函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1有零点，数a 的取值围． [解析] 解法一：令2x ＝t ，f (x )有零点，即方程t 2＋at ＋a ＋1＝0，在(0，＋∞)有解． 变形为a ＝－1＋t 21＋t ＝－[(t ＋1)＋2t ＋1]＋2≤2－22，∴a 的围是(－∞，2－22]．解法二：t 2＋at ＋a ＋1＝0在(0，＋∞)有解，①有两解，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ＋1≥0，－a >0，a ＋1>0，得－1<a ≤2－2 2.②有一解，令g (t )＝t 2＋at ＋a ＋1，，则g (0)<0 ∴a ≤－1.∴a 的围是(－∞，2－22]．18．(本小题满分12分)(2011·理，19)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i )＝1－i (i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.[解析] (z 1－2)(1＋i )＝1－i ⇒z 1＝2－i设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i )(a ＋2i )＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1z 2∈R ，∴4－a ＝0，即a ＝4，∴z 2＝4＋2i .19．(本小题满分12分)(2011·理，19)(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .(2)1≤a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .[证明] (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 (y ＋x ＋(xy )2)－(xy (x ＋y )＋1) ＝((xy )2－1)－(xy (x ＋y )－(x ＋y )) ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．既然x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log a b ＝1y，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x＋1y＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)立知所要证明的不等式成立．20．(本小题满分12分)写出求满足1×3×5×7×…×n >50000的最小正整数n 的算法并画出相应的程序框图．[解析] 算法如下： S1 S ＝1，i ＝3.S2 如果S ≤50000，则执行S3，否则执行S5. S3 S ＝S ×i .S4 i ＝i ＋2，返回执行S2. S5 i ＝i －2.S6 输出i.程序框图如图所示：21．(本小题满分12分)观察下表：1，2,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15，……问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2012是第几行的第几个数？(4)是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．[解析](1)∵第n＋1行的第1个数是2n，∴第n行的最后一个数是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝2n－1＋2n－1·2n－12＝3·22n－3－2n－2.(3)∵210＝1024,211＝2048,1024<2012<2048，∴2012在第11行，该行第1个数是210＝1024，由2012－1024＋1＝989，知2012是第11行的第989个数．(4)设第n 行的所有数之和为a n ，第n 行起连续10行的所有数之和为S n . 则a n ＝3·22n －3－2n －2，a n ＋1＝3·22n －1－2n －1，a n ＋2＝3·22n ＋1－2n ，…，a n ＋9＝3·22n ＋15－2n ＋7，∴S n ＝3(22n －3＋22n －1＋…＋22n ＋15)－(2n －2＋2n －1＋…＋2n ＋7)＝3·22n －3410－14－1－2n －2210－12－1＝22n ＋17－22n －3－2n ＋8＋2n －2，n ＝5时，S 5＝227－128－213＋8＝227－213－120.∴存在n ＝5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227－213－120.22．(本小题满分14分)(文)(2011·文，20)已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S i 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a i ＋k 也成等差数列．[解析] (1)若公比q ＝1，则S 1＝a ，S 3＝3a ，S 4＝4a ，而2S 3＝6a ≠S 1＋S 4≠5a ∴不满足S 1，S 3，S 4成等差数列，∴q ≠1 若q ≠1，由前n 项和公式知，S n ＝a 1－q n1－q，∵S 1，S 3，S 4成等差数列∴2S 3＝S 1＋S 4，即2a 1－q 31－q ＝a ＋a 1－q 41－q即2a (1－q 3)＝a (1－q )＋a (1－q 4)∵a ≠0，∴2(1－q )(q 2＋q ＋1)＝(1－q )＋(1－q )(1＋q )(1＋q 2) 又∵1－q ≠0∴2(1＋q ＋q 2)＝1＋(1＋q 2)(1＋q ) 即q 2＝q ＋1⇒q 2－q －1＝0，∴q ＝1±52(2)若公比q ＝1，则a m ＋k ＝a n ＋k ＝a i ＋k ＝a ， ∴a m ＋k ，a n ＋k ，a i ＋k 成等差数列若公比q ≠1，由S m ，S n ，S i 成等差数列得S m ＋S i ＝2S n 即a 1－q m1－q＋a 1－q i1－q＝2a 1－q n1－q∴2q n ＝q m ＋q i 又2a n ＋k ＝2a ·q n ＋k －1而a m ＋k ＋a i ＋k ＝a ·q m ＋k －1＋a ·q i ＋k －1＝a ·q k －1(q m ＋q i )＝a ·q k －1·2q n ＝2a ·q n ＋k －1 ∴a m ＋k ＋a i ＋k ＝2a n ＋k ，∴a m ＋k ，a n ＋k ，a i ＋k 也成等差数列．(理)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求证：在数列{a n }中对于任意的n ∈N *，都有a n ＋1<a n ； (3)设c n ＝(2)b n ，试问数列{c n }中是否存在三项，它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)证明：因为b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1 ＝221－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1 ＝2(n ∈N *)．所以数列{b n }是等差数列．(2)证明：要证a n ＋1<a n ，只要证a n ＋1－a n <0. 因为a 1＝1，所以b 1＝22a 1－1＝2，所以b n ＝2＋(n －1)×2＝2n .由b n ＝22a n －1，得2a n －1＝2b n ＝1n (n ∈N *)，所以a n ＝n ＋12n，所以a n ＋1－a n ＝n ＋22n ＋1－n ＋12n＝－12n n ＋1<0， 所以在数列{a n }中对于任意的n ∈N *，都有a n ＋1<a n . (3)c n ＝(2)b n ＝2n ，设{c n }中存在三项c m ，c n ，c p (m <n <p ，m ，n ，p ∈N *)成等差数列，则2·2n ＝2m ＋2p ，所以2n ＋1＝2m ＋2p,2n －m ＋1＝1＋2p －m ，因为m <n <p ，m ，n ，p ∈N *，所以n －m ＋1，p －m ∈N *,2n －m ＋1为偶数，1＋2p －m 为奇数，所以2n －m ＋1与1＋2p －m 不可能相等，所以数列{c n }中不存在可以构成等差数列的三项．。