人教版九年级上册数学期中测试题附答案(时间：120分钟满分：120分)姓名：______班级：______分数：______一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确的选项)1．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(C)A B C D 2．已知关于x的方程(a－3)x|a－1|＋x－1＝0是一元二次方程，则a的值是(A) A．－1 B．2 C．－1或3 D．33．将抛物线y＝3x2＋1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线是(B) A．y＝3(x＋2)2－3 B．y＝3(x＋2)2－2C．y＝3(x－2)2－3 D．y＝3(x－2)2－24．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是(D)A．m＞34B．m＞34且m≠2 C．－12＜m＜2 D.34＜m＜25．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是( A) A.7 B．2 2 C．3 D．23第5题图第6题图6．抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝mx＋n的图象如图所示，下列判断：①abc<0；②c<n；③a＋b＋c>0；④2a＋b<0；⑤当x<12或x>6时，y1>y2.其中正确的个数有(B)A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．一元二次方程(x＋3)2－x＝2(x2＋3)化成一般形式为x2－5x－3＝0 ，方程根的情况为有两个不相等的实数根．8．已知抛物线的对称轴是x＝n，若该抛物线过A(－2，5)，B(4，5)两点，则n的值为__1__.9．点(－2，－5)关于原点对称的点的坐标为__(2，5)__．10．a，b为实数且(a2＋b2)2＋4(a2＋b2)＝5，则a2＋b2＝__1__. 11．函数y＝x2－4x＋3的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为__1__平方单位．12．如图，A(3，1)，B(1，3)，将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．(1)解方程：3x2－x－1＝0；解：∵a＝3，b＝－1，c＝－1，∴b2－4ac＝(－1)2－4× 3×(－1)＝13＞0，∴x＝－（－1）±132× 3＝1±136，∴x1＝1＋136，x2＝1－136.(2)通过配方，写出抛物线y＝1＋6x－x2的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：y＝1＋6x－x2＝－(x－3)2＋10，开口向下，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是(3，10)．14．已知关于x的一元二次方程2x2－(2m2－1)x－m－4＝0有一个实数根为32，求m的值以及此时方程的根．解：把x＝32代入方程2x2－(2m2－1)x－m－4＝0中，得－3m2－m＋2＝0.解关于m的方程，得m1＝－1，m2＝2 3.当m＝－1时，原方程化为2x2－x－3＝0，解这个方程，得x1＝－1，x2＝3 2；当m＝23时，原方程化为18x2＋x－42＝0，解这个方程，得x3＝－149，x4＝32.15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．(1)对称轴为直线__x＝1__；(2)当x__≤1__时，y随x的增大而减小；(3)求该二次函数解析式．解：函数经过点(－1，0)，(3，0)，(0，－2)，设该函数解析式为y＝a(x＋1)(x－3)．将点(0，－2)代入得－3a＝－2，∴a＝2 3.∴函数的解析式为y＝23x2－43x－2.16．如图，△ABC中，点E在BC 边上，AE＝AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.(1)求证：EF＝BC；(2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．(1)证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF.又∵AB＝AE，AC＝AF，∴△BAC≌△EAF(SAS)，∴EF＝BC.(2)解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，∴∠BAE＝180°－65°×2＝50°，∴∠FAG＝50°，又∵△BAC≌△EAF，∴∠F＝∠C＝28°，∴∠FGC＝50°＋28°＝78°.17．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若1x1＋1x2＝－1，求k的值．解：(1)由题意得Δ＝(2k＋3)2－4k2>0，∴k>－3 4.(2)∵x1＋x2＝－(2k＋3)，x1x2＝k2，∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝－（2k＋3）k2＝－1，∴k2－2k－3＝0，解得k1＝3，k2＝－1，经检验k1＝3，k2＝－1都是原分式方程的根，由(1)得k>－3 4，∴k＝3.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋k－1＝0有实数根，k为正整数．(1)求k的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，求关于x的二次函数y ＝x2＋2x＋k－1的图象的对称轴和顶点坐标．解：(1)Δ＝b2－4ac＝22－4(k－1)＝4－4k＋4＝8－4k≥0，∴k≤2，又∵k是正整数，∴k＝1或2.(2)当k＝1时，x2＋2x＝0，有一个根为零，不符合题意，舍去．故k＝2时，此时二次函数的解析式为y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，0)．19．(眉山中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2)．(1)将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C ；(2)平移△ABC ，若A 的对应点A 2的坐标为(－5，－2)，画出平移后的△A 2B 2C 2；(3)若将△A 2B 2C 2绕着某一点旋转可以得到△A 1B 1C ，请直接写出旋转中心的坐标．解：(1)如图；(2)如图；(3)旋转中心的坐标为(－1，0)．20．如图，经过原点O 的抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)与x 轴交于另一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，在第一象限内与直线y ＝x 交于点B (2，t )．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 在抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，求点M 的坐标．解：(1)抛物线解析式为y ＝2x 2－3x ；(2)连接AB ，OM ，设MB 交y 轴于点N ，∵B (2，2)，∴∠AOB ＝∠NOB ＝45°，△AOB ≌△NOB (ASA)，∴ON ＝OA ＝32，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴可设直线BN 解析式为y ＝kx ＋32，把B 点坐标代入可得2＝2k ＋32，解得k ＝14，∴直线BN 的解析式为y ＝14x ＋32，联立直线BN 和抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x ＋32，y ＝2x 2－3x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－38，y ＝4532.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－38，4532.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．某社区决定把一块长50 m ，宽30 m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形)，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14 m ，不大于26 m ，设绿化区较长边为x m ，活动区的面积为y m 2，为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14 m ，算出x ≤18.(1)求y 关于x 的函数解析式并直接写出自变量x 的取值范围；(2)求活动区的最大面积；(3)预计活动区造价为50 元/m 2，绿化区造价为40 元/m 2，若社区的此项建造投资费用不得超过72 000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度．解：(1)根据题意，绿化区的宽为[30－(50－2x)]÷2＝x－10，∴y＝50×30－4x(x－10)＝－4x2＋40x＋1 500.∵4个出口宽度相同，其宽度不小于14 m，不大于26 m，∴12≤x≤18，∴y＝－4x2＋40x＋1 500(12≤x≤18)．(2)y＝－4x2＋40x＋1 500＝－4(x－5)2＋1 600，∵a＝－4<0，抛物线的开口向下，当12≤x≤18时，y随x的增大而减小，∴当x＝12时，y最大＝1 404，答：活动区的最大面积为1 404 m2.(3)设投资费用为w元，由题意得，w＝50(－4x2＋40x＋1 500)＋40×4x(x－10)＝－40(x－5)2＋76 000，∴当w＝72 000时，解得x1＝－5(不符合题意舍去)，x2＝15，∵a＝－40<0，∴当x≥15时，w≤72 000，又∵12≤x≤18，∴15≤x≤18，∴当x＝18时，投资费用最少，此时出口宽度为50－2x＝50－2×18＝14(m)，答：投资费用最少时活动区的出口宽度为14 m.22．抛物线y＝x2－6x＋5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P.(1)直接写出抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式_______；(2)直接写出抛物线关于原点对称的抛物线的解析式_______；(3)直接写出抛物线关于点B 成中心对称的抛物线的解析式_______；(4)已知点D (－1，0)，将△COD 绕点M 旋转180°后，点C ，D 的对应点E ，F 分别落在抛物线上，求点M 的坐标． 解：(1)y ＝－x 2＋6x －5；(2)易求A ，P 关于原点O 对称的点A ′(－1，0)，P ′(－3，4)，设所求抛物线为y ＝a (x ＋3)2＋4，将A ′(－1，0)代入解析式得a ＝－1，∴y ＝－(x ＋3)2＋4；(3)构造全等易求点P (3，－4)关于点B (5，0)的对称点P ′(7，4)，设y ＝a (x －7)2＋4，将B (5，0)代入得a ＝－1，∴y ＝－(x －7)2＋4.(4)易知四边形CDEF 为平行四边形，∵C (0，5)，D (－1，0)， 由平移性质可设E (a ，a 2－6a ＋5)，∴F (a ＋1，a 2－6a ＋10)， ∴(a ＋1)2－6(a ＋1)＋5＝a 2－6a ＋10，∴a ＝5，E (5，0)，F (6，5)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52.六、(本大题共12分)23．(1)如图①，在正方形ABCD 中，△AEF 的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；(2)如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由；(3)在图①中，连接BD，分别交AE，AF于点M，N，若EG ＝4，GF＝6，BM＝32，求AG，MN的长．解：(1)在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB＝AG，AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)．∴∠BAE＝∠GAE.同理，∠GAF＝∠DAF.∴∠EAF＝12∠BAD＝45°.(2)MN2＝ND2＋DH2.理由：∠BAM＝∠DAH，∠BAM＋∠DAN＝45°，∴∠HAN＝∠DAH＋∠DAN＝45°，∴∠HAN＝∠MAN.又∵AM＝AH，AN＝AN，∴△AMN≌△AHN，∴MN＝HN.∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠HDN＝∠HDA＋∠ADB＝90°，∴NH2＝ND2＋DH2，∴MN2＝ND2＋DH2.(3)由(1)知，BE＝EG，DF＝FG.设AG＝x，则CE＝x－4，CF＝x－6.在Rt△CEF中，∵CE2＋CF2＝EF2，∴(x－4)2＋(x－6)2＝102.解这个方程，得x1＝12，x2＝－2(舍去)．即AG＝12.在Rt△ABD中，∴BD＝AB2＋AD2＝2AG2＝12 2.在(2)中，MN2＝ND2＋DH2，BM＝DH.∴MN2＝ND2＋BM2.如图，设MN＝a，则a2＝(122－32－a)2＋(32)2.即a2＝(92－a)2＋(32)2，∴a＝5 2.即MN＝5 2.。