单辉祖：工程力学
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主平面与主应力
σ2 σ1 σ3
主平面－切应力为零的截面 主平面－ 相邻主平面相互垂直， 相邻主平面相互垂直，构成一 正六面形微体 － 主平面微体 主应力－ 主应力－主平面上的正应力 主应力符号与规定－ 按代数值） 主应力符号与规定－ σ1≥σ2≥σ3（按代数值）
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应力状态分类 单向应力状态： 单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态： 二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态 三向应力状态：
二向与三向应力状态，统称复杂应力状态 二向与三向应力状态，统称复杂应力状态
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纯剪切与扭转破坏
适用范围：各向同性材料， 适用范围：各向同性材料，线弹性范围内
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广义胡克定律（三向应力状态） 广义胡克定律
σ ε′ = x x
E
ε′′=− x
µσy
E
µσ ε′′′=− z x
E
1 εx = [σx − µ(σy +σz )] E 1 εy = [σy − µ(σz +σx )] E 1 εz = [σz − µ(σx +σy)] E
σz σ
解： 画三向应力圆 ：
σ1=σC =96.1M a σ2 =σD=3.09M a σ3=σE =−40M a P P P σ −σ σmax =σ1=96.1M a P P τmax = 1 3 =68.1M a
2
单辉祖：工程力学 32
§5 广义胡克定律
广义胡克定律（平面应力） 广义胡克定律（平面应力） 广义胡克定律（三向应力） 广义胡克定律（三向应力） 例题
2 + cos2 −τ xsin2 α α
τα =
σx −σ y
2
2
sin2 +τ xcos2 α α
应力圆
σ +σ σ −σ y σα − x y = x cos2 −τ xsin2 α α
2
τα −0 =
σx −σ y
2
2
sin2 +τ xcos2 α α
2
圆心位于σ 轴
2
σx +σy 2 σx −σ y 2 +τ x σα − +(τα −0) = 2 2
证： ：
根据几何关系求ε45。 εx +εy εx −εy γ xy co α − sin α s2 2 + εα =
2 εx =εy =0 2
ε45o =−
γ xy
2 γ xy =τ / G
=− 2 G 2
τ
根据广义胡克定律求 ε45。
1 E
+ ε45o = (σ3 − µσ1) = −(1+ µ)τ E
σm =
σx +σy σx −σy
2 +
τm =
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σx −σy
2
2
Pa cos2α −τxsin2α = −114.5M
Pa sin2α +τxcos2α = 35.0M
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例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解： ：
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σm = −115M a P
P τm = 35M a
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同理可证： 同理可证： τH =τα
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点、面对应关系
转向相同， 转向相同，转角加倍 互垂截面， 互垂截面，对应同一直径两端
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例 题
例 2-1 计算截面 m-m 上的应力
解： σx = −100M a τ x = −60M a σy = 50M a α = −30o ： P P P
单辉祖：工程力学 10
斜截面应力公式
A A s A s s ΣF = 0 σαd +(τxd co α)sinα −(σxd co α)co α + ， n
(τ yd sinα)co α −(σyd sinα)sinα = 0 A s A ΣF = 0 ταd −(τxd co α)co α −(σxd co α)sinα + A A s s A s ， t
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§3 极值应力与主应力
平面应力状态的极值应力 主平面与主应力 主平面与主应力 纯剪切与扭转破坏 例题
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平面应力状态的极值应力
极值应力数值
σx +σy σx −σy σmax 2 C± A ± +τx =O ±C = 2 σmin 2
2
τmax K = ±C = ± τmin
τα =
2
sin α +τxco α 2 s2
上述关系建立在静力学基础上， 上述关系建立在静力学基础上，故所得结 论既适用于各向同性与线弹性情况， 论既适用于各向同性与线弹性情况，也适 用于各向异性、 用于各向异性、非线弹性与非弹性问题
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应力圆
应力圆原理
σα = σx +σ y σx −σ y
τα =(σx −σy)sinα cosα +τxcos2α −τ ysin2α
数值相等,并利用三角函数的变换关系 并利用三角函数的变换关系,得 由于τx 与 τy 数值相等 并利用三角函数的变换关系 得
σα = σx +σy σx −σy
+ 2 2 σx −σy cos2 −τ xsin2 α α
比较
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E G= 2(1+ µ)
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例 5-3 边长 a =10 mm 正方形钢块，置槽形刚体内， 正方形钢块，置槽形刚体内， F = 8 kN，µ = 0.3，求钢块的主应力 ， 0.3，
2
Pa σ45o =50+0+50−0cos90o−30sin90o=−5M
σ135o =55M Pa
ε45。计算
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ε45o =1(σ45o −µσ145o )=−3.31 10−4 ×
E
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例 5-2 对于各向同性材料，试证明： 对于各向同性材料，试证明：
G= E 2 +µ) (1
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广义胡克定律（平面应力状态） 广义胡克定律
σ µσ ε′ = x ε′ =− x x y
E E
1 εx = (σx − µσy) E 1 εy = (σy − µσx ) E τ γ xy = x G
ε′′ = y
σx =
σy
E
ε′′ =− x
µσy
E
E (ε +µε y) 2 x 1−µ E (ε +µεx) σy = 2 y 1−µ τxy =G xy γ
纯剪切状态的最大应力
σ1
σ3
σt,m =σC =τ ax
σc,m = σD =τ ax
τmax =− min = τ τ
σ1 = − 3 =τ , σ2 =0 σ
主平面微体位于 45o 方位
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圆轴扭转破坏分析
滑移与剪断 发生 在 τ m a x 的 作 用 面
断裂发生在 σmax 作用面
(τ yd sinα)sinα +(σyd sinα)co α = 0 A A s
σα =σxcos2α +σysin2α −(τx +τ y)sinα cosα τα =(σx −σy)sinα cosα +τxcos2α −τ ysin2α
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σα =σxcos2α +σysin2α −(τx +τ y)sinα cosα
§1 引 言
实例 应力状态概念 平面与空间应力状态
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3
实 例
微体A 微体
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4
微体abcd 微体
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5
微体A 微体
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6
应力状态概念
应力状态 过构件内一点所作各微截面的应力状况， 过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该点 处的应力状态 研究方法 环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零， 环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋 于所研究的点，故通常通过微体， 于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应 力与应变状态 研究目的 研究一点处的应力状态以及应力应变间的一般关系， 研究一点处的应力状态以及应力应变间的一般关系， 目的是为构件的应力、变形与强度分析， 目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广 泛的理论基础
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例 题
例 4-1 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位 用解析法与图解法，
P 解：1. 解析法 σx =−70M a ：
P τx =50M a
σy =0
σmax σx +σy ± = 2 σmin
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σx −σy 2 26M a P τ + x = P 2 −96M a τx =−62.5o α0=arctan− σ −σ max y Pa σ2 =0 Pa σ1 = 26M σ3 = −96M
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例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解： 1. 画应力圆 ： A点对应截面 x, B点对应截面 y 点对应截面 点对应截面 τ 2. 由应力圆求 σm 与 m 顺时针转60 由A点（截面 x ）顺时针转 。至D点（截面 y ） 点 点
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σm = −115M a P
τm = 35M a P