重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设,,a b c 满足条件,a c b c ⋅=⋅则().(A) a c = (B) a b c =- (C) b c = (D) ()a b c ⊥- 知识点:向量的运算.难度等级:1. 答案:(D)分析:由a b a c ⋅=⋅得()0a b c ⋅-=,,,a b c 都非零,所以()a b c ⊥-. 2. 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12,x x y C e C e -=+其中12,C C 为独立的任意常数.则该方程为().(A)xy y e ''-= (B) 20y y ''-=(C)0y y ''+= (D)0y y ''-= 知识点:微分方程通解,微分方程,难度等级:1. 答案: (D)分析:由通解中的两个独立解,x x e e -知.方程对应的特征方程的特征根为121, 1.λλ==-因此对应的特征方程是2(1)(1)10.λλλ-+=-= 于是对应的微分方程应是0.y y ''-=故应选(D).3. 设222: (1)1,x y z Ω++-≤则2[23]x xyz dV Ω+-⎰⎰⎰().=(A)0 (B)3π (C)3π- (D)4π- 知识点:三重积分,对称性,难度等级:2. 答案:(D)分析: 积分区域关于yoz 面对称.22x xyz +为关于x 的奇函数.积分值为0,余下为3-倍体积.球体体积为4/3,π故选D. 4．设有曲线积分22,4Lydx xdyI x y -+=+⎰其中L 为不过原点的光滑闭曲线,并取正向,则I 的值为().命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密(A)0 (B)2π (C)2π- (D)π 知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:2. 答案:(D)分析: 由于内部含有不连续点.不能直接用格林公式.设曲线L 到原点最小距离为2,a 取曲线222:4C x y a +=的顺时针方向.与曲线L 构成闭区域.在该闭区域上使用格林公式.结果为0.故22222222cos sin 22.4C a a ydx xdy I d x y aπθθθπ-+-+===+⎰⎰选D.5. 经过两平面4310,x y z -+-=520x y z +-+=的交线作平面,π并使π与y 轴平行的方程为(). (A) 142130x y --= (B) 211430x z -+= (C) 211430x z +-= (D) 211430x z ++= 知识点:平面方程,平面束.难度等级:2. 答案:(C)分析:设平面π的方程为52(431)x y z x y z λ+-++-+-=即(14)(5)(31)20.x y z λλλλ++-+-+-=当5λ=时211430x z +-=与y 轴平行.6. 设()f u 具有连续导数.∑是曲面22z x y +=与228z x y --=所围成立体表面之外侧.则zdxdy dzdx yxf x dydz yx f y++⎰⎰)(1)(1=().(A) 16π (B) 16π- (C) 8π- (D)因()f u 未知.故无法确定.知识点:对坐标的曲面积分,高斯公式.难度等级:2. 答案:(A)分析: 利用高斯公式可得积分为所围成立体体积.48416,yyD D V dy dxdz dy dxdz π=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰选A.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 设函数10()0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩在[],ππ-上的傅立叶级数的和函数为(),s x 则(4)s π=__________.知识点:傅里叶级数,和.难度等级:1. 答案:1.2分析:傅立叶级数的和函数为()s x 是以2π为周期的周期函数.(00)(00)1(4)(0).22f f s s π-++=== 8. 设∑为平面1x y z -+=在第四卦限的上侧.(,,)f x y z 为连续函数.则[(,,)]d d [2(,,)]d d [(,,)]d d ______.f x y z x y z f x y z y z x f x y z z x y ∑+++++=⎰⎰知识点:对坐标的曲面积分,难度等级:3. 答案:1.2分析:原积分{}}[(,,)],[2(,,)],[(,,)]1,1,1f x y z x f x y z y f x y z z dS ∑=+++-⎰⎰)1.2xyD x y z dS dxdy ∑=-+==⎰⎰9. 曲线z xyy ==⎧⎨⎩1在点(2,1,2)处的切线与x 轴正向所成的倾角为__________.知识点:曲线的切线,夹角.难度等级:2. 答案:.4π分析:曲线z xyy ==⎧⎨⎩1在点(2,1,2)处的切线与x 轴正向所成的倾角θ的正切为z xy =在点(2,1处关于x 的偏导数的值.即(2,1)(2,1)tan 1,z y x θ∂===∂所以.4πθ=10. 设L 是从点() 0, ,ππe e A -沿曲线cos , sin , t tt x e t y e t z e ===到点()1 , 0 , 1B 的弧段, 则第一类曲线积分()222 LI x y z ds =++⎰的值为__________.知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1. 答案:()31.3e π- 分析: ()22222 0 (t t t L I x y z ds e e dtπ=++=+⎰⎰)31.e π=- 11. 由曲线2,2y x y x ==+所围成的平面薄片其上各点的面密度为21,x μ=+则此薄片的质量M 为__________. 知识点:薄片的质量,难度等级:2. 答案:153.20分析:密度函数为被积函数.积分区域为曲线所围.故222221153(1)(1).20x Dx M x dxdy dx x dy +-=+=+=⎰⎰⎰⎰ 12. 设积分曲面∑是球面222:2,x y z az ++=则曲面积分222()_____.x y z d S ∑++=⎰⎰ 知识点:对面积的曲面积分,难度等级:2. 答案:48.a π分析:由于投影面有重叠.需将球面分为上下两个半球面计算.12,∑=∑+∑1:∑z a =2:z a ∑=在曲面上被积函数等于2,az 计算合并化简得二重积分2222448.x y a a a π+≤=⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 求初值问题00430,6,10x x y y y y y ==''''-+===的解.知识点:二阶线性常系数微分方程的初值问题,难度等级:1. 分析:求特征根,写出通解,再求特解.解: 特征方程为2430,λλ-+=其根121,3,λλ==故通解为123.x x y C e e C =+代入初值条件可解得124, 2.C C ==从而特解为342.x x y e e =+14. 求幂级数2211(!)(2)!n n n xn +∞=∑的收敛域.知识点:幂级数的收敛域,难度等级:2 分析:比值法.并讨论端点的敛散性.解: 2232221((1)!)(22)!lim lim 1(!)4(2)!n n n n n x x n n x n ++→∞→∞++=< 2.x ⇒<当2x =时,221221111(!)(!)2(2)!!2(2)!(2)!(21)!!n n n n n n x n n n n n ++∞∞∞=====-∑∑∑通项极限不为0故发散.幂级数2211(!)(2)!n n n x n +∞=∑的收敛域为 2.x <15.过两平面0134=-+-z y x 和025=+-+z y x 的交线作一平面π过点(1,1,1), 求该平面方程.难度等级：2；知识点：空间解析几何. 分析： 写出过已知直线的平面束方程. 解： 设所求的平面方程为 431(52)x y z x y z λ-+-++-+= (1) 将点)1,1,1(代入(1)得57λ=-.将57λ=-代入(1)得 所求的平面方程为233226170x y z -+-=.16. 计算2(),I z x dydz zdxdy ∑=+-⎰⎰其中∑是抛物面)(2122y x z +=介于0=z 及2=z 之间的部分的下侧.知识点:对坐标的曲面积分. 难度等级:3分析:直接计算,化曲面积分为 二重积分.解 : 首先,计算2(),z x dydz ∑+⎰⎰其中12,∑=∑+∑1:x ∑=前侧;2:x ∑=后侧.2()zx dydz ∑+⎰⎰2z =(-y12()z x dydz ∑=++⎰⎰⎰⎰∑+2)(2dydz x z ⎰⎰⎰⎰---+-+=yzyzD D dydz y z z dydz y z z))(2()2(222222222224.yz D y dyπ-===⎰⎰⎰⎰其次,2222211()()4.22xyD zdxdy x y dxdy d rrdr πθπ∑-=-+-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是,8.I π=四、解答题(每小题6分,共12分)17．设曲线积分[]⎰-+L dy x x xf dx x yf 2)(2)(在右半平面)0(>x 内与路径无关,其中(),(1)1,().f x f f x =可导且求知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,微分方程. 难度等级:2分析: 利用积分与路径无关的条件得微分方程. 解:由积分与路径无关的条件知:[]2()2(),yf x xf x x y x∂∂⎡⎤=-⎣⎦∂∂ 即有1()() 1.2f x f x x'+=解上面的微分方程得()f x C =+将1)(=x f 代入上式得1.3C =所以1()2).3f x x =+18．设为不自交的光滑闭曲线.求[]sin().grad x y z dr Γ++⋅⎰知识点:梯度,曲线积分向量表示.难度等级:2分析: 斯托克斯公式解: .记是以为边界的任意光滑曲面,其正侧与的正向按右手法则确定.应用斯托克斯公式.可得.五、证明题(每小题6分,共12分)19．设函数z f x y =(,)在P x y 000(,)处有连续的偏导数.证明它在P 0处沿等值线的切线方向的方向导数为零. 知识点:等值线,方向导数,难度等级:2分析:等值线(,)f x y C =上一点000(,)P x y 处的法向量为(,),x y f f 所以切向量为(,).y x f f -由方向导数的计算公式0z z a a∂=∇⋅∂即可得到结Γ[sin()]cos()()grad x y z x y z i j k ++=++++∑ΓΓ[sin()]cos()()grad x y z dr x y z dx dy dz ΓΓ++⋅=++++⎰⎰0000dydz dzdx dxdy ∑=++=⎰⎰论.证明:函数z f x y =(,)的等值线(,)f x y C =上一点P x y 000(,)处的法向量为(,),x y f f 所以切向量为(,).y x a f f =-z f x y =(,)沿此方向的方向导数为(,)(,)0.y x x y f f z z a f f a a a∂=∇⋅=⋅-=∂ 20. 设)(x f 在点0=x 的某一邻域内具有二阶连续导数.且0()lim 0.x f x x →=证明级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛11n n f 绝对收敛. 知识点:极限,泰勒中值定理,比较判别法.难度等级:3 分析:由已知0()lim0x f x x→=可得(0),(0)f f ',利用泰勒中值定理建立函数()f x 与零点间的关系.证明:1. 0()lim0x f x x→= 0()(0)lim ()lim0.x x f x f f x x x→→⇒==⋅= 00()(0)()(0)limlim 0.x x f x f f x f x x∆→→∆-'⇒===∆ ⇒由泰勒中值定理.存在1(0,),nξ∈使得2111()(0)(0)().2f f f f n n nξ'''=++ 211()().2f f n nξ''⇒≤2.又)(x f 在点0=x 的某一邻域内具有二阶连续导数.故存在0,M >使得().f x M ''≤2211().22Mf M n n n ⇒≤=⇒级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛.六、应用题(每小题8分,共16分)21. 在均匀的半径为R 的半圆形薄片的直径上, 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上, 问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？知识点:质心,难度等级:2分析:根据已知条件建立恰当坐标系.要求可得一方程.解方程可得结果解:设所求矩形另一边的长度为,H 建立坐标系, 使半圆的直径在x 轴上, 圆心在原点. 不妨设密度为31/.g cm ρ=由对称性及已知条件可知0,x y ==即0.Dydxdy =⎰⎰从而0.RRHdx ydy --=⎰即3221[()]0,2RR R x H dx ---=⎰亦即32210.3R R RH --=从而.H =因此,. 22．求原点到曲线221x y zx y z ⎧+=⎨++=⎩的最长和最短距离.知识点:条件极值.难度等级:3分析: 先写出目标函数.即曲线上的点(,,)x y z 到原点的距离.然后用拉格朗日乘数法可得条件极值点.解:原点到曲线上点(,,)x y z 的距离d =需要求出222x y z ++在221x y zx y z ⎧+=⎨++=⎩下的极值.令L =22222()(1),x y z x y z x y z λμ++++-+++-则由拉格朗日乘数法得2222022020.010x y z L x x L y y L z L x y z L x y z λμλμλμλμ⎧=++=⎪=++=⎪⎪=-+=⎨⎪=+-=⎪⎪=++-=⎩解方程组得驻点12x y ==-此时2z =d及驻点12x y ==-此时2z =.d。