一模理科数学答案 选择题
DABDD CCACC AD 填空题 13.
5019 14 . 1 15. ① 16. 4
π 三．解答题
17.(1)由132+=+n
n n a a 有,)2(32
1
1n n n n a a +=+++,又321=+a ,
所以{}
n
n a 2+是以3位首相,3为公比的等比数列…………………..5分
(2)由(1)知n
n n a 23-=,……………………………………..6分
又)2(223≥>-n n
n n ,……………………………………9分
故
232123212121123123111111322221<⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=++++<-++-+=+++n
n n n n a a a ……………………………….12分
18.（1）14
11
…………………………….4分
（2）X 的可取值为3,4,5……………………..5分
705
)3(4823481
2=+==C C C C X P ……………………………………………………..7分
7030
)4(4
852********=+==C C C C C C X P ………………………………………………...9分 70
35
)5(483
7===C C X P ……………………………………………….11分
X 的分布列为
…………………12分
19.(1)因为平面ABD PEF 平面⊥,平面
ABD PO PEF PO EF ABD PEF ⊥∴⊂=⋂,,平面
则BD PO ⊥,又APO BD APO PO APO AO O PO AO BD AO ⊥∴⊂⊂=⋂⊥,,,,
PA BD APO AP ⊥∴⊂, ………………………………….6分
（2）以O 为原点,轴，为轴，为轴，为z OP y OF x OA 建立坐标系,则
)0,2,3(),3,0,0(),0,0,33(),0,0,0(B P A O ,……………………………8分
设的一个法向量，为平面OAP z y x n ),,(=
则)0,1,0(=n ,的一个法向量，为平面ABP z y x m ),,(=
则)3,3,1(=m
…….10分
330
tan ,13
3cos =∴=⋅=θθn m n m
…………………………..12分
20.（1）设)2
,22(),2,22(
),,(),,(0
0000000y x N y x M y x B y x A --+--则…………….2分 4
1)(4112020-=+-=⋅y x N O M O ,则52
020=+y x ,…………………….4分
所以AB 的长为52……………………………5分
（2）设l 方程为kx y =,和椭圆方程14
22
22=-+a y a x 联立消元整理得
,4
)4(2222220-+-=k a a a a x ,4)4(222
2222
0-+-=k a a k a a y …………………7分 又520
2
=+y x ,则23)
9()4)(5(,54)1)(4(2
2222
222222≥---==-++-a a a a k k a a k a a ………….10分 则322,982<≤<≤a a ,长轴长范围是[]
6,24…………………….12分
21. (1)解:2
1)(-
-='x e x f x
,令)()(x f x g '=,则1)(-='x
e x g , 则当)0,(-∞∈x 时,,0)(<'x g )(x
f '单调递减,当),0(+∞∈x 时,,0)(>'x
g )(x f '单调递增.
所以有02
1
)0()(>=
'≥'f x f ,所以()上递增，－在∞+∞)(x f …………………4分 (2)当0≥x 时,a x e x f x --=')(,令)()(x f x g '=,则01)(≥-='x
e x g ,则)(x
f '单调
递增,a f x f -='≥'1)0()(
当1≤a 即01)0()(≥-='≥'a f x f 时,()上递增，
在∞+0)(x f ,0)0()(=≥f x f 成立; 当1>a 时,存在),0(0+∞∈x ,使0)(0='x f ,则()上递，在00)(x x f 减,则当),0(a x ∈时,
0)0()(=<f x f ,不合题意.综上1≤a ………………………….8分
(3）x
x e e x F -+=)( ，
2
2)()(2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)()(21+>++>+++=∴++-++--+-+x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e x F x F 2)()1(1+>∴+n e n F F ， 2)1()2(1+>-+n e n F F ……
2)1()(1+>+n e F n F ． 由此得，
n n e F n F n F F n F F n F F F )2()]1()([)]1()2([)]()1([)]()2()1([12+>⋅⋅-⋅=+ 故21)2()()2()1(n
n e n F F F +>⋅⋅⋅+ （*∈N n ）．……………………….12分 22.（1）连结DC ，
因为ADB ACB PCE ∠=∠=∠,
ABD PCD ∠=∠, 又因为AD AB =,
所以ADB ABD ∠=∠,
所以PCD PCE ∠=∠.·················3分 由已知PAB PEB ∠=∠, PAB PDC ∠=∠, 所以PDC PEC ∠=∠, 且PC PC =,
所以PDC PEC ∆≅∆, 所以PD PE =.················5分 (2) 因为PBA ACB ∠=∠, PAB BAC ∠=∠
所以ABC ∆∽APB ∆, 则)(2PC AP AP AC AP AB -=⋅=,
A
B
所以)(22BD PD PD PB PD PC AP AB AP +=⋅=⋅=- 又因为AB PD =, 1=AB , 所以3222=⋅=-BD AB AB AP ,················8分
所以322+
=AP .
所以2
6
2+
=
AP .················10分
23.(1)求圆C 的直角坐标方程
4)2(2
2=+-y x ……………….3分 （2）设点A 、B 对应的参数分别为21,t t ,将代入4)2(22=+-y x 整理得0322
=-+t t ,则⎩⎨
⎧-=-=+⋅3
2
2121t t t t ,…………………..5分 又|PA|＋|PB|=144)(212
212121=-+=-=+t t t t t t t t ……………………..10分
24.（1）由有
2
1
21+≤≤-m x m ,……………………….2分 关于的不等式的整数解有且仅有一个值为,则⎪⎩
⎪⎨⎧
<+≤≤-<4
2133212m m ,即
75<<m ,又为整数,则6=m ……………………..5分
（2）由6444444=++c b a 有2
34
44=
++c b a , 由柯西不等式有()()()
2
9)()()(111
222222222
2
2
22=
++++≤++c b a c
b a 当且仅当4
2
1
===c b a 时,等号成立,……………..8分 所以222c b a ++的最大值为
2
2
3…………………10分 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22122
212≤-m x x 12≤-m x 3m。