3.3 力矩
转动定律
——寻求类似于牛顿定律、确定刚体 在外力矩作用下运动状态发生变化的 规律——转动定律。
（一）刚体定轴转动的力矩 1 .对固定点的力矩 M r F
2 .对固定转轴的力矩 （1）力垂直于转轴 这种情况相当于质点绕固定 点O 转动的情形, 可用上面公式. （2）力与转轴不垂直 可以把力分解为平行于转轴的 分量和垂直于转轴的分量. 平行于转轴的力不产生转动效 果，该力对转轴的力矩为零.
R
m dm ds 2rdr 2 R dM r dF rgdmk m rg 2 2rdrk R
(二）转动定律
要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一 个类似于牛顿定律的、确定刚体在外力矩作用下运动 状态发生变化的规律——转动定律。
质点的牛顿运动定律：
o
v
ΔLi ri Δmi vi ri Δmi ri Δmi ri ω
2
刚体的总角动量，应为组成刚体的所有质元的角 动量的矢量和。由于刚体作定轴转动时，各质点对定 轴的角动量都具有相同的方向(沿转轴方向)，因此
L ΔLi ( Δmi ri ) Iω
2
i
矢量式：
i
L I
M 合 r dF
(5) 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,即 内力矩之和总是为零。
M ij
O
M ji
d
ri
F ji iF
ij
rj
j
M ij M ji , M 合内力 Mij 0
i, j
例1：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻。
M阻 dM阻
l 0
大小 dM阻 dmgx
方向沿 -z 轴 1 1 2 gl mgl 2 2
细杆受的阻力矩：
gxdx
例2）现有一质量为m，半径为R的匀质薄圆盘在 平面内以角速度ω转动，求摩擦力产生的力矩。 ω
r
dr 解： 取细圆环为质元
m 2 2 M dM g 2 2r dr gmR R 3 0
解：摩擦力沿杆连续分布，杆上各质元均受摩擦力作用， 但各质元受的摩擦阻力矩不同。 z 如图建立坐标系，分割质元。
细杆的质量密度 m / l 质元的质量 dm dx 质元受摩擦阻力矩：
l dm o x m dx
y
x
r xi , dF dmg j dM阻 r dF dmgxk
例1: 一质量为 m1 的物体绕在一半径为 r 质量为 m2 的圆 盘上, 开始时静止, 求重物的加速度、绳中的张力和 t 时 刻重物下降多高? (绳的质量与轴上的磨擦力不计). 已知: m1 、m2、r N 求：a、T、h r + r T m2 T’ 解：取刚体顺时针转 T’ 动、m1 向下运动为 T m1g m2g a 正方向. m1 隔离物体，分析受力
质点系的角动量定理：
dp F dt dL M外 dt
应用于刚体 => 转动定律 问题归结为确定刚体的角动量。
1. 定轴转动刚体的角动量 (a) 质点对点的角动量 L r p r mv
作圆周运动质点的角动量 L＝ rmv
Z
ri
P
பைடு நூலகம்
(b) 定轴转动刚体的角动量 在以角速度ω作定轴转动的刚体内, 取 质元 mi , 则其对OZ 轴的角动量为
i i
M 合 M i＝r1 F1 r2 F2 rN FN
i
(b) 以上公式中, 力都应理解为垂直于转轴的分量, 下同.
(4) 若作用在刚体各处的力是连续分布的，可将 刚体分割成很多小质元，先求作用在每个质 元上的元力矩，再对所有元力矩求和
M I
M
M
纸风车
电风扇
没事！
不敢！
怎么解释？
M I I ,
I小，速度慢，用很小 阻力矩就可以停下
I大，速度快，用很 大阻力矩才能停下
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？ 飞轮是一种惯性装置，是连接在曲轴上的一个 盘状的构件，它依靠较大的转动惯性来维持发 动机的平稳转动。
由刚体转动定律
2. 转动定律
质点系的角动量定理： 应用于定轴转动刚体：
M外
dL dt
刚体的角动量：
L I
刚体的转动定律： d dL d ( I ) M外 I I dt dt dt dp 比较：质点的牛顿运动定律 F ma dt
M O r
d P
F

r
z M
o
F∥
F θ
F⊥
M r F 方向：沿转 大小：M rF sin 轴方向.
r
转动平面
转轴
(3) 若刚体受N个外力作用， F1 , F2 , , FN
ri Fi M i i i 注意: (a) M 合 ri Fi
刚体的转动定律：绕某定轴转动的刚体，所 受合外力矩等于刚体对该轴的转动惯量与角 加速度的乘积，方向沿转轴。
M I
说明： 1) 是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）
2） M , I , 应是对同一轴而言的；
3）转动定律是瞬时对应关系；
4) 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。
M I
设杆子倾斜 角，则
M 外 mgLsin L
1 2 I mL L2 3 g 1 3 sin L L
L

即：杆越长, 角加 速度越小, 状态越 不容改变 ( 惯性 大), 因而越安全.
mg

支撑点 （肩膀）
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
5）转动定律说明了I 是物体转动惯性大小的量 度。因为： M一定时I I 即I 越大的物体，保持原来转动状态的性质就 越强，转动惯性就越大；反之，I 越小，越容 易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或者 说转动惯性越小。
如一个外径和质量相同的实心圆柱与 空心圆筒，若受力和力矩一样，谁转 动得快些呢？