M I
M
M
14
纸风车
电风扇
没事！
疼吗？
15
例1 一质量m1为的物体绕在一半径为 r质量为m2的圆盘上，开始 时静止，求重物的加速度、绳中的张力和 t 时刻重物下降多高？ (绳的质量与轴上的磨擦力不计)。 m2
r
+ T m1
T
T’ m1g
N
解：建立转动轴的正方向， 加速度的正方向。 r T’ 隔离物体分析力：
“牛二”定律
转动定律
M I
F ma
mI
12
定轴转动定律：绕某定轴转动的刚体，所受合外力的力矩在该 轴上的分量等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积。
M I
或
M I
说明：
(1) 定轴转动定律是瞬时对应关系； (2) M, I, β应是对同一轴而言的。
i
mi (dmi ), ri 受力：合内力 F内与 ri 成 i 角 i
外力 F 与 ri 成 i 角 i
P
Fi F内i＝mi ai mi (ain ai )
用 ri 左叉乘(1)式：
10
用 ri 左叉乘(1)式：
(mi )ri (ain ai )
M
z
r
d
M
F

F 对转轴 Z 的力矩
O
M r F
大小 方向
P
-- 力臂
M Fr sin Fd rF
米·牛顿
d
单位
3
M r F
大小 方向
M Fr sin Fd rF
F
Mi 0
F
F
2 ri Fi (mi )ri
11
对整个刚体，求和
对整个刚体，求和
z
O
2 ri Fi (mi )ri
I (mi )ri
i 2
F内 i
ri
i
Fi
i
P
M 合外力 ri Fi I
i
M rF sin
合力矩等于各分力矩的矢量和。
M M1 M2 M3
5
(2) 若刚体受N个外力作用时的力矩，
M 合 M i ＝r1 F1 r2 F2 rN FN
F1 , F2 ,, FN
大小：M
r 0
M r F
C）力的方向与转轴平行
F
投影为零
以上情况力矩M=0
F
向心力的力矩为零
7
例1 长为L均匀细杆，质量为m，在平面内以角速度ω转动， 求M摩擦力。 解：建立坐标系 力是连续的 受力分析
M 合 r dF
方向： 向下
dm
O
x
T ' r I
…(2)
…(3) …(4) …(5)
m2g
a+
m1 g T m1a ….(1)
T ' r I
…(2) …(3) …(4) …(5)
线量和角量关系：
列方程：
T T'
a r
a r
1 I mr 2 2
16
r
m2
N
+ T’ T m1 m 1g a+ m2g
T
r
m1 g T m1a ….(1)
力的累积效应
力对空间积累效应 功--W 力对时间积累效应 物体运动状态的改变 动能--Ek 物体运动状态的改变
冲量--I
动量--P
转动时，力在时间、空间积累效应又如何呢？
1
3-3 力矩 转动定律
竿 子 较长 安些 全还 ？是 短 些
2
一 力矩
刚体绕 OZ 轴旋转，力 F 作用在刚
体上点P，且在转动平面内， 为由点O到力的作用点P的位矢。 r
ri ( Fi F内i )
z
O
F内 i
(mi )(ri ain ri ai ) ri F内i 0
ri
i
Fi
i
P
ri ain 0
i
方向在一条直线上
ai ri 0 2 ri ai ri
Mi 0
F
Fi 0
Mi ?
4
讨论
(1) 若力 F 不在转动平面内，把
力分解为平行和垂直于转轴方向 的两个分量
z
转轴
M
O
Fz 对转轴的力矩 为零 ？ F 对转轴的力矩:
F Fz F
Fz
r

F F
Mk r F
M dM
m rg 2 2rdr R

R
0
m 2 2 g 2 2r dr gmR R 3
9
二 转动定律
要揭示转动惯量的物理意义， 实际上是要找到一个类似于牛顿 定律的规律 -- 转动定律。 刚体可看成是由许多质元 组成，任取一质元P点， O
z
ri
F内 i
i
Fi
F
M合
X
dF gdm
m g dx l
8
rdF
l
1 1 mg xdx mgL 0 l 2
例2 现有一圆盘在平面内以角速度 ω 转动，求摩擦力产生的 力矩（μ 、m、R）。 解： 取细圆环为质元 dr
ω
r
m 2rdr dm ds 2 R
dM rf rgdm
ri Fi
i
i
力不连续
力是连续的
M ri Fi
i
M 合 ri Fi
i i
M 合 r dF
6
(3) 当 F 0）力的方向与矢径的方向在同一直线上。 方向： r F sin 0
如何求力对轴的力矩呢？ 如图可将力分解为两个力， 只求那个垂直于轴的力的力矩 就可以了。
z
M
O
Fz
r

F F
13
(3) 转动定律说明了I 是物体转动惯性大小的量度。 M一定时
I
I
即： I 越大的物体，转动惯性就越大，保持原有转动状态的 能力就越强；反之， I 越小，越容易改变状态，保持原有状 态的能力越弱，或者说转动惯性越小。 如一个外径和质量相同的实心圆柱与 空心圆筒，若受力和力矩一样，谁转 动得快些呢？