例1：求质量为 m ,半径为 R 的均匀薄圆环的 转动惯量，轴与圆环平面垂直并且通过其圆心。
例2：求质量为 m ,半径为 R ，厚度为 l 的均 匀圆盘的转动惯量，轴与盘面垂直并通过圆心。
第二章 刚体的定轴转动
12
物理学
第五版
2.2 力矩 转动定律
例3：求质量为 m ,半径为 R 的均匀薄球壳的 转动惯量，转轴通过球心。
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
第二章 刚体的定轴转动
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
16
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第五版
2.2 力矩 转动定律
转动定律应用 说明
M J
1. 与 M 方向相同。 2.为瞬时关系。
3.转动中
M J
与平动中 F
ma
地位相同。
第二章 刚体的定轴转动
17
物理学
ji
O
M
d
ji
i ri
F ij
第二章 刚体的定轴转动
3
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2.2 力矩 转动定律
例1：有一大型水坝高110 m、长1000m ,水深 100m，水面与大坝表面垂直，如图所示。求作用 在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点Q 且 与x 轴平行的力矩。
y
y
x
h
x
O Q O
L
4
第二章 刚体的定轴转动
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2.2 力矩 转动定律
例6 一个飞轮的质量 m 60 kg ，半径 R 0 . 25 m ， 正在以 0 1000 r/min 的转速转动。现在要制动飞轮， 要求在 t 5 . 0 s 内使它均匀减速而最后停下来。求 闸瓦对轮子的压力 N 为多大？假定闸瓦与飞轮间 的滑动摩擦系数为 k 0 . 8 ，而飞轮的质量可以看 作全部均匀分布在轮的外周上。
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2.2 力矩 转动定律
二 转动定律 (law of rotation)
1.单个质点与转轴刚性连接
F t ma t mr
z
M
Ft
M rF sin θ
M rF t mr
2
F
M mr
2
O r
m
Fn
第二章 刚体的定轴转动
5
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z
k
F
rF sin
O
r
Fz

F
第二章 刚体的定轴转动
2
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2.2 力矩 转动定律 2.合力矩等于各分力矩的矢量和
M M1 M 2 M3
3.刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消。
M ij
rj
j
F ji
M ij M

i

i
Mi 0
1
第二章 刚体的定轴转动
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2.2 力矩 转动定律
讨论
1.若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和 垂直于转轴方向的两个分量 F F z F 其中 F z 对转轴的力 z 矩为零，故 F 对转轴
的力矩
M
M z k r F
第五版
2.2 力矩 转动定律

j
M
ej
( m j r j )α
2
z rj
Fej
m j

j
m jrj
2
J
r dm
2
F ij
转动定律 M J 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力 矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
第二章 刚体的定轴转动
7
物理学
第二章 刚体的定轴转动
18
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2.2 力矩 转动定律
例7 一个质量为 M ，半径为 R 的定滑轮（当 作均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮 边上，另一端挂一质量为 m 的物体而下垂。忽略轴 处摩擦，求物体由静止下落 h 高度时的速度和此时 滑轮的角速度。
第二章 刚体的定轴转动
19
物理学
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2.2 力矩 转动定律 质量为 m 的刚体，如果 对其质心轴的转动惯量为 J ， 则对任一与该轴平行，相距 为 d 的转轴的转动惯量
C
四 平行轴定理 (parallel axis theorem)
d
C
m
O
J O J C md
2
第二章 刚体的定轴转动
15
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2.2 力矩 转动定律
2
转动惯量的单位：kg· 2 m
J 的意义：转动惯性的量度。
第二章 刚体的定轴转动
9
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2.2 力矩 转动定律
J 的计算方法
质量离散分布
J


j
m j r j m 1 r1 m 2 r2 m j r j
2 2 2
2
质量连续分布
J m jrj r dm
2.2 力矩 转动定律 质元受外力
M
ej
2.刚体
Fej
，内力
2 j
F ij
z
O
M ij m j r
rj
Fej
m j
外力矩
内力矩

F ij

j
M
ej

j
M
ij


j
m jrj
2
M ij M
ji
M ij 0
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2.2 力矩 转动定律 转动定律 M J
讨论 1. M
J
2. 3.
M J J
d dt
M 0， ω =常量
第二章 刚体的定轴转动
8
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2.2 力矩 转动定律
三 转动惯量 (moment of inertia)
J

j
m jrj , J
2
r dm ,
例4：求质量为 m ,半径为 R 的均匀实球体的 转动惯量，转轴通过球心。
第二章 刚体的定轴转动
13
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2.2 力矩 转动定律
例5：求长度为 L ，质量为 m 的均匀细棒AB的 转动惯量： (1)对于通过棒的一端且与棒垂直的轴； (2)对于通过棒的中点与棒垂直的轴。
第二章 刚体的定轴转动
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2.2 力矩 转动定律 用来描述力对刚体的转 动作用。
M Fr sin Fd
一 力矩 (torque)
z
M
F
d
F 对转轴z 的力矩 M rF
: 力臂
r
O
*
d
P
F

i
F

i
Fi 0 ,
Mi 0
F
F
Fi 0 ,
2 2 2
dm
：质量元

r dV
dV
V
：体积元
第二章 刚体的定轴转动
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2.2 力矩 转动定律
说明
刚体的转动惯量与以下三个因素有关: 1.与刚体的体密度 有关。 2.与刚体的几何形状(及体密度 的分布)有关。 3.与转轴的位置有关。
第二章 刚体的定轴转动
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2.2 力矩 转动定律
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2.2 力矩 转动定律
例8 一根长 l ,质量为 m 的均匀直棒，其一端 有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转 动。最初棒静步在水平位置，求它由此下摆 角时 的角加速度和角速度，这时棒受轴的力的大小、方 向各如何？
第二章 刚体的定轴转动
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