例1 解方程组：
2x1 x2 x3 x4 2, (1)
4xx1 1x62x2
2 x3 2
x3
x4 4, 2x4
4,
( 2) ( 3)
3x1 6x2 9x3 7 x4 9, (4)
解: 将第一个方程与第二个方程交换位置，并 将第 三个方程÷2， 得
x1 x2 2x3 x4 4, (1)
第三章 线性方程组
本章将讨论一般线性方程组解的理论和求解方法。 本章基本要求： 1、理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 及非齐次线性方程组有解的充分必要条件； 2、理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念； 3、理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念； 4、掌握用行初等变换求解线性方程组的方法。
x4 3,
x2
x3
3,
x1
x3
4
x3 R 这 即 为 原 方 程 组 的 解
上述对方程组的消元变形过程中，实际上是对方 程组反复施行了下列三种运算： (1) 交换两个方程在方程组中的位置； (2) 一个方程的两端同乘以一个不等于零的数； (3) 一个方程的两端乘以同一个数后加到另一个方 程上去。
x1 x2 5 x3 x4 0
例3
解齐次线性方程组：
3
x1 x1
x2 x2
2 x3 8 x3
3x4 x4
0 0
x1 3 x2 9 x3 7 x4 0
解：对系数矩阵A进行初等行变换，把它化为阶梯
形矩阵。
1
A
1 3 1
1 1 1 3
5 2 8 9
1 L2 L1 3
L4 3L2
0 0 0
1 2 5 3
2 2 5 3
1 2 3 4
4 0 36
1 2 L2 , L3 5 L2
L43L2
1 1 2 1 4 L3 L4 1 1 2 1 4
0
0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 1
0 6 3
L4 2L3
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0
1 0
0 0 0 0 0
(其中aii 0)
显
然r (
A)
r，r(B)
r, r
1,
dr1 0 dr1 0
相 应 的 同 解 阶 梯 形 方 程组 为:
a11 x1 a12 x2 a1r xr a1r1 xr1 a1n xn d1
a
22
x2
a2r xr
a
2
r
1
1 1 1 1 (A | b) 1 1 1 1
1 1 1 1 因此，r(A) = r(B) = 1，从而方程组有无穷多组解； (3)若a=-2时，其增广矩阵
1
0 0
0
3 1 0 0
1 4 3 0
0 0 0 1
2 9 6 1
1 0 0 0
3 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1
1 2
0 0
1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3 1 2 1
x3
所以方程组的解为
y 1 z2
t 1
在用高斯消去法解齐次线性方程组时，可以不写常数项！
xr
1
a2n xn
d2
arr xr arr1 xr1 arn xn dr 0 dr1
00
00
讨论原方程组的解:
(1)若dr1 0,则存在0 dr1,显然原方程组无解.
(2)若dr1 0,则方程组有解. 此时需分情况讨论:
即:
r r
n n
a11 x1 a12 x2 a1n xn d1
1 0
1 7
L3 3L1 L4 L1
0 0
1 2 2 4
5 7 7 14
1
4
4 8
L3 L2 1
0
L4 2L2 1 2 L2
0 0
1 1 0 0
5 7
2 0
01L1L21 2 0 0
0
0 0
0
1 0 0
3
2 7
2 0
0
1
2
0
0
其同解方程组为
x1 x2
2 4 2 3 3 0 0 0 0 1
3
6
0
6
4
0
0
0
0
0
所以线性方程组无解.
显然R(A) = 2， R(A) = 3，所以方程组无解
此时同解方程组为
而0 = 1 矛盾，因此当R(A) = R(A)时经过初等行变 换得到的同解方程组一定会出现零等于常数这种 矛盾的方程
其中c为任意常数
x4 3, (4)
碰
巧
把x
也
3
消
去
了
保留(2)中的x2,消 去(3)、(4)中的x2
(3) (4), (4) 2(3), 得
x1
x2 2 x3 x4 4, x2 x3 x4 0,
x4 3,
(1) ( 2) ( 3)
消去(4)中的x4，碰巧 也把常数消去了得恒等
式：0=0
0 0, (4)
注：如果常数项不能消去，则得矛盾式 0=1, 说明此
方程组无解。
容易证明，这个方程与原方程组是同解的，形如这样
的方程组称为阶梯形方程组。这个方程有4个未知变 量，只有3个有效方程应有一个自由未知量，把每个 台阶的第一个未知量选为非自由未知量(x1，x2，x4),
剩下的x3作为自由未知量。用“回代”法解得
3 2 x3 x4 0
7 2
x3
2 x4
0
即
，
x1 x2
7 2
3 2 x3 x3 2
x4 x4
令x3 = c1，x4 = c2，则方程组的通解或一般解为
x1
3 2
c1
c2
7
x2 x3
2 c1 c1
c2
x4 c2
(c1，c2为 任 意 常 数)
从上述几个例子的求解过程可以看到线性方程组Ax = b在有解时，其通解表达式中 (1) 非自由未知量的个数等于系数矩阵A的秩r(A). (2)自由未知量的个数等于n r(A)，其中n为未知量的 个数。
(2)B
0 0
a(1) 22
a(1) m2
a(1) 2n
b(1) 2
a(1)
mn
b(1)
m
a11 a12 a1r a1r1 a1n 0 a22 a2r a2r1 a2n
d1 d2
0
(3)
B
0
0 arr arr 1 arn dr
0 0
0
d
r
1
0 0 0 0 0
这样，线性方程组(1)可以写成:
AX=b,
(3.3)
当b=0时，称(1)为齐次线性方程组。
当b≠0时，称(1)为非齐次线性方程组。
§3.1 高斯消去法
在初等数学中，常常用消元法解二元、三元线性 方程组。消元法的基本思想是通过消元变形把已知方 程组化成容易求解的同解方程组。这个方法同样适合 解末知数较多的方程组—高斯(Gauss)消去法。
§3.2 线性方程组有解的判定
定理3.1 (1) n个未知量的线性方程组(3.3)有解的充要
条件是系数矩阵A与增广矩阵B的秩相等，即r(A) =
r(B);
(2) 若r(A) = r(B)=n，则该方程组有唯一解；若r(A)
= r(B) < n，则有无穷多组解。 证明：设要求解的线性方程组为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
0, 故r(B) = 4. 从而，r(A) r(B), 因此方程组无解。
例4 问a取何值时，线性方程组
ax y z 1
x
ay
z
1
x y az 1
(1)有唯一解； (2)有无穷多组解； (3)无解。
解：方程组的系数行列式为
a11 1 a 1 (a 2)(a 1)2，
11a
(1)若a-2及a1时，D0，按克拉默法则，方程组有 唯一解； (2)若a=1时，其增广矩阵
本章重点：齐次线性方程组的基础解系，线性方程 组解的结构。 m个方程、n个未知量的一般线性方程组为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
(3.1)
记
a11 a12 a1n
例3若a，b，c，d各不相等，问下列线性方程组是否有
解？
x yz1
ax by cz d a2 x b2 y c2z d 2
a3 x b3 y c3z d 3
解：增广矩阵为 1 1 1 1
B
a
a a
2 3
b b2 b3
c c2 c3
d
d d
2 3
显然 ，r(A)3，但
因此， B = (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c)
例1 求解方程组 解
例2 求解下列非齐次线性方程组
x1 2 x2 2 x3 x4 1
2
x1
4 x2
8 x3
2
2
x1
4 x2
2 x3
3 x4
3
3 x1 6 x2 6 x4 4
解 方程组的增广矩阵为
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1
B
2
4
8
0
2
~
0
0
2
1
0
A
a21 am1