二、一点的应力状态
过一点不同方向面 上应力的集合，称 之为这一点的应力 状态。
就是研究一点处沿各个不同方位的截 面上的应力及其变化规律。
三、应力状态的研究方法-单元体
dx dy dz 0
dz
dy
dx
单元体：单元体——围绕被研究点截取一尺寸为无限小
的正六面体。
单元体的性质——a、各表面上应力均匀分布；
Iz
t
Fs
S
* z
IZb
s y σy
t
sx
sy
sy
sz
t
sx
四、主单元体、主应力和主平面
主单元体：各平面上切应力均为零的单元体。
z
sz
t zx t zy
s3
s2
t xz t yz
xsx
t
t
xy
yx
sy y
s1
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力
称为主应力，分别用 s1,s 2 ,s 3 表示，并且 s 1 s 2 s 3
F
F
s
s max
F A
s
t
s s cos2
同一点在斜截面上时：
t
s sin 2
2
表明：同一点在不同方位截面上，它的应
力是各不相同的，此即应力的面的概念。
Mz Fs
横截面上正应力分析和切应力分析 的结果表明：同一面上不同点的应力各
不相同，此即应力的点的概念。
应力
指明
哪一个面上
哪一点？
哪一点 哪个方向面？
s z b、平行平面上应力相等。
t zx t zy
z 0 x
sy
y
t t t yx
t
t xy s x
xz
t xz t xy
t yz s x
zx
t zy
t yz
sy
yx
sz
应力状态的分类
轴向拉伸
σ
σ
σ
σ
s FN
A
扭转
τ τ
τ τ
t T
Ip
弯曲变形
τ
σ
τσ
σy τ y
σx
τx σx
σ
τσ
sx
s MZy
第七章 应力与应变分析 强度理论
§7–1 应力状态的概念 §7–2 平面应力状态分析——解析法、图解法 §7-8 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系
——（广义胡克定律） §7-9 复杂应力状态下的应变能密度 §7-10 强度理论概述
§7-11 四种常用强度理论
一、引言
§7-1 应力状态的概述
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样的？
P 铸铁拉伸
铸铁压缩
M
P
低碳钢 扭转
铸铁扭转 P
低碳钢拉伸试验
铸铁拉伸试验
低碳钢扭转试验
铸铁 扭 转 试 验
2、复杂应力状态怎样建立强度条件？
M
ss
s
Fs
t t
简单应力状态的强度条件：
s max [s ]; t max [t ]
s
t
强度条件如何建立？ P
M 弯扭组合变形 强度条件如何建立？
t
dA s
x
dA
cos
t
sin
t
sx
x dsAycossin
2
cos 2
t y dAsin sin
t x cos 2
s
y
dAsin
cos
0
符号规定：
α角
由x正向逆时针转到n正向
者为正；反之为负。
n x
正应力 sy
sx
sx
拉应力为正
压应力为负
t 切 应 力
t
tx
使单元体或其局部顺时 针方向转动为正；反之为
s 300 s 600 s x s y 40MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢 拉伸时发生屈服的主要原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
450
s
sx s y
2
s x s y cos 2
2
t x sin 2
二. 主应力和主平面
确定正应力极值
s
1 2
(s
x
s y)
1 2
(s
x
s y ) cos 2
t xy
sin
2
求导
ds d
(s x s y ) sin 2 2t xy cos 2
设α＝α0
时，
ds d
0
，即
(s x s y ) sin 20 2t xy cos 20 0
2(σx
σy 2
30 2300
1012032030
1c0os3012c0os062000si2n0sin1260000
2
422..3322Ms x s y sin 2
2
t x cos 2
t 600 t30100213002si3n0s1in2060002200ccooss60102010.33M1.3P3aMPa
负。
ty
某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面 上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x 轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。
a
3 20MPa
c
30MPa
n1
s
sx s y
2
s x s y cos 2
2
t x sin 2
s 600
10MPa
10
s
一、斜截面应力：
a
n Fn 0 Ft 0
a sx
sy
tx ty c
sx
tx
b
sy
s
t
c
ty t
cos2 1 cos 2
2
sin 2 1 cos 2
2
tx ty
s dAs x dAcsoscossx 2tsx dyAcossxs2insyctoysd2Asin tcxossin 2sy dAsin sin 0
) si
n
2
α0
τx
yc
os
2
α0
2τα0
0
即α＝α0 时，切应力为零，正应力为极值
(s x s y ) sin 20 2t xy cos 20 0
tan
2 0
s
2t xy x s
y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。
该单元体称为主单元体。
s3
s1
s2
三
平
向
面
应
应
力 状
特例
力 状
态
态
单向应力状态
σ
σ
纯剪应力状态
τ τ
§7–2 二向和三向应力状态实例
sA = sp Dt=P
s
=
pD 4t
s =?
2N=pDl
N = stl
s =
pD 2t
s
s
s 二向应力状态
s
三向压缩
§7-3 平面（二向）应力状态的应力分析 －解析法
sx
s
sx
2
sy
2
cos 2
t
s x s y sin 2
2
t x cos 2
t
sx
2
sin
2
s 450
sx
2
t 450
sx
2
t max
低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现 滑移线，是由最大切应力引起的。
分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样 扭转破坏的主要原因。
s min
t
s
sx s y
2
s x s y cos 2
2
t x sin 2
s t sin 2
t s max
s x s y sin 2
2
t x cos 2
t t cos 2
450
s 450
s
max
t
s 450
s
max
t
t 450 0
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉 应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此， 可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起 的。