二、主应力迹线的概念
在梁的 xy 平面内可以绘制两组正交的曲线。一组
曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力 1 的方向，
而另一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力
3 的方向,这样的曲线称为梁的主应力迹线 。
x y
12 a
bc
12
三、主应力迹线的绘制 (1) 按一定的比例画出梁在xy平面的
2
G1 D
G1和G两点的纵坐标分别代
表最大和最小切应力
o
B1
C1G ( x2 y)2x 2ymaxy C2G ( x2 y)2x 2ymin
B
20
C
A
D′
x
G2
1
A1
因为最大最小切应力等于应力圆的半径
m mainx1
2
2
例5-1 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)
的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按代数值
大小的顺序来排列, 即
123
三、应力状态的分类
1.空间应力状态
三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零
2.平面应力状态
三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零
3.单向应力状态
三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
2 3
2
1
1
1
1
1
3 2
2
1
关于应力状态的判定：研究生巧答教授的提问
y yx
x xy
一、平面应力状态的解析法
1.任意斜截面上的应力
假想地沿斜截面 ef 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象
y n
e
x
a
yx
x xy
f
e
x
x
xy
α
n
α
α
α
ayx
f
y
e
x
a
y
yx x
xy
f
n
x
2.符号的确定
e
x
xy
α
n
α
α
α
ayx
f
y
t
（1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时则为正 （2）正应力仍规定拉应力为正 （3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正
(x 2y)2 2 (x 2y)2x 2y
因为x ,y ,xy 皆为已知量，所以上式是一个以,为变 量的圆周方程。当斜截面随方位角 变化时,其上的应力 , 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆.
圆心的坐标
C(x y ,0)
2
圆的半径
R (x 2y)2x2y
此圆习惯上称为 应力圆（ plane stress circle）,或称为莫 尔圆（Mohr’s circle）
求极值应力
12 x 2y（ x 2y） 2x 2y
2 xy
1; 20 ; 3 tg 20x 2xyy 045
m m ia nx（ x 2y） 2x2y tg21x2xyy 010
破坏分析
低: 碳 s 2 钢 M 40 ;s P 2a M 00Pa低碳钢
灰口:铸 tb9 铁 ~ 828 M 0P a cb 64~9 06 M 0;P b a 19~8 30 M 0P a
解法1—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60° 12x 2y（ x 2y） 2x2y
150° 25 3 y 45MPa yx 25 3MPaxy
x ? x 95MPa
y O
x
tan20
2xy x y
0 30
60 95MPa
1 120 MPa
60 25 3MPa
x 2ys
从应力圆的半径 CD 按方位角的转向转动2得到半径CE. 圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力.
y
n
e
x
yx x
o
x
E
D
2
B
20
CF A
xy
f a
y
D′
x
证明：
O O F C C O F C C cE 2 o0 s 2( ) O C C cD 2 o 0 c s2 o C ssD 2 i0 n s2 in
x 2 y x 2 yc2 o s xs y i2 n
F E CsE i2 n o(2) CsD i2n 0co 2sCcDo 2s0si2n x 2ysi2n xc y o 2s
说明
Ⅰ.点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应 力圆上某一点的坐标.
Ⅱ.夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上 对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致.
e
x
xy
α
α n
α
α
ayx
f
y
t
e
dA dAcos α
a dAsinf
设斜截面的面积为dA , ae的面积为dAcos, af 的面积为 dAsin
对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
F n 0d A (xd y A c o )ss i n (x d A c o )cs os (yd x A s i)n c o ( s y d A s i)n s i n 0
2
同一截面上不同点 的应力一般不同;
同一点不同方位截面 上的应力亦不同。
应力
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
受力构件内一点的不同方位截面上应力情况的集合,称之
为这一点的应力状态,亦指该点的应力全貌。
应力状态分析就是研究这些不同方位截面上应力的变 化规律。看受力构件上的哪一截面上哪一点在哪一方位上 的应力最大，从而找出危险截面上的危险点，并确定该点 处的应力及其方向，然后建立强度条件。
铸铁
§5–3 梁的主应力.主应力迹线
下图 表示一受任意横向力作用的矩形截面梁, 在横截面 m–m上, 分别围绕 1、 2、 3、 4,、5 五点各取出一单元体。
假设该横截面上的剪力和弯矩都是正值。
q
P1
m P2
12 3
4 5
m
P1
m P2
12 3
4 5
m
q
D1 A2 A1 D2
σ3
1
σ3
C
q
主平面方位
由 CD顺时针转 20 到CA1 2
D
所以单元体上从 x 轴顺时
针转 0 （负值）即到 1对应 o
B1 B
的主平面的外法线
y
D′
20
C
A A1
ta( n20)C DA A x 2xyy
x 1
tan20
2xy x y
20 tan1(x2xyy)
0 确定后,1 对应的主平面方位即确定
（3）求最大切应力
y
y
z
z
xy x
x
P
A
P x
x
A
y
B
C z
P
x B x
Mx
zx
xz
yx
C
xy
4.主单元体（Principal body） 各侧面上切应力均为零的单元体
5.主平面(Principal plane) 切应力为零的截面
6.主应力(Principal stress) 主面上的正应力
2 1
3 2
3 1
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂直
1 2
1 单向应力状态
回答：仅有一个主应力不为零
1
1 二向应力状态
回答：仅有一个主应力为零
2 2 3
零应力状态
1
1 三向应力状态
回答：
3 2
没有一个 回答：没有一个主应力为零 主应力为零
§5-2 平面应力状态分析
y
z
xy x
y
y yx xy
x
x
z
平面应力状态的普遍形式如图所示 .
单元体上有x ,xy 和 y , yx
二、应力状态的研究方法
1.单元体（Element body）
y
y
2.单元体特征
（1）单元体的尺寸无限小，每个面 上应力均匀分布
（2）任意一对平行平面上的应力相等
z
z
xy x
x
（3）该单元体的应力状态就代表了一点的应力状态；
单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方
位截面上的应力。
3.普遍状态下的应力表示
所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面.
②最大正应力
将 0和 0+90°代入公式
x 2yx 2yc2 o s xs y2 in
得到max和min (主应力）
m m a in xx 2y( x 2y)2x 2y
下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角
若约定 | 0 | < 45°即0 取值在±45°范围内
90 再次证明了切应力互等定理
3. 最大正应力及方位
xx 2 2yysi2n x 2yxcycoo22 s sxysi2n
①最大正应力的方位
令 d d 2 [x 2ys2 in xc y2 o ] s 0
tg20
2xy x y
00 90
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力
令 d d 2 [x 2 yc2 o sxs y2 i n ] 0
tan21
x y 2xy
11 90
1 和 1+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力
所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面.
②最大切应力
将1和 1+90°代入公式