1、 二维离散型随机变量的条件分布
P{Y = y j | X = xi } = P{ X = xi , Y = y j } P( X = xi ) = pij pi•
P{X = xi ,Y = yj } pij P{X = xi | Y = yj }= = P(Y = yj ) p• j
11
2、 二维连续型随机变量的条件分布
P( A) = P( AB) + P( AB ) ；
P( A) = 1 − P( A )
P( A B ) = P( A U B) = 1 − P( A U B) ；
P( A U B ) = P( AB) = 1 − P( AB) ；
P( AB U A B) = P( A) + P( B) + kP( AB)
P{ X = k } = C nk p k (1 − p ) n − k k = 0,1,2,3, L , n
（3） 泊松分布
P{ X = k} =
λk e − λ
k!
k = 0,1, 2, L
4、离散型随机变量的分布律的求法 注意确定随机变量的取值范围
5
四、 连续型随机变量及其概率密度 1、连续型随机变量的定义 连续型随机变量的分布函数是连续函数。 2、概率密度的性质 （ 1） （ 2） （ 3）
k Ca C bn − k p1 = n Ca +b
k k n−k Cn a b p2 = ( a + b) n
例 2： 袋中有 a 只白球， b 只红球， k 个人依次在袋 中取一只球， （1）作放回抽样； （2）作不放回抽样， 求第 i (i = 1,2,3L , k ) 人取到白球的概率（ k ≤ a + b ） 。 a p ( B ) = 答案： 都为 (ZU 书 P16) a+b
1 2πσ1σ 2 1− ρ
2
e
2 x−µ 2 ( x−µ1 )( y−µ2 ) y−µ2 1 −2ρ − + σ 2 σ σ σ 1 1 2 2 2 1−ρ
1
(−∞ < x < +∞,−∞ < y < +∞)
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第一章
Hale Waihona Puke 概率论的基本概念一、概率的定义，和由此推得的概率性质：
（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） （ 7） （ 8）
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) ；
当 A，B 不相容时， P( A U B) = P( A) + P( B) ； P( A − B) = P( AB ) = P( A) − P( AB) ； 当 B ⊂ A 时， P ( A − B ) = P ( A) − P ( B )
其中 θ > 0
1 − e − x / θ F ( x) = 0
x>0 其它
（ 3）
正态分布
− ( x− µ )2
1 2 e 2σ − ∞ < x < +∞ 2π σ 当 µ = 0, σ = 1 时，称 X 服从标准正态分布 f ( x) =
2 定理 1 若 X ~ N ( µ , σ ) ，则 Z =
三、条件概率、全概率公式和贝叶斯（Bayes）公式 （重点 重点） 重点 条件概率符合概率定义中的三个条件： (1) 非负性 ：对于每一事件 B ，都有 P ( B | A) ≥ 0 ； (2) 规范性： P( S | A) = 1 ； (3) 可列可加性： 设 B1 , B2 , B3 ,L 是两两互不相容的 事件，则有
k =1
4
∞
2、离散型随机变量的分布函数 F ( x) =
xk ≤ x
∑p
k
要注意如何由分布函数求分布律， 以及由分布律求分 布函数
0 0 .1 F ( x ) = 0 .4 例如： 例如 0 .8 1 x < −2 −2≤ x<0 0≤ x <1 1≤ x < 3 x≥3
3、三种常见的连续型随机变量 （ 1） 均匀分布
1 a< x<b f ( x) = b − a 其它 0
记作
x<a
X ~ U (a, b)
0 x − a F ( x) = b − a 1
a≤ x<b x≥b
6
（ 2）
指数分布
1 −x /θ e f ( x) = θ 0 x>0 其它
y +∞ FY ( y ) = F (+∞, y ) = ∫ ∫ f (u, v)du dv −∞ −∞
f X ( x) = ∫
+∞
−∞
f ( x, y ) dy
f Y ( y) = ∫
+∞
−∞
f ( x, y )dx
注意：边缘概率密度的 六、 条件分布
x (或 y )
的取值范围
X −µ
σ
~ N (0,1) 。
2 若 X ~ N ( µ , σ ) ，求 P{a < X ≤ b}
P{ X > zα } = α ，称 zα 为标准正态分布的 上 α 分位
点。
五、 随机变量的函数的分布 1、 首先确定新的随机变量的取值范围； 2、 根据给定的函数关系式，确立新的随机变量与 原来的随机变量的分布函数的关系。
pij ≥ 0 ，
∑∑ p
i =0 j = 0
∞
∞
ij
=1
8
三、 二维连续型随机变量及其概率密度 对于二维随机变量(X,Y)的分布函数 F ( x, y ) ，如果存 在非负函数 f ( x, y ) 使得
F ( x, y ) = ∫
x −∞ −∞ y
∫
f (u, v)dudv
则称(X,Y)是二维连续型随机变量，称函数 f ( x, y ) 为 二维型随机变量(X,Y)的概率密度 （或称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度） 。 （ 1） f ( x , y ) ≥ 0 ； （ 2）
∫ ∫
+∞ +∞
−∞ −∞
f ( x, y ) = 1 ；
（3） 设 G 是 xOy 平面上的区域，点（X，Y）落在 G 内的概率为
P{( X , Y ) ∈ G} = ∫∫ f ( x, y )dxdy
G
（4） 若 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 连续，则有
∂ 2 F ( x, y) = f ( x, y) ∂x∂y
P (U Bi | A) = ∑ P( Bi | A)
i =1 i =1 ∞ ∞
2
P( A) = P( A | B1 ) P( B1 ) + P( A | B2 ) P( B2 ) + L + P( A | Bn ) P( Bn )
P( Bi | A) =
P( A | Bi ) P( Bi )
∑ P( A | B
f ( x) ≥ 0 ；
∫
+∞
−∞
f ( x)dx = 1 ；
对于任意实数 x1 , x 2 ( x1 ≤ x 2 ) ，
P{ x1 < x ≤ x 2 } = F ( x 2 ) − F ( x1 ) =
∫
x2
x1
f ( x ) dx ；
（ 4）
' 若 f ( x ) 在点 x 处连续，则有 F ( x ) = f ( x ) .
k =1
n
k
) P ( Bk )
四、事件的独立性 事件的独立性与不相容性 相互独立与两两独立的区别
0 < P ( A) < 1 ，若 P{B | A} = P{B | A} ，则 A，B 独立；
反之也成立；
P ( A) > 0 ，若 A, B 相互独立，则 P ( B | A) = P ( B ) ，反
f ( x, y ) f Y | X ( y | x) = f X ( x)
FY | X ( y | x ) = P{Y ≤ y | X = x} = ∫
y −∞
f ( x, y ) dy f Y ( x)
f X |Y ( x | y ) =
f ( x, y ) fY ( y)
y −∞
FX |Y ( x | y ) = P{ X ≤ x | Y = y} = ∫
如何由概率密度求分布函数？(难点)
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4 xy 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 = f ( x , y ) 例如： 已知 ， 例如 其它 0
求 F ( x, y ) 。
0 x2 y2 F ( x, y ) = x 2 y2 1
x < 0或 y < 0 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1, y > 1 x > 1, 0 ≤ y ≤ 1 x > 1, y > 1
(答案： k=-2)
例如： 当 k 为何值时，有 例如
二、古典概型（难点 难点） 难点 例 1： 设袋中有 a 只白球， b 只红球，按下列两种方 式，从中随机地抽取 n 只球，求其中恰有 k ( k ≤ a ) 只 白球的概率。 （1）不放回抽样； （2）放回抽样。
1
答案： （1）不放回抽样 （2）放回抽样
Z = g( X )
F ( z ) = P{Z ≤ z} = P{g ( X ) ≤ z}
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第三章
多维随机变量及其分布
一、 二维随机变量分布函数的定义与性质
F ( x, y ) = P{( X ≤ x) I (Y ≤ y )}记成P{ X ≤ x, Y ≤ y}