北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学 2012.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线2(1)1y x =-+的顶点坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--2．若相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是 A ．2 B ．3 C ． 6 D ．113．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为A ．55 B ．255 C ．12D ．24．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于E ，连接BD ，若∠D =30°， BD =2，则AE 的长为A ．2B ．3C ．4D ．55．若正六边形的边长等于4，则它的面积等于A ．483B ．243C ．123D ．436．如图，以点D 为位似中心，作△ABC 的一个位似三 角形A 1B 1C 1，A ，B ，C 的对应点分别为A 1，B 1，C 1， DA 1与DA 的比值为k ，若两个三角形的顶点及点D 均在如图所示的格点上，则k 的值和点C 1的坐标分 别为A ．2，(2,8)B ．4，(2,8)C ．2，(2,4)D ．2，(4,4)7．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)-，对称轴为1x =，则下列结论中正确的是A ．0>aB ．当1>x 时，y 随x 的增大而增大C ．0<cD ．3x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，(0,2)B ，⊙C 的圆 心为点(1,0)C -，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段 DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是 A ．2 B ． 83C ．222+D ．222-二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠OCB ＝40°，则∠A= °．10．将抛物线2y x =先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个 单位长度，所得抛物线的解析式是 ．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4 ．以斜边AB 的中点D 为旋转中心，把△ABC 按逆时针方向旋转α角 （0120α︒<<︒），当点A 的对应点与点C 重合时，B ，C 两点 的对应点分别记为E ，F ，EF 与AB 的交点为G ，此时α等于 ° ，△DEG 的面积为 ．12．已知二次函数212y x x =-+，（1）它的最大值为 ；（2）若存在实数m ，n 使得当自变量x 的取值范围是m ≤x ≤n 时，函数值y 的取值范围恰好是3m ≤y ≤3n ，则m= ，n= ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2cos303tan602sin 45︒+︒-︒．14．已知关于x 的方程22230x x k -+-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若k 为符合条件的最大整数，求此时方程的根．15．已知抛物线245y x x =+-.（1）直接写出它与x 轴、y 轴的交点的坐标；（2）用配方法将245y x x =+-化成2()y a x h k =-+的形式．16．已知：如图，在菱形ABCD 中，E 为BC 边上一点，∠AED =∠B ．（1）求证：△ABE ∽△DEA ；（2）若AB =4，求AE D E ⋅的值．17．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形 的一边AB 的长为x 米（要求AB ＜AD ），矩形ABCD 的面 积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB 边的长应为多少米？18．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线与BC ，AB 的交点分别为D ，E ． （1）若AD =10，4sin5ADC ∠=，求AC 的长和tan B 的值；（2）若AD=1，ADC ∠=α，参考（1）的计算过程直接写 出tan 2α的值（用sin α和cos α的值表示）．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形PABC 的边长为1，将其沿x 轴的正方向连续滚动，即先以顶点A 为旋转中心将正方形PABC 顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D 为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n 个正方形．设滚动过程中的点P 的坐标为(,)x y ．（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P 的坐标； （2）画出点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4），并直接写出该曲线与x 轴所围成区域的面积．20．已知函数2y x bx c =++（x ≥ 0），满足当x =1时，1y =-，且当x = 0与x =4时的函数值相等．（1）求函数2y x bx c =++（x ≥ 0）的解析式并画出它的 图象（不要求列表）；（2）若()f x 表示自变量x 相对应的函数值，且2 (0),() 2 (0),x bx c x f x x ⎧++≥=⎨-<⎩又已知关于x 的方程 ()f x x k =+有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线与 ⊙O 的交点为D ，DE ⊥AC ，与AC 的延长线交于点E ． （1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）若OE 与AD 交于点F ，4cos 5BAC ∠=，求DFAF的值．22．阅读下列材料：题目：已知实数a ，x 满足a ＞2且x ＞2，试判断ax 与a x +的大小关系，并加以说明. 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出ax 与a x +的差()y ax a x =-+，再 说明y 的符号即可.现给出如下利用函数解决问题的方法：简解：可将y 的代数式整理成(1)y a x a =--，要判断y 的符号可借助函数(1)y a x a =--的图象和性质解决.参考以上解题思路解决以下问题：已知a ，b ，c 都是非负数，a ＜5，且 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=． （1）分别用含a 的代数式表示4b ，4c ； （2）说明a ，b ，c 之间的大小关系．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．（1）求该抛物线与x 轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k 的代数式表示)； （2）若记该抛物线的顶点坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值； （3）将该抛物线先向右平移12个单位长度，再向上平移1k个单位长度，随着k 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．24．已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足MAN∠=︒，连结MC，NC，MN．45⋅= ；（用含a的代（1）填空：与△ABM相似的三角形是△，BM DN数式表示）∠的度数；（2）求MCN（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．A，25．已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为(2,3)C n-（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC(,3)的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m= ；（2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时，①求此抛物线W的解析式；y=-上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，②若点Q在直线1P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准 2012.1一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACCBBADC二、填空题（本题共16分，每小题4分） 题号 9 1011 12答案5022y x x =-60，32（1）12；（2）-4，0 说明：第10题写成2(1)1y x =--不扣分；第11题每空各2分；第12题第（1）问2分， 第（2）问每空各1分．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=232332()22+⨯-⨯ …………………………………………………3分 = 322+． ……………………………………………………………………5分14．解：（1）2(2)4(23)8(2)k k ∆=---=-． ……………………………………………1分∵ 该方程有两个不相等的实数根，∴ 8(2)k -＞0．……………………………………………………………… 2分 解得2k <．…………………………………………………………………… 3分 （2）当k 为符合条件的最大整数时，1k =．…………………………………… 4分此时方程化为2210x x --=，方程的根为112x =+212x =-．………5分15． 解：（1）抛物线与x 轴的交点的坐标为(5,0) (1,0)-和． ………………………2分 抛物线与y 轴的交点的坐标为(05)-，． …………………………………3分 （2）245y x x =+-2(44)9x x =++-…………………………………………………………4分2(2)9x =+-． …………………………………………………………5分16．（1）证明：如图1．∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AD ∥BC ． ∴ 12∠=∠． …………………………2分 又∵ ∠B =∠AED ， ∴ △ABE ∽△DEA ．…………………3分（2）解：∵ △ABE ∽△DEA ，∴AE ABDA DE=．…………………………………………………………………4分 ∴ AE DE AB DA ⋅=⋅．∵ 四边形ABCD 是菱形，AB = 4， ∴ AB =DA = 4．∴ 216AE DE AB ⋅==．………………………………………………………5分17．解：（1）∵ 四边形ABCD 是矩形，AB 的长为x 米， ∴ CD=AB=x （米）．∵ 矩形除AD 边外的三边总长为36米，∴ 362BC x =-（米）．………………………………………………………1分 ∴ 2(362)236S x x x x =-=-+． ……………………………………………3分 自变量x 的取值范围是012x <<． …………………………………………4分 （说明：由0362x x <<-可得012x <<．）（2）∵222362(9)162S x x x =-+=--+，且9x =在012x <<的范围内 ，∴ 当9x =时，S 取最大值．即AB 边的长为9米时，花圃的面积最大．…………………………………5分18．解：（1）在Rt △ACD 中，90C ∠=︒，AD =10，4sin5ADC ∠=，（如图2） ∴ 4sin 1085AC AD ADC =⋅∠=⨯=．……1分 3c o s 1065C D A D A D C =⋅∠=⨯=．∵ DE 垂直平分AB ， ∴ 10BD AD ==．……………………………………………………………2分 ∴ 16BC CD BD =+=．………………………………………………………3分 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒， ∴ 81tan 162AC B BC ===．……………………………………………………4分 图2（2）sin tan21cos ααα=+．（写成1cos sin αα-也可） ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）第三个和第四个正方形的位置如图3所示．…………………………………………………2分 第三个正方形中的点P 的坐标为(3,1)．……3分 （2）点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4）如图3所示．…………………………………………………4分它与x 轴所围成区域的面积等于1π+． ……………………………………5分20．解：（1）∵ 函数2y x bx c =++（x ≥0）满足当x =1时，1y =-， 且当x = 0与x =4时的函数值相等，∴ 11,2.2b c b ++=-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得 4b =-，2c =．…………………………………………………………2分 ∴ 所求的函数解析式为242y x x =-+（x ≥0）． …………………………3分 它的函数图象如图4所示．……………………………………………………4分（2）k 的取值范围是22k -<≤．（如图5）……………………………………………5分 21．（1）证明：连接OD ．（如图6） ∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠1=∠2．…………………………………………………………………1分 ∵ OA =OD ，图3∴ ∠1=∠3． ∴ ∠2=∠3．∴ OD ∥AE ．∵ DE ⊥AC ， ∴ ∠AED =90°．∴ 18090ODE AED ∠=︒-∠=︒．…………2分 ∴ DE ⊥OD ． ∵ OD 是⊙O 的半径，∴ DE 是⊙O 的切线．………………………3分（2）解：作OG ⊥AE 于点G ．（如图6） ∴ ∠OGE =90°．∴ ∠ODE =∠DEG =∠OGE =90°． ∴ 四边形OGED 是矩形．∴ OD =GE ．……………………………………………………………………4分 在Rt △OAG 中，∠OGA =90°，4cos 5BAC ∠=，设AG =4k ，则OA =5k ． ∴ GE =OD =5k ． ∴ AE =AG +GE =9k ． ∵ OD ∥GE ， ∴ △ODF ∽△EAF ． ∴59DF OD AF AE ==．……………………………………………………………5分22．解：（1）∵ 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=，∴ 222,22 3.b c a a c b a ⎧+=-⎨-=+⎩消去b 并整理，得 243c a =+．……………1分 消去c 并整理，得2423b a a =--． ………2分（2）∵ 22423(3)(1)(1)4b a a a a a =--=-+=--，将4b 看成a 的函数，由函数24(1)4b a =--的性质结合它的图象（如图7所图6图7示），以及a ，b 均为非负数得a ≥3．又 ∵ a ＜5，∴ 3≤a ＜5．……………………………………………………………………3分 ∵ 224()63(3)12b a a a a -=--=--，将4()b a -看成a 的函数，由函数24()(3)12b a a -=--的性质结合它的图象（如图8所示）可知，当3≤a ＜5时，4()0b a -<． ∴ b ＜a ． ……………………………………………4分∵ 24()43(1)(3)c a a a a a -=-+=--，a ≥3， ∴ 4()c a -≥0．∴ c ≥a ．∴ b ＜a ≤c ． ………………………………………5分阅卷说明：“b ＜a ，b ＜c ，a ≤c ”三者中，先得出其中任何一个结论即可得到第4分，全写对得到5分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）令0y =，则 2(2)20kx k x +--=． 整理，得 (1)(2)0x kx +-=． 解得 11x =-，22x k=． ∴ 该抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-，2(,0)k． ………………………2分抛物线2(2)2y kx k x =+--的顶点坐标为2244(,)24k k k k k-++-． ………3分 （2）|n |的最小值为 2 ． …………………………………………………………4分（3）平移后抛物线的顶点坐标为214(,)4k kk k+-．…………………………………5分 由1,14x kk y ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得 114y x =--．∴ 所求新函数的解析式为114y x=--． …………………………………7分24．解：（1）与△ABM 相似的三角形是△ NDA ，2BM DN a ⋅=； ……………………2分（2）由（1）△ABM ∽△NDA 可得BM ABDA ND=．（如图9） ………………3分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AB=DC ，DA= BC ，90ABC BCD ADC BAD ∠=∠=∠=∠=︒．图8∴BM DCBC ND=． ∵ BM ，DN 分别平分正方形ABCD 的两个外角， ∴ 45CBM NDC ∠=∠=︒．∴ △BCM ∽△DNC ．…………………………………………………………4分∴ BCM DNC ∠=∠．∴ 360MCN BCD BCM DCN ∠=︒-∠-∠-∠270()270(180)D N C D C N C D N =︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒．………5分（3）线段BM ，DN 和MN 之间的等量关系是222BM DN MN +=．（只猜想答案不证明不给分）证法一：如图9，将△AND 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABF ，连接MF ．则 △ABF ≌△ADN ． …………………………………………………6分∴ 13∠=∠，AF=AN ，BF=DN ，AFB AND ∠=∠． ∴ 122345MAF BAD MAN ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒． ∴ MAF MAN ∠=∠． 又∵ AM= AM ， ∴ △AMF ≌△AMN ． ∴ MF=MN ．可得(1)45(3)4590MBF AFB AND ∠=∠+∠+︒=∠+∠+︒=︒． ∴ 在Rt △BMF 中，222BM BF FM +=．∴ 222BM DN MN +=． …………………………………………7分证法二：连接BD ，作ME ∥BD ，与DN 交于点E ．（如图10）可知45BDC ∠=︒，90BDN ∠=︒．……………………………………6分 ∵ ME ∥BD ，∴ 18090MEN BDN ∠=︒-∠=︒． ∵ 90DBM DBC CBM ∠=∠+∠=︒， ∴ 四边形BDEM 是矩形． ∴ ME =BD ，BM =DE ．在Rt △MEN 中，90MEN ∠=︒，∴ 22222()MN ME EN BD DN DE =+=+-2222(2)()2()a DN BM a DN BM =+-=+-2222()BM DN DN BM BM DN =⋅+-=+．……………………7分25．解：（1）图2中的m =13．……………………………………………………………1分（2）∵ 图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形，点D 的坐标为(,12)D m ，∴ 12E D y y ==，此时原题图1中点P 运动到与点B 重合， ∵ 点B 在x 轴的正半轴上，∴ 1131222BOC C S OB y OB ∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解得 8OB =，点B 的坐标为(8,0)． ………………………………………2分此时作AM ⊥OB 于点M ，CN ⊥OB 于点N ．（如图12）．∵ 点C 的坐标为(,3)C n -， ∴ 点C 在直线3y =-上．又由图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形可知图12中的点C 在过点O 与AB 平行的直线l 上，∴ 点C 是直线3y =-与直线l 的交点，且ABM CON ∠=∠． 又∵ 3A C y y ==，即AM= CN ，可得△ABM ≌△CON ．∴ ON=BM=6，点C 的坐标为(6,3)C -．……………………………………3分 ∵ 图12中 22223635AB AM BM =+=+=．∴ 图11中35DE =，221335D OF x DE =+=+． …………………4分（3）①当点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线的顶点时，作PG ⊥OB 于点G ．（如图13）∵ O ，B 两点的坐标分别为(0,0)O ，(8,0)B ，∴ 由抛物线的对称性可知点P 的横坐标为4，即OG=BG=4．由3tan 6AM PGABM BM BG∠===可得PG=2． ∴ 点P 的坐标为(4,2)P ．………………5分 设抛物线W 的解析式为(8)y ax x =-（a ≠0）． ∵ 抛物线过点(4,2)P ，∴ 4(48)2a -=．解得 18a =-．∴ 抛物线W 的解析式为218y x x =-+．…………………………………6分②如图14．i ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 为顶点的菱形的边时，∵ 点Q 在直线1y =-上方的抛物线W上，点P 为抛物线W 的顶点，结合抛 物线的对称性可知点Q 只有一种情况，点Q 与原点重合，其坐标为1(0,0)Q ．……………………………………7分ii ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 为顶点的菱形的对角线时，可知BP 的中点的坐标为(6,1)，BP 的中垂线的解析式为211y x =-．∴ 点2Q 的横坐标是方程212118x x x -+=-的解．将该方程整理得 28880x x +-=．解得4226x =-±．由点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，结合图14可知点2Q 的横坐标图13图14为2264-．∴ 点2Q 的坐标是2(2264,42619)Q --． …………………………8分 综上所述，符合题意的点Q 的坐标是1(0,0)Q ，2(2264,42619)Q --．。