山东省青岛二中2012-2013学年高三11月月考文科数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin(1920)- 的值为（ ）A．B ．12-CD ．12解析：sin(1920)sin(2406360)sin(18060)-=-⨯=+ ，即原式sin60=-，故选A ．答案：A2．命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是（ ）A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．x ∃∈R ，20x >C ．x ∃∈R ，20x <D ．x ∃∈R ，20x ≤解析：全称命题的否定是特称命题，易知应选D ．答案：D3．已知集合{P =正奇数}和集合{|M x x ==,,}a b a P b P ⊕∈∈，若M P ⊆，则M 中的运算“⊕”是（ ） A ．加法B ．除法C ．乘法D ．减法解析：由已知集合M 是集合P 的子集，设*21,21(,)a m b n m n =-=-∈N ，∵(21)(21)a b m n ⋅=--42()12[2()1]1mn m n mn m n P =-++=-++-∈，∴M P ⊆，而其它运算均不使结果属于集合P ，故选C ．答案：C4．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是（ ）A . 8πB . 7πC . 2π`D .74π解析：依题意该几何体为一空心圆柱，故其体积2237[2()]124V ππ=-⨯=，选D ．答案：D俯视图正 视 图 侧视图5．已知幂函数2()m f x x +=是定义在区间[1,]m -上的奇函数，则(1)f m +=（ ） A ．8B ．4C ．2D ．1解析：由已知必有1m =，函数即3()g x x =，∴3(1)(2)28f m f +===，选A ．答案：A6．已知平面向量(1,),(1,2)a m b ==-，且//，则23a b - =（ ）A ．(5,2)B ．(1,2)-C ．(5,10)-D ．(1,10)--解析：∵//，∴12(1)0m ⨯-⨯-=，∴2m =-，∴(1,2)a =-，∴232(1,2)3(1,2)(5,10)a b -=---=-，故选C.答案：C7．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和0x ay +=上，且AB 线段的中点为P 10(0,)a，则线段AB 的长为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．8解析：由已知两直线互相垂直得2a =，∴线段AB 中点为P (0,5)，且AB 为直角三角形AOB 的斜边，由直角三角形的性质得||2||10AB PO ==，选B ．答案：B8．已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为7112a a +的最小值为（ ）A ．16B ．8C ．D ．4解析：由已知24148a a ==，再由等比数列的性质有4147118a a a a ==，又70a >，110a >，71128a a +≥=，故选B ．9．设函数2,0(),01x x bx c f x x ≥⎧++=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x=-的零点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解析：已知即164422b c c b c ++=⎧⎨++=⎩，∴46b c =-⎧⎨=⎩，若0x ≥，则246x x x -+=，∴2x =，或3x =；若0x <，则1x =舍去，故选C ．答案：C10．设集合(){}(){},|||||1,,()()0A x y x y B x y y x y x =+≤=-+≤，M A B = ，若动点(,)P x y M ∈，则22(1)x y +-的取值范围是（ ）A ．15[,]22B．5]2C．1[2 D． 解析：在同一直角坐标系中画出集合A 、B 所在区域，取交集后如图，故M 所表示的图象如图中阴影部分所示，而d =的是M 中的点到(0,1)的距离，从而易知所求范围是15[,]22，选A ． 答案：A二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上．11．在空间直角坐标系中，点(1,,2)b -关于y 轴的对称点是(,1,2)a c --，则点P (,,)a b c 到坐标原点O 的距离||PO =_____________．解析：由点(,,)x y z 关于y 轴的对称点是(,,)x y z --，1a ∴=，1b =-，0c =，故所求距离||PO=12．定义运算a c ad bcb d =-，复数z 满足11z ii i =+，则复数z = _______________． 解析：由11z i i i=+得1212izi i i z i i +-=+⇒==-．答案：2i -13．已知11{|2}82x A x -=<<，2{|log (2)1}B x x =-<，则A B = ________________．解析：31111{|()()()}{|13}222x A x x x =<<=<<，{|022}{|24}B x x x x =<-<=<<，∴{|14}A B x x =<< ．答案：{|14}x x <<14．已知方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆有最大的面积，则直线(1)2y k x =++的倾斜角α=_______________．解析：1r =≤，当有最大半径时圆有最大面积，此时0k =，1r =，∴直线方程为2y x =+，设倾斜角为α，则由tan 1α=，且[0,)απ∈得4πα=．答案：4π 15列，则a b c ++的值为________________．解析：由题意易得第一列的五个数依次为11111,,,,24816， 第三列的五个数依次为1112,1,,,248，即12a =，由于第四、五两行均成等差数列，故其公差分别为116和132， ∴可得11541616b =+=，113283216c =+⨯=，故153121616a b c ++=++=． 答案：1 16．四棱锥ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 的中点，若AC ＋BD=3，AC·BD=1，则EG 2＋FH 2=___________． 解析：易知四边形EFGH 是平行四边形，而平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和，∴222222112()2[()()]22EG FH HG EH AC BD +=+=+ 221()2AC BD =+22117[()2](321)222AC BD AC BD =+-=-⨯= ．答案：7217．在工程技术中，常用到双曲正弦函数2x xe e shx --=和双曲余弦函数2x x e e chx -+=，双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质，请类比正、余弦函数的和角或差角公式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式 ． 解析：由右边2222x x y y x x y ye e e e e e e e ----++--=⋅-⋅1()4x yx y x y x y x y x y x y x y e e e e e e e e +--+--+--+--=+++-++-()()1(22)()42x y x y x y x y e e e e ch x y ------+=+==-=左边，故知．答案：填入()c c c s s h x y hx hy hx hy -=-，()c c c s s h x y hx hy hx hy +=+，AB CDEH FG()c s sh x y shx hy chx hy -=-，()c s sh x y shx hy chx hy +=+四个之一即可．三．解答题：本大题共5小题，共65分，请给出详细的解答过程． 18．（本小题满分12分）已知函数()1sin cos f x x x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）若tan 2x =，求()f x 的值．解答：（1）已知函数即1()1sin 22f x x =+，∴22T ππ==，………………………3分令3222()22k x k k ππππ+<<+∈Z ，则3()44k x k k ππππ+<<+∈Z ，即函数()f x 的单调递减区间是3[,]()44k k k ππππ++∈Z ；………………………6分 （2）由已知222222sin sin cos cos tan tan 1sin cos tan 1x x x x x x y x x x ++++==++，……………………9分 ∴当tan 2x =时，222217521y ++==+． ………………………12分 19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1． （1）请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明这一事实； （2）求直线EC 与平面ABED 所成角的正弦值．解答：如图， （1）由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB//ED ， 设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，则//FH =12ED ，∴//FH =AB ， ……………3分∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ，由BF ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，//BF ∴平面ACD ；……………6分B（2）取AD 中点G ，连接CG 、EG ，则CG ⊥AD ， 又平面ABED ⊥平面ACD ，∴CG ⊥平面ABED ，∴CEG ∠即为直线CE 与平面ABED 所成的角，……………9分 设为α，则在Rt CEG ∆中，有sin CG CE α===……………12分20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*41()n n S a n =+∈N ． （1）求1a ，2a ；（2）设3log ||n n b a =，求数列{}n b 的通项公式． 解答：（1）由已知1141S a =+，即1141a a =+，∴=1a 13，………………3分 又2241S a =+，即1224()1a a a +=+，∴219a =-； ………………6分 （2）当1n >时，1111(1)(1)44n n n n n a S S a a --=-=+-+，即13n n a a -=-，易知数列各项不为零(注：可不证不说)，∴113n n a a -=-对2n ≥恒成立， ∴{}n a 是首项为13，公比为13-的等比数列， ………………10分 ∴1111()(1)333n n n n a ---=-=-，∴33log ||log 3n n a n -==-，即n b n =-． ………………13分21．（本小题满分14分）已知ABC ∆的两边长分别为25AB =，39AC =，且O 为ABC ∆外接圆的圆心．（1）若外接圆O 的半径652R =，且角B 为钝角，求BC 边的长； （2）求AO BC ⋅的值．（注：39313=⨯，65513=⨯，且2sin sin sin BC AB ACR A C B===） 解答：（1）由正弦定理有2sin sin AB ACR C B==， ∴253965sin sin C B ==，∴3sin 5B =，5sin 13C =， ………………3分且B 为钝角，∴12cos 13C =，4cos 5B =-∴3125416sin()sin cos sin cos ()51313565B C B C C B +=+=⨯+⨯-=，又2sin BCR A=，∴2sin 65sin()16BC R A B C ==+=； ………………7分 （2）由已知AO OC AC += ，∴22()AO OC AC += ，即2222||2||||39AO AO OC OC AC +⋅+== ………………9分 同理AO OB AB += ，∴2222||2||||25AO AO OB OB AB +⋅+== ，……11分两式相减得22(3925)(3925)896AO OC AO OB ⋅-⋅=-+=，即2896AO BC ⋅= ，∴448AO BC ⋅=． ………………14分22．（本小题满分14分）已知函数32()(,)f x ax x ax a x =+-∈R ． （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）若()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，试求a 的取值或取值范围；（3）设函数118()()(2)1333h x f x a x a '=++-+，(]1,x b ∈-，(1)b >-，如果存在(],1a ∈-∞-，对任意(]1,x b ∈-都有()0h x ≥成立，试求b 的最大值．解答：（1）当1a =时，32()f x x x x =+-，∴/2()321f x x x =+-， 令/()0f x =，则113x =，21x =-， ………………2分x 、/()f x 和()f x 的变化情况如下表 x (,1)-∞-1-1(1,)3-131(,)3+∞ /()f x+0 -0 +()f x极大值(1)1f -=极小值15()327f =-即函数的极大值为1，极小值为527-； ………………5分 （2）2()32f x ax x a '=+-，若()f x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数，则()f x '在区间[0,)+∞内恒大于或等于零，若0a <，这不可能，若0a =，则2()f x x =符合条件，若0a >，则由二次函数2()32f x ax x a '=+-的性质知23(0)0af a ⎧-<⎪⎨⎪=->⎩，即00a a >⎧⎨<⎩，这也不可能， 综上可知当且仅当0a =时()f x 在区间[0,)+∞上单调递增； ……………10分 （3）由2()32f x ax x a '=+-，118()()(2)1333h x f x a x a '=++-+， ∴2()(21)(13)h x ax a x a =+++-，(]1,,(1)x b b ∈->-， 当1x b -<≤时，令2(21)(13)0ax a x a +++-≥，………………①， 由(],1a ∈-∞-，∴()h x 的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得， ……………11分 又(1)40h a -=->，∴不等式①恒成立的充要条件是()0h b ≥，即2(21)(13)0ab a b a +++-≥，∵1b >-，∴10b +>，且0a <，∴22311b b b a+-≤-+，依题意这一关于a 的不等式在区间(],1-∞-上有解，∴2max 231()1b b b a +-≤-+，即22311b b b +-≤+，240b b +-≤，∴b ≤≤1b >-，故1b -<≤，从而max 12b -=………………14分。