第1讲 认识三角形考点·方法·破译1.了解与三角形有关得线段(边、高、中线、角平分线),会画出任意三角形得高、中线、角平分线、2.知道三角形两边得与大于第三边,两边之差小于第三边、3.了解与三角形有关得角(内角、外角) 、4.掌握三角形三内角与等于180°,三角形得一个外角等于与它不相邻得两个内角得与、5.会用方程得思想解与三角形基本要素相关得问题、6.会从复杂得图形中找到基本图形,从而寻求解决问题得方法、经典·考题·赏析【例１】若得三边分别为4,x ,9,则x 得取值范围就是______________,周长l 得取值范围就是______________ ;当周长为奇数时,x ＝______________、【解法指导】运用三角形三边关系,即第三边小于两边之与而大于两边之差故5＜x ＜13,18＜l ＜26;周长为19时,x ＝6,周长为21时,x ＝8,周长为23时,x ＝10,周长为25时,x ＝12,【变式题组】01.若△ABC 得三边分别为4,x ,9,且9为最长边,则x 得取值范围就是_________,周长l 得取值范围就是__________、02.设△ABC 三边为a ,b ,c 得长度均为正整数,且a ＜b ＜c ,a +b +c ＝13,则以a ,b ,c 为边得三角形,共有______________个、03.用9根同样长得火柴棒在桌面上摆一个三角形(不许折断)并全部用完,能摆出不同形状得三角形个数就是( )、A .1 B .2 C .3 D .4【例２】已知等腰三角形得一边长为18cm ,周长为58cm ,试求三角形三边得长、【解法指导】对等腰三角形,题目没有交代底边与腰,要给予讨论、当18cm 为腰时,底边为58－18×2＝22,则三边为18,18,22、 当18cm 为底边时,腰为58182＝20,则三边为20,20,18、此两种情况都符合两边之与大于第三边、解:18cm ,18cm ,22cm 或18cm , 20,20cm 、 【变式题组】01.已知等腰三角形两边长分别为6cm ,12cm ,则这个三角形得周长就是( )A .24cmB .30cmC .24cm 或30cmD .18cm02.已知三角形得两边长分别就是4cm 与9cm ,则下列长度得四条线段中能作为第三条边得就是( )A .13cmB .6cmC .5cmD .4cm03.等腰三角形一腰上得中线把这个等腰三角形得周长分成12与10两部分,则此等腰三角形得腰长为________、【例３】如图AD 就是△ABC 得中线,DE 就是△ADC 得中线,EF 就是△DEC 得中线,FG 就是△EFC 得中线,若S △GFC＝1cm 2,则S △ABC ＝______________、【解法指导】中线将原三角形面积一分为二,由FG 为△EFC 得中线,知S △EFC ＝2S △GFC ＝2、又由EF 为△DEC 中线,S △DEC＝2S △EFC ＝4、同理S △ADC ＝8,S △ABC ＝16、【变式题组】01.如图,已知点D 、E 、F 分别就是BC 、AD 、BE 得中点,S △ABC ＝4,则S △EFC ＝______________、(第1题图)(第2题图)C(第3题图)C02.如图,点D就是等腰△ABC底边BC上任意一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若一腰上得高为4cm,则DE+DF＝______________、03.如图,已知四边形ABCD就是矩形(AD＞AB) ,点E在BC上,且AE＝AD,DF⊥AE于F,则DF与AB得数量关系就是______________、【例４】已知,如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝_______、【解法指导】这就是本章得一个基本图形,其基本方法为构造三角形或四边形内角与,结合八字形角得关系即,∠A+∠B＝∠C+∠D.故连结BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°【变式题组】01.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________、02.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________、03.如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝____________、ACB.则∠BOC ＝ ______________、＝12∠A+90°、证法如下: ∠BOC＝180°－∠OBC－∠∠ACB＝90°+12∠A.所以∠BOC＝125°、【变式题组】01.如图,∠A＝70°,∠B＝40°,∠C＝20°,则∠BOC＝______________、(第1题图)B C02、点P、O分别就是∠ABC、∠ACB得三等分线得交点,则∠OPC＝_________、03.如图,∠O＝140°,∠P＝100°,BP、CP分别平分∠ABO、∠ACO,则∠A＝______________、【例６】如图,已知∠B＝35°,∠C＝47°,AD⊥BC,AE平分∠BAC,则∠EAD＝______________、【解法指导】∵∠EAD＝90°－∠AED＝90°－(∠B+∠BAE)＝90°－∠B－12(180°－∠B－∠C)＝90°－∠B－90°+12∠B+12∠C＝12(∠C－∠B) ,故∠EAD＝6°、【变式题组】01、(改)如图,已知∠B＝39°,∠C＝61°,BD⊥AC,AE平分∠BAC,则∠BFE＝__________、(说明:原题题、图不符、由已知得∠A＝98°, BD⊥AC,则点D在CA得延长线上、)02.如图,在△ABC中,∠ACB＝40°,AD平分∠BAC,∠ACB得外角平分线交AD得延长线于点P,点F就是BC上一动点(F、D不重合) ,过点F作EF⊥BC交于点E,下列结论:①∠P+∠DEF为定值,②∠P－∠DEF为定值中,有且只有一个答案正确,请您作出判断,并说明理由、【例７】如图,在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′,使CC′∥AB,若∠BAC＝70°,则旋转角α＝______________、【解法指导】利用平移、旋转不改变图形得形状这条性质来解题、(第2题图)(第1题图)(第2题图)B C(第3题图)C(例6题图)E D(第1题图)(例4题图)C D(第3题图)EC∵CC ′∥AB ,∴∠C ′CA ＝∠CAB ＝70°,又AC ＝AC ′,∴∠C ′AC ＝180°－2×70°＝40°【变式题组】01如图,用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°,并将三角板沿OB 方向平移到如图所示得虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°,则三角板得斜边与射线OA 得直角α＝______________、(第1题图)02.如图,在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′,若点A ′在AB 上时,则旋转角α＝___________、(∠AOB ＝90°,∠B ＝30°)03.如图,△ABE 与△ACD 就是△ABC 沿着AB 边,AC 边翻折180°形成得,若∠BAC ＝130°,则∠α＝________、演练巩固·反馈提高01.如图,图中三角形得个数为( )A .5个B .6个C .7个D .8个02.如果三角形得三条高得交点恰就是三角形得一个顶点,那么这个三角形就是( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形 D .不确定03.有4条线段,长度分别就是4cm ,8cm ,10cm ,12cm ,选其中三条组成三角形,可以组成三角形得个数就是( )A .1个 B .2个 C .3个 D .4个04.下列语句中,正确得就是( )A .三角形得一个外角大于任何一个内角B .三角形得一个外角等于这个三角形得两个内角得与C .三角形得外角中,至少有两个钝角D .三角形得外角中,至少有一个钝角 05.若一个三角形得一个外角小于与它相邻得内角,则这个三角形就是( )A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .无法确定 06.若一个三角形得一个外角大于与它相邻得内角,则这个三角形就是( )A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .无法确定07.如果等腰三角形得一边长就是5cm ,另一边长就是9cm ,则这个三角形得周长就是______________、08.三角形三条边长就是三个连续得自然数,且三角形得周长不大于18,则这个三角形得三条边长分别就是________、09.如图,在△ABC 中,∠A ＝42°,∠B 与∠C 得三等分线,分别交于点D 、E ,则∠BDC 得度数就是______________、(第9题图)10.如图,光线l 照射到平面镜上,然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射,已知∠α＝55,∠γ＝75°,∠β＝______________、11.如图,点D 、E 、F 分别就是BC 、AD 、BE 得中点,且S △EFC ＝1,则S △ABC ＝__________、12.如图,已知: ∠1＝∠2,∠3＝∠4,∠BAC ＝63°,则∠DAC ＝____________、 13.如图,已知点D 、E 就是BC 上得点,且BE ＝AB ,CD ＝CA ,∠DAE ＝13∠BAC ,求∠BAC得度(第2题图)(第3题图)(第10题图)(第11题图)(第13题图)E(第12题图)数培优升级·奥赛检测01.在△ABC中,2∠A＝3∠B,且∠C－30°＝∠A+∠B,则△ABC就是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.有一个角就是30°得直角三角形D.等腰直角三角形02.已知三角形得三边a、b、c得长都就是整数,且a≤b≤c,如果b＝7,则这样得三角形共有( )A.21个B.28个C.49个D.54个03.在△ABC中,∠A＝50°,高BE、CF交于O点,则∠BOC＝______________、04.在等腰△ABC中,一腰上得高与另一腰得夹角为26°,则底角得度数为______、05.如图,BP平分∠ABC交CD于点F,DP平分∠ADC交AB于点E,若∠A＝40°,∠C＝38°,则∠P＝ ______________、06.周长为30,且各边长互不相等且都就是整数得三角形有多少个?07.设△ABC三边a、b、c得长度均为自然数,且周长不大于30,并满足(a－b)2+(a－c)2+(b－c) 2＝26,问满足条件得三角形有多少个?(注:全等三角形只算一个)08.在一次数学小组活动后,小明清理课桌上得三角形模型,经清点,共有11个钝角,15个直角,100个锐角,于就是她把这些数据写在“数学园地”上征答:“共有多少个锐角三角形?”您能回答这个问题吗?09.现有长为150cm得铁丝,要截成n(n＞2)小段,每段得长为不小于1cm得整数,如果其中任意3小段都不能拼成三角形,试求n得最大值,此时有几种方法将该铁丝截成满足条件得n段?10.如图,在△BCD中,BE平分∠DBC交CD于F,延长BC至G,CE平分∠DCG,且EC、DB得延长线交于A点,若∠A＝30°,∠DFE＝75°、(1)求证: ∠DFE＝∠A+∠D+∠E;(2)求∠E得度数 ;(3)若在上图中∠CBE与∠GCE得平分线交于E1,∠CBE1与∠GCE1得平分线交于E2,作∠CBE2与∠GCE2得平分线E3,依次类推,∠CBE n与∠GCE n得平分线交于E n+1,请用含有n得式子表示∠E n+1得度数、11.如图,已知OABC就是一个长方形,其中顶点A、B得坐标分别为(0,a)与(9,a)、点E在AB上 ,且AE＝13AB.点F在OC上 ,且OF＝13OC,点G在OA上,且使△GEC得面积为16,试求α得值、12.如图,已知四边形ABCD中,∠A+∠DCB＝180°,两组对边延长后分别交于P、Q两点,∠P、∠Q得平分线交于M,求证PM⊥QM、umT0WnZ。