石室中学高级高三第一次月考数学试卷（理科）（第一卷）一、选择题：（5×12=60分）1.设集合，则=（ ）A ．,B ．C ．或D ．2．在等比数列{}n a 中，201020078a a = ，则公比q 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 83．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若357=S ，则=4a （ ）A ．8B ．7C ．6D ． 54．2241lim 42x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭=（ ） A. —1 B. —14 C. 14D. 1 5.在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =（ ）A .－223B .223C. －63D.636、方程322670(0,2)xx -+=在内根的个数为( )A 、0B 、-1C 、1D 、37. 如图在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是 （ ） A.arccos515 B.4π C.arccos510 D.2π8.①若,,a b R a b +∈≠，则3322a b a b ab +>+.②若,,a b R a b +∈<，则a m ab m b+<+. ③若,,,a b c R +∈则bc ac aba b c a b c++≥++.④若31,x y +=则11423x y +≥+.其中正确命题的个数为（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个2{|1,},{|1,}M y y x x R N y y x x R ==+∈==+∈MN (0,1)(1,2){(0,1),(1,2)}{|1y y =2}y ={|1}y y ≥9、在函数x x y 4613-=的图像上，其切线的倾斜角小于4π的点中，横坐标为整数的点有（ ）A.7B.5C.4D.210.在数学拓展课上，老师定义了一种运算“※”：对于N n ∈，满足以下运算性质： ①1※1=1 ②（n+1）※1=3（n ※1），则n ※1= （ ） A ．3n －2 B ．3n+1 C ．3n D ．3n-1 11．定义在R 上的函数的图像关于点（－，0）成中心对称且对任意的实数x 都有f （x ）=－f （x+）且f （－1）=1，f （0）=－2，则f （1）+f （2）+……+f （）=（ ） A ．0B ．－2C ．－1D ．－412.已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()f x 的导函数1()2f x '<，则1()22x f x <+的解集为（ ）A.{}11x x -<< B.{}1x x <- C.{}11x x x <->或 D.{}1x x > 二、填空题（4×4=16分） 13．函数()11f x x x =+-(x ＞1)的值域是 ． 14、在（x+）20的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。

15. 由数字2，3，4，5，6所组成的没有重复数字的四位数中5，6相邻的奇数共有16．已知函数()f x 满足：()()(),(1)2f m n f m f n f +==，则2(1)(2)(1)f f f +2(2)(4)(3)f f f ++2(3)(6)(5)f f f +++2(1005)(2010)(2009)f f f ++= ．级石室中学高三第一次月考数学试卷(理)（第二卷）二、填空题：（4×4=16分） 13、 14、 15、16、3432三、解答题：17. (12分) 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 对边分别为a 、b 、c ，已知B tan =31tan ,21=C ,且最长边为.5 (1)求角A ；(2)求△ABC 最短边的长.18. （12分）从四名男生和三名女生中任选3人参加演讲比赛． （Ⅰ）求所选3人中至少有一名女生的概率；（Ⅱ）ξ表示所选参加演讲比赛的人员中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望.19. （12分）如图,侧棱垂直底面的三棱柱111ABC A B C -的 底面ABC 位于平行四边形ACDE 中,2AE =,14AC AA ==,60E ∠=︒,点B 为DE 中点. （Ⅰ）求证:平面1A BC ⊥平面11A ABB . （Ⅱ）设二面角1A BC A --的大小为α,直线AC 与平面1A BC 所成的角为β,求sin()αβ+的值.AEDC BA 1B 1C 120. （12分）已知数列的前项和．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：．21、（12分）已知函数),2()(31)(,2)1(31)(23+∞-=+-=在区间且x f kx x g x k x x f 上为增函数.（1）求k 的取值范围；（2）若函数)()(x g x f 与的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围. （共12分）{}n a n 2()3nn S n n =+lim nn na S →∞12222312n n a a a n+++…＞22、（14分）我们把()my x m Q =∈叫做幂函数。

幂函数()my x m Q =∈的一个性质是：当0m >时，在(0,)+∞上是增函数；当0m <时，在(0,)+∞上是减函数。

设幂函数()(2,)n f x x n n N =≥∈。

（１） 若()()(),(0,)n g x f x f a x x a =+-∈，证明：1()2n nn n a g x a -≤<（２） 若()()()n g x f x f x a =--，对任意0n a ≥>，证明：/()!n g n n a ≥（共14分）级石室中学高三第一次月考数学试卷(理)答案1——12：DADBD CDBDD AD13、[3,)+∞14、615、1416、402017解：（1）∵21tan =B ＜1∴B ＜45°，同理，C ＜45°，∴B +C ＜90°，∴A 为钝角. （1分） 又21tan =B ，∴51sin =B ，52cos =B ；31tan =C ，∴101sin =C ，103cos =C . （4分） ∴221035210151]sin sin cos [cos )cos(cos -=•-•=--=+-=C B C B C B A ，∴A =135°.（6分）（2）∵C ＜B ＜A ，∴△ABC 中最短边为c ，最长边为5=a . （9分）又225101,sin sin ==c A a C c ，∴c =1. （12分） 18答案：（Ⅰ）记事件A 为“所选3人中至少有一名女生”，则其对立事件A 为“所选的3人全是男生”.∴3447431()1()113535C P A P A C =-=-=-=. ------------6分 （Ⅱ）ξ的可能取值为：0,1,2,3. 33371(0)35C P C ξ===，12433712(1)35C C P C ξ===， 21433718(2)35C C P C ξ===，4(3)35P ξ==. ----------8分 ∴ξ的分布列为：012335353535E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯. ------------12分 19.答案：（Ⅰ）法一、在平行四边形ACDE 中, ∵2AE =,4AC =,60E ∠=︒,点B 为DE 中点.∴60ABE ∠=︒,30CBD ∠=︒,从而90ABC ∠=︒,即AB BC ⊥.----------3分又1AA ⊥面ABC,BC ⊂面ABC∴1AA BC⊥,而1AA AB A=, ∴BC ⊥平面11A ABB .∵BC⊂平面1A BC ∴平面1A BC ⊥平面11A ABB .----6分法二、∵2AE =,4AC =,60E ∠=︒,点B 为DE 中点.∴2AB =,BC =,22216AB BC AC +==，∴AB BC ⊥.--3分又1AA ⊥面ABC ,BC ⊂面ABC ，∴1AA BC ⊥,而1AA AB A =,∴BC⊥平面11A ABB ∵BC ⊂平面1A BC ，∴平面1A BC ⊥平面11A ABB .----------6分（Ⅱ）方法一、由（Ⅰ）可知1A B BC ⊥,AB BC ⊥ ∴1A BA ∠为二面角1A BC A --的平面角,即1A BA ∠=α,AEDCBA 1B 1C 1F在1Rt A AB ∆中, 111sin sin AAA BA AB α=∠==,1cos 5AB A B α==.----------8分 以A 为原点,建立空间直角坐标系Axyz -如图所示,其中1(0,0,4)A ,B ,(0,4,0)C ,(0,4,0)AC =,1(3,1,4)A B =-,(3,3,0)BC =-,设(,,)nx y z =为平面1A BC 的一个法向量,则100n A B nBC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴4030y zy +-=+=⎪⎩即x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ----------10分令1y =,得平面1A BC 的一个法向量(3,1,1)n =,则||sin 5||||4AC n AC n β⋅===⨯, 又02πβ<<,∴cos 5β==,∴sin()sin cos cos sin 1αβαβαβ+=+==, 即sin()1αβ+=. ----------12分方法二、由（Ⅰ）可知1A B BC ⊥,AB BC ⊥∴1A BA ∠为二面角1A BC A --的平面角,即1A BA ∠=α,在1Rt A AB ∆中,112,4,AB AA A B ===111sin sin AA A BA A B α=∠==,1cos AB A B α==.----8分 过点A 在平面11A ABB 内作1AF A B ⊥于F ,连结CF ,则由平面1A BC ⊥平面11A ABB ,且平面1A BC平面111A ABB A B =,得AF ⊥平面1A BC∴ACD ∠为直线AC 与平面1A BC所成的角,即ACD β∠=. ----------10分 在Rt ACF ∆中,11AA AB AF A B ⋅==,sin 5AF AC β==,cos β==∴sin()sin cos cos sin 15555αβαβαβ+=+=⨯+=,即sin()1αβ+=. -----12分20.（1）111limlim lim(1)1lim n n n n n n n n n n n n na S S S SS S S S ---→∞→∞→∞→∞-==-=-1111limlim 133n n n n S n S n -→∞→∞-==+,所以limn n na S →∞=23……6分（2）当n=1时，112631a S ==>；当n>1时,1121212222221212n n n a S S a a S S S n n ---+++=+++=1212222222211111111()()()1223(1)n n n S S S S S n n n n --+-++-+>-2233n nn n n+=> 所以,1n ≥时,……12分 21解：（1）由题意x k x x f )1()(2+-='……………………1分因为),2()(+∞在区间x f 上为增函数，所以),2(0)1()(2+∞≥+-='在x k x x f 上恒成立，…3分即2,1>≤+x x k又恒成立，所以1,21≤≤+k k 故……………………5分当k=1时，),2(1)1(2)(22+∞∈--=-='x x x x x f 在恒大于0，故),2()(+∞在x f 上单增，符合题意.所以k 的取值范围为k ≤1.……………………6分 （2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ，)1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h令10)(==='x k x x h 或得………………8分由（1）知k ≤1， ①当k=1时，)(,0)1()(2x h x x h ≥-='在R 上递增，显然不合题意………9分②当k<1时，x x h x h 随)(),('的变化情况如下表：……………………11分由于)()(,021x g x f k 与欲使>-图象有三个不同的交点，即方程)()(x g x f =， 也即0)(=x h 有三个不同的实根。