一. 选择题:[ C ] 1. （基础训练4） 一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为(A) T /12． (B)T /8． (C) T /6． (D) T /4．【提示】如图，在旋转矢量图上，从二分之一最大位移处到最大位移处矢量转过的角位移为3π，即 3t πω=，所以对应的时间为()332/6Tt T ππωπ=== .[ B ] 2. （基础训练8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为(A) π23． (B) π．(C) π21． (D) 0．【提示】如图，用旋转矢量进行合成，可得合振动的振幅为2A,初相位为π.[ B ]3、（自测提高2）两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为 (A) )π21cos(2++=αωt A x ． (B) )π21cos(2-+=αωt A x ． (C) )π23cos(2-+=αωt A x ．(D) )cos(2π++=αωt A x ．【提示】由旋转矢量图可见，x 2的相位比x 1落后π/2。
[ B ] 4、（自测提高3）轻弹簧上端固定，下系一质量为m 1的物体，稳定后在m 1下边又系一质量为m 2的物体，于是弹簧又伸长了∆x ．若将m 2移去，并令其振动，则振动周期为A/ -·O1A 2A A 合(A) g m x m T 122∆π= ． (B) gm xm T 212∆π=． (C) g m xm T 2121∆π=． (D) gm m x m T )(2212+π=∆．【提示】对轻弹簧和m 1构成的弹簧振子，其周期表达式：2T π= 因为加载另一质量为m 2的物体后弹簧再伸长∆x ，显然2m g k x =∆，由此得2m gk x=∆； 代入周期公式，即可求出周期T.[ C ] 5、（自测提高6）如图13-24所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体，再用此弹簧改系一质量为4m 的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为m 的物体，则这三个系统的周期值之比为(A) 1∶2∶2/1． (B) 1∶21∶2 ． (C) 1∶2∶21． (D) 1∶2∶1/4 ． 【提示】从左到右三个弹簧振子分别记为1，2和3； 第一个：1112 T πωω==； 第二个：2121, 22T T ωω==∴= 第三个：将一根弹簧一分为二，每节的弹性系数变成2k ，然后并联，总的弹性系数为4k ，所以31312, 2T T ωω==∴=； 得：1231::1:2:2T T T =.[ D ]6、（自测提高7）一物体作简谐振动，振动方程为)21cos(π+=t A x ω．则该物体在t = 0时刻的动能与t = T /8（T 为振动周期）时刻的动能之比为：(A) 1:4． (B) 1:2． (C) 1:1． (D) 2:1． (E) 4:1． 【提示】在t=0时，cos02πx A ==，势能0p E =，动能212K E E kA ==； t=T/8，cos()422πx A A π=+=-，势能221124p E kx kA ==，所以动能为214K p E E E kA =-=.图13-24二 填空题1、（基础训练12）一系统作简谐振动, 周期为T ，以余弦函数表达振动时，初相为零．在0≤t ≤T 41范围内，系统在t =T/8时刻动能和势能相等． 【提示】初相为零，所以()cos x t A t ω=，在0≤t ≤T 41范围内，0A x ≤≤；依题意，动能和势能相等，为总能量的一半，即22111222kx kA ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2x A =，所以4t πω=，48Tt πω==.2、（基础训练15）一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时,其动能是总能量的3/4（设平衡位置处势能为零）．当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长∆l ，这一振动系统的周期为gl∆π2． 【提示】当物体偏离平衡位置为振幅的一半时，2A x =±，2211284P E E kx kA ===， 34k P E E E E E -==； 当物体在平衡位置时，合力为零：mg k l =∆ ，mg k l =∆，222T πω∴===3、（基础训练16）两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：)215cos(10621π+⨯=-t x (SI) ， )5c o s(10222t x -π⨯=- (SI)它们的合振动的振辐为210()m -，初相为101108.4323tg π-+= 【提示】用旋转矢量图求解。
由图可见：112222143.108312622)(10102=+=+=⨯=+=---tg tg m A A A ππϕ或用公式计算：221212210cos(5) , 2, , A 0.06m, A 0.02m; x t πφπφπ-=⨯-====2101122112210()sin sin (3)108.43cos cos A m A A tg tg A A φφφφπφφ--∴==+=∴=+-=+4、（自测提高8）在静止的升降机中，长度为l 的单摆的振动周期为T 0．当升降机以加速度g a 21=竖直下降时，摆的振动周期02T ． 【提示】当升降机以加速度加速下降时，对于单摆，等效加速度为12g a g -=；所以，单摆的周期变为02T == 5．（自测提高13）一台摆钟每天慢2分10秒，其等效摆长l = 0.995 m ， 摆锤可上、下移动以调节其周期．假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向上移动2.99mm ，才能使钟走得准确？【提示】钟摆周期的相对误差=∆T /T 钟的相对误差t /t ∆，等效单摆的周期2T =这里g 不变，则有12dT dlT l=， 得：1302220.995 2.99246060T t l l l mm T t ∆∆∆===⨯=⨯⨯6、（自测提高14）两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如图13-27所示．由图可知x 方向和y 方向两振动的频率之比νx :νy =4:3．【提示】νx ：νy = y 方向的交点数：x 方向的交点数 = 4：3三 计算题1、（基础训练19）一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速率是24 cm/s ．如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数μ为多少？解：（１）对于木板：由已知条件：振幅A=12cm ；并且当x=6cm 时，v=24cm/s ，根据机械能守恒，有：222111222kA kx mv =+， 将已知数据代入得：222(12)624k k m =+，解出2216(/)3k rad s m ω== 在最大位移处，加速度也达到最大值，22/64s cm A a m ==ω（２）对于物块：水平方向的合力为静摩擦力。
在最大位移处，摩擦力为最大静摩擦力，故图13-27m ma mg f ==μ，065.08.964.0===∴g a m μ2、（基础训练20）一质点作简谐振动，其振动方程为 )4131cos(100.62π-π⨯=-t x (SI)(1) 当x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？(2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？解：（1）系统的势能为212P E kx =，系统的总能量为212E kA =， 依题意 12P E E =所以2212x A =得 210()2x A m -=±=±（2）由旋转矢量图可见，质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间满足：)(43344,4s t t ===∴=ππωππω3. （基础训练23）有两个同方向的简谐振动，它们的方程(SI 单位)如下：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ4110cos 06.04310cos 05.021t x t x ，(1) 求它们合成振动的振幅和初位相。
(2) 若另有一振动)10cos(07.03φ+=t x ，问φ为何值时，31x x +的振幅为最大；φ为何值时，32x x +的振幅为最小。
解：（1）由旋转矢量图可见，合振动的振幅为0.078()A m ==初相位为110102584.8446A tgtg A ππϕ--=+=+= 或1100310.05sin 0.06sin 44tan tan 1184.8310.05cos 0.06cos 44ππϕππ--⎛⎫+ ⎪===⎪ ⎪+⎝⎭(2) 若另有一振动)10cos(07.03φ+=t x ，要使31x x +振幅最大，则31x x 和同相，即102, 012n n φϕπ=+=±±⋯⋯，，，取0n =，得1034φϕπ==；为了使32x x +的振幅最小，则x 2和x 3反相，即2021, 0,1,2n n φϕπ+=±±⋯⋯=+（），取0n =，得2054πφϕπ=+=.4. （基础训练24） 有一轻弹簧，下悬质量为1.0克的物体时，伸长量为4.9厘米；用这个弹簧和一个质量为8.0克的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0厘米后，给予向上的初速度0.50=v 厘米/秒。
试求小球的振动周期及振动的表式。
解：(1)m ’=1.0g ，Δx=4.9cm ，'k x m g ∆=，得：2'0.0019.80.24.910m g N k m x -⨯===∆⨯; （2）设m=8.0g ，则srad m k /51082.03=⨯==-ω；)(4.0522s T ππωπ===∴； （3）设小球的振动表达式为：)cos(0ϕω+=t A x ；由初始条件：t=0时，0000cos 1.0, sin 5.0/x A cm v A cm s ϕωϕ===-=- 得：)(10222202m v x A -⨯=+=ω， 00001,4v tg x πϕϕω=-=∴=所以，小球的振动表达式为： )45cos(1022π+⨯=-t x （m ）5、（自测提高16）一简谐振动的振动曲线如图13-28所示，求该谐振动的振动周期和初相。
解：设简谐振动的表达式为()0cos x A t ωϕ=+，由图中可见，0t =时，00cos 2Ax A ϕ==，且00v <，故初相位为03πϕ=. 2t s =时，2cos 203x A πω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且20v >，故此时的相位为32π，即3232ππω+=，712πω=，得24()7T s =【或者，画出旋转矢量图求解。