广东省佛山市第一中学2015届高三上学期期中数学（理）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 若复数z 满足(3)(2)5z i --=(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为（ ）A ．2i +B ．2i -C ．5i +D ．5i -2 .已知几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A. 34B. 4C. 324D. 3343. 设α、β、γ为不同的平面，m 、n 、l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件为（ ） A. α⊥β, α∩β=l , m ⊥l B. α∩γ=m, α⊥γ, β⊥γ C. α⊥γ, β⊥γ, m ⊥α D. n ⊥α, n ⊥β, m ⊥α4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．275 设232555322555a b c ===（）,（）（，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ．a c b >> B. a b c >> C. c a b >> D. b c a >> 6. 设R y x ∈,，向量)4,2(),,1(),1,(-===y x 且c b c a //,⊥，则x y +=（ ） A .0 B.1 C.2 D.-27.如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边,AB AD 分别交于F E 、两点， 且交其对角线于K ，其中，25AE AB =,12AF AD =,AK AC λ=， 则λ的值为( )A ．29 B ． 27 C ．25 D ．238．对于下列命题：①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②在ABC ∆中“B A ∠>∠”的 充要条件是“B A s i n s i n >”；③设32014sinπ=a ,32014cos π=b ， 32014tan π=c ,则b a c >>；④将函数2s i n 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的横坐标变为原的3倍，再向左平移6π个单位，得到函数+=x y sin(23π）图象。

其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30． （一）必做题：（9—13） 9.已知530,0,sin ,cos(),22135ππαββαβα<<-<<=--==则sin 。

10 已知函数()2sin()f x x ωφ=+ 的图像如图所示，则712f π⎛⎫= ⎪⎝⎭。

11．过点(1,1)A 作曲线2(0)y x x =≥的切线,设该切线与曲线及x 轴所围图形的面积为,S 则S = .12.已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为 .13．如图，多面体OABCD ，AB=CD=2，AD=BC=32，AC=BD=10，且OA ，OB ，OC 两两垂直，给出下列 5个结论： ①三棱锥O —ABC 的体积是定值；②球面经过点A 、B 、C 、D 四点的球的直径是13； ③直线OB//平面ACD ；④直线AD与OB所成角是600；⑤二面角A—OC—D等于300．其中正确的结论是____________________。

NB（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆2ρ=上的点到直线cos()33πρθ-=的距离的最小值是 .15.(几何证明选讲选做题)如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交 于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC=4，AB=6， 则MP ·NP= ．三、解答题（共80分）16（本题满分12分）已知21()cos cos 4442x x x f x =++． （1）求f(x)的周期及其图象的对称中心；（2）△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，满足（2a -c ）cosB=bcosC ， 求)(B f 的值．17.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲、乙、丙面试合格的概率分别是12，12，23，且面试是否合格互不影响.求： （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望.18.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ， AP=AC, 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且BC//平面ADE （Ⅰ）求证：D E ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当二面角A DE P --为直二面角时，求多面体ABCED 与PAED 的体积比。

19．（本小题满分14分）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值； （2）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T20. （本题满分14分）如图,四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形,且1=AB ,2=BC ,060=∠ABC ,E 为BC 的中点, ⊥1AA 平面ABCD .(Ⅰ)证明平面⊥AE A 1平面DE A 1;(Ⅱ)若E A DE 1=,试求异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角1--C A D E 的余弦值.21．（本小题满分14分）已知函数()ln ()1af x x a x =+∈+R ． （1）当29=a 时，如果函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2=a 时，试比较)(x f 与1的大小； （3）求证：121715131)1ln(+++++>+n n （n *N ∈）．佛山一中2015届高三上学期期中考数学（理科）参考答案及其评分标准就是2sinA cosB = sinBcosC +sinC cosB即2sinAcosB=sin(B+C) =sinA (9)因为2sinA>0所以cosB=12又因为0<B<π所以B=3π (10)所以，f(B)=sin()1126B π++=..12 17. 解 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，且P （A ）＝P （B ）＝12， P （C ）＝23…………………2分 （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是211111()1()()()1().2312-=-=-⋅=P ABC P A P B P C ……………4分（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3. (0)()()()P P A B C P A BC P AB C ξ==++＝()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++＝2221112111()()().2323233⋅+⋅+=…………………6分 (1)()()()P P A B C P A B C P AB C ξ==++=()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++=2221211111()()().2323233⋅+⋅+⋅=…………………8分 2121(2)()()()()().236ξ====⋅=P P A B C P A P B P C …………………9分 1(3)()()()().6ξ====P P A B C P A P B P C …………………10分 所以， ξ的分布列是………11分ξ的期望111170123.33666ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=E ………12分18解：（Ⅰ） BC//平面ADE, BC ⊂平面PBC, 平面PBC ⋂平面ADE=DE∴BC//ED …………2分∵PA ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ∴PA ⊥BC . ………3分 又90BCA ︒∠=，∴AC ⊥BC .∵PA 与AC 是平面PAC 内的两条相交直线…………5分 ∴BC ⊥平面PAC . …………6分 又BC//ED∴D E ⊥平面PAC . …………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， DE ⊥平面PAC ，又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ， ∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角， …………10分 ∴90AEP ︒∠=，即AE ⊥PC ， …………11分 ∵AP=AC, ∴E 是PC 的中点，ED 是∆PBC 的中位线。

………12分13==∴--PED BCED PDE A BCED A S S V V ………14分（用向量做对，可酌情给分）19解因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+,………2分 当1n =时,11a S b r ==+,………3分当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-, ………5分 又因为{n a }为等比数列,3212a a (b 1)b b a a b r-=⇒=+ 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=-………7分 （2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 111114422n n n n n n n b a -++++===⨯………9分 则234123412222n n n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++-31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-………14分20、解(Ⅰ)依题意,CD AB BC EC BE ====21所以ABE ∆是正三角形,060=∠AEB又00030)120180(21=-⨯=∠CED所以090=∠AED ,AE DE ⊥ …………2分因为⊥1AA 平面ABCD ,⊂DE 平面ABCD ,所以DE AA ⊥1 …………3分因为A AE AA = 1,又1AA ,AE 在平面1AA E 内 所以⊥DE 平面AE A 1 …………4分ABCDE1A 1B 1C 1D F因为⊂DE 平面DE A 1,所以平面⊥AE A 1平面 DE A 1 …………5分 (Ⅱ)取1BB 的中点F ,连接EF 、AF ,连接C B 1,则D A C B EF 11//// 所以AEF ∠是异面直线AE 与D A 1所成的角 …………7分 因为3=DE ,2211AE A A E A +=,所以21=A A ,22=BF ,26121=+==EF AF 所以662cos 222=⨯⨯-+=∠EF AE AF EF AE AEF …………9分(Ⅱ)解法2以A 为原点,过A 且垂直于BC 的直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴、1AA 所在直线为z 建立右手系空间直角坐标系 设a AA =1(0>a ),)0 , 0 , 0(A 则)0 , 2 , 0(D ) , 0 , 0(1a A )0 , 21, 23(E (Ⅰ)设平面AE A 1的一个法向量为) , , (1p n m n =,则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002123111ap AA n n m n 0=p ,取1=m ,则3-=n ,从而)0 , 3 , 1(1-=n ,同理可得平面DE A 1的一个法向量为)2, 1 , 3(2an =, 直接计算知021=⋅n n ,所以平面⊥AE A 1平面DE A 1 (Ⅱ)由E A DE 1=即22222)21()23(0)212()23(a ++=+-+ 解得2=a)0 , 21, 23(=AE ,)2 , 2 , 0(1-=D A 所以异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值66||||cos 11=⋅=D A AE θ (Ⅲ)由(Ⅱ)可知21=A A ,平面DE A 1的一个法向量为2( 3 , 1 , n = 又31=-,02CD ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,)2 , 2 , 0(1-=D A 设平面1CA D 的法向量()3=,,n x y z 则133=0=0A Dn CD n ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩得2y 01y 02⎧=⎪⎨+=⎪⎩ ，令x 1=,则y ==所以(3=1,3,n …………11分 设二面角1--C A D E 的平面角为ϕ,且ϕ为锐角 则232323cos =cos ,=n n n n nn ϕ⋅…………13分所以二面角1--C A D E …………14分 21、解：（1）当29=a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞， 22)1(2)2)(12()1(291)(+--=+-='x x x x x x x f ， 令0)(='x f ，得21=x 或2=x ． …2分 当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在)21,0(、),2(+∞上单调递增，在)2,21(上单调递减． ……………4分 )(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23)2(+=f ． 当0+→x 时，-∞→)(x f ； 当+∞→x 时，+∞→)(x f ，∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 23+<k ．……………5分 （2）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞．令112ln 1)()(-++=-=x x x f x h ， 0)1(1)1(21)(222>++=+-='x x x x x x h ， )(x h ∴在),0(+∞上是增函数． …………………………………7分①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ；②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． …………………………………9分（3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k n k k k k 111211ln ． ……………12分 ∑=+=+nk kk n 11ln)1ln( 1215131)1ln(++++>+∴n n ．………………………………14分(法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=．3ln 2ln81=>，1ln 23∴>，即1n =时命题成立． ………………………………10分 设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++． 1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln 35211k k k +>++++++． 根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++， 则有1111ln(2)352123k k k +>++++++，即1n k =+时命题也成立．……………13分 因此，由数学归纳法可知不等式成立．（法三）如图，根据定积分的定义，得1121171151⨯+++⨯+⨯n ⎰+<n dx x 1121．……11)12(1212112111++=+⎰⎰x d x dx x n n ]3ln )12[ln(21)12ln(211-+=+=n x n ， ∴121715131+++++n )12151(31++++=n ⎰++<dx x 11231]3ln )12[ln(2131-++=n ． ………………………………12分 11[ln(21)ln 3]ln(1)32n n ++--+=223ln 31[ln(21)ln(21)]62n n n -++-++， 又3ln 332<< ，)12ln()12ln(2++<+n n n ，)1ln(]3ln )12[ln(2131+<-++∴n n ．)1ln(1215131+<++++∴n n ．…………………14分。