2021年高三高考仿真练习题数学理
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共150分。

考试时长120分
钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡务必交回。

第Ⅰ卷（选择题 40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项.
1．已知集合2{|0},{|lg },S x x x T x y x S
T =-≥==则=
A ．
B ．
C ．
D ．
2．记者为4名志愿者和他们帮助的1位老人拍照，要求排成一排，且老人必须排在正中间，那么不同 的排法共有 Ａ．120种 B ．72种 C ．56种 Ｄ．24种 3．已知直线过定点（-1，1），则“直线的斜率为0”是“直线与圆相切”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4．若向量与的夹角为120° ，且 ，则有
A. B. C. D.
5．执行如图所示的程序框图所表示的程
序，则所得的结果为
A. B. C. D.
6．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何
体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．8 B ． C ． D ．
7．若函数（，，）在一个周期
内的图象如图所示，分别是这段图象的最高点和最低点，且
（为坐标原点），则
A． B．C． D．
8．已知函数，则不等式的解集是
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷（非选择题110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．若，且为纯虚数，则a的值是．
10．在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是 .
11．在二项式的展开式中，各项系数之和为，各项二
项式系数之和为，且，则____________．
12．已知函数，在函数的定义
O
●
域内任取一点，使得的概率是___________．
13．如图，已知与圆相切于点，半径，交点，若圆的半径为3，，
则的长度____________．
14． 在直角坐标平面内，已知点列(
)()()()
,2,,,2,3,2,2,2,133221n n n P P P P 如果为正偶数，则向 量的纵坐标（用表示）为____________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分12分）
设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求的取值范围． 16．（本小题12分）
如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，，AB=BC=2CD=2，PB=PC ， 侧面底面ABCD ，O 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：平面ABCD ； （Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若二面角D —PA —O 的余弦值为，求PB 的长．
17．（本小题满分13分）
研究室有甲、乙两个课题小组，根据以往资料统计，甲、乙两小组完成课题研究各项任务的概率依次分别为，现假设每个课题研究都有两项工作要完成，并且每项工作的完成互不影响，若在
一次课题研究中，两小组完成任务项数相等且都不少于一项，则称该研究为“先进和谐室”．
（Ⅰ）若，求该研究室在完成一次课题任务中荣获“先进和谐室”的概率；
（Ⅱ）设在完成6次课题任务中该室获得“先进和谐室”的次数为时，P2的取值范围．
18．（本小题满分13分）
已知函数的图象过点，且在处取得极值．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求在（为自然对数的底数）上的最大值．
19．（本小题满分14分）
已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点，如图所示．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求线段的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段的长度的最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在 确定点的个数，若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分13分）
已知函数 f (x ) 对任意x ∈ R 都有 ． （Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若数列{a n } 满足：= +)1()1()2()1(
f n
n f n f n f +-+++ ，那么数 列 是等差数列吗？请给予证明； （Ⅲ）令.16
32,,1
442
232221n S b b b b T a b n n n n n -
=++++=-=
试比较与的大小．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案及评分标准(理工类)2011.6一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共40 分.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共30 分.
9. 10. 6 11. 3
12. 13. 14.
三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分.
15．（本小题满分12分）
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
解：（Ⅰ）由得
在中，所以
（Ⅱ）
,∴,
∴的取值范围是
16．（本小题12分）
如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，，AB=BC=2CD=2，PB=PC，
侧面底面ABCD ，O 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：平面ABCD ； （Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若二面角D —PA —O 的余弦值为，求PB 的长． （Ⅰ）证明：因为，是的中点，
所以，
又侧面PBC ⊥底面ABCD ，平面， 面PBC 底面ABCD ， 所以平面．
（Ⅱ）证明：以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 设,则，，
，
因为，所以， 即．
（Ⅲ）解：设平面和平面的法向量分别为， 注意到，，， 由 ，令得，， 由令得，， 所以210
cos60||||
9
1441
m n
m n t
⋅=
=
=⋅++⋅+， 解之得，所以为所求． 17．（本小题满分13分） 研究室有甲、乙两个课题小组，根据以往资料统计，甲、乙两小组完成课题研究各项任务的概率依 次分别为，现假设每个课题研究都有两项工作要完成，并且每项工作的完成互不影响，若在 一次课题研究中，两小组完成任务项数相等且都不少于一项，则称该研究为“先进和谐室”． （Ⅰ）若，求该研究室在完成一次课题任务中荣获“先进和谐室”的概率；
（Ⅱ）设在完成6次课题任务中该室获得“先进和谐室”的次数为时，P 2的取值范围． 解：（Ⅰ）
（Ⅱ）研究室在一次任务中荣获“先进和谐室”的概率
而ξ~B(6,P),所以E ξ=6P ，由E ξ≧2.5知 解得，而，所以 18．（本小题满分13分）
已知函数的图象过点，且在处取得极值． （Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求在（为自然对数的底数）上的最大值． 解：（Ⅰ）当时，，
由题意得：，即， 解得：。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ①当时，， 解得；解得或
∴在和上单减，在上单增， 由得：或， ∵24
(1)2()(0)0(1)0327
f f f f -====，，，， ∴在上的最大值为. ②当时，，
当时，；当时，在单调递增； ∴在上的最大值为。

∴当时，在上的最大值为；
当时，在上的最大值为. 19．（本小题满分14分）
已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点 椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点，如图所示．
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求线段的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段的长度的最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，
若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）由题得椭圆方程为：
（Ⅱ）设直线的方程为，从而可知点的坐标为 由 得
所以可得的方程为，从而可知点的坐标 ，当且仅当时等号成立
故当时，线段的长度取最小值 （Ⅲ）由（Ⅱ）知,当取最小值时，，此时直线的方程为，，。

要使椭圆C 上存在点T ，使得的面积等于，只需T 到直线BS 的距离等于，所以点T 在平行于直线BS 且与直线BS 的距离等于的直线上。

直线：；直线：，得或 则直线：或 无解；有两个解
所以T 有两个。

20．（本小题满分13分）
已知函数 f (x ) 对任意x ∈ R 都有 ． （Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若数列{a n } 满足：= +)1()1()2()1(
f n
n f n f n f +-+++ ，那么数 列 是等差数列吗？请给予证明； （Ⅲ）令.16
32,,1
442
232221n
S b b b b T a b n n n n n -
=++++=-=
试比较与的大小．
解：（Ⅰ）因为2
1
)21()21()211()21(=+=-+f f f f ．所以． （Ⅱ）令，得，
即．
)1()1
()1()0(f n n f n f f a n +-+++= ,
又)0()1
()1()1(f n
f n n f f a n +++-+= 两式相加：
2
1
)]0()1([)]1()1([)]1()0([2+=+++-+++=n f f n n f n f f f a n ……7分
所以，又4
1
414111=+-++=
-+n n a a n n ．
故数列{a n } 是等差数列．
（Ⅲ）,
∴
])
1(1
3212111[16-++⨯+⨯+
≤n n )]1
11()3121()211(1[16n
n --++-+-
+= ,
所以 。