精锐教育学科教师辅导讲义
向量共线或平行：通过有向线段如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量说明：共线向量的方向相同或相反，同方向且长度等于1的向量，
a a =a
．用向量表示点的位置：任给一定点，过点O 作有向线段OA a =，则点的和（或和向量），即a b AB BC AC +=+=① 已知两个不共线的向量，作AB a =，AD b =，则A ，B ， 向量的运算性质：a =
个向量，依次把这n 个向量首尾相连，
如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始
）一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量 a a λ=
，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使）基底：我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作
a 关于基底{1e 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；
是平面内的任一向量，且实数对A ，B ，P
一定在l 上．OA AP OA tOB tOA =+=+-设点P 满足等式(1)OP t OA tOB =-+，则AP t AB =，即l 可推广到OAB ∆)OA OB +存在．
的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 向量OA 的坐标．122(,)a b a a b +=+；②
若向量b 不平行于坐标轴，即三、平面向量的数量积和应用
并规定0π<≤≤，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有>．
当π
,2
a b <>=
时，我们说向量向量的数量积（内积）定义cos a b cos a b =向量内积的性质
cos a =a ⊥b a ⇒，且0a b ⋅=⇒a ⊥b ； 2
a a a ⋅=，即a a a =⋅； cos ,a
b a b a b
⋅<>=
；
b a b ≤． 向量数量积的运算律
()a b c a c b c +=⋅+⋅ 向量数量积的坐标运算与度量公式
{②用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：a ⊥1120b a b a ⇔+=
③向量的长度公式：
已知12(,)a a a =，则2212a a a =+，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根． ④两点间的距离公式：
如果11(,)A x y ，22(,)B x y ，则222121()()AB x x y y =-+-． ⑤两个向量夹角余弦的坐标表达式：112222
22
1
2
1
2
cos a b a b a b a a b b +<⋅>=
++
【典例解析】
1. 向量及与向量相关的基本概念
【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由：
（1）共线向量一定在同一条直线上． （ ） （2）所有的单位向量都相等．
（ ） （3）向量a b →
→
与共线，b c →
→
与共线，则a c →
→
与共线． （ ） （4）向量a b →
→
与共线，则//a b →
→
（ ） （5）向量//AB CD →
→
，则//AB CD ．
（
） （6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量． （
）
【例2】 设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则0a a a =⋅；②若a 与0a 平行，则0a a a =⋅；
③若a 与0a 平行且1a =，则0a a =．上述命题中，假命题个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【例3】 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB DC = ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
【例4】 平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）
A ．a ，b 方向相同
B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量
C ．λ∃∈R ，b a λ=
D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=
2. 向量的加、减法
【例5】 若32m n a +=，3m n b -=，其中a ，b 是已知向量，求m ，n ．
【例6】 设P 是ABC △所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）
A ．0PA P
B += B ．0P
C PA += C ．0PB PC +=
D ．0PA PB PC ++=
【例7】 已知O A B ，，是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =( )
A ．2OA O
B -
B ．2OA OB -+
C ．21
33OA OB -
D ．12
33
OA OB -+
【例8】 设D ，E ，F ，分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 上的点，且
2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC （ ）
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
3. 向量数乘运算及其几何意义
线，则b a c
++=
点中共线的三点是___________
、、三点共线，求
B D
，B，C三点共线B．A，B，D三点共线
平面向量的基本定理
与2e - B ．中，，．若点满足，则（ ）
B ．33
c b -
3c
D ．33
b c +
A
b ，不共线，m 时，有m n += 2)y +，若a =()3,2-， ()5,1N --且 MP =
MN , 求P
1且c与d同向B．k=且c与d反向B．0 C．1
B ．-
C ．
D ．3
a =
b =a b ==()m a b ma mb +=+
()()a b c b c a ⋅⋅=⋅
a b a b
-<
)()
b c a c a b
⋅-⋅不与c22
94
a b 真命题是（）
．①②B．②③．③④D．②④
a b
==
B．3
2
3
2
D
向量求模
a=b=
求a b
，的值；⑵求a b
+的值．
AB=BC=AC．
a=
==b等于（
a b
2,
2 B．23D．12
CB=
a=b=
A．30︒B．60︒C．120D =，则
b a b
以上命题中，正确的命题序号是
Q=（
}1)B
=
(2cos
aθ
OC=
7
⊥，求的值．
AC BC
=
3|
）试用k表示a b⋅，并求出a b的最大值及此时a与b的夹角
取得最大值时，求实数λ，使的值最小，并对这一结果作出几何解及a b
+；
+的最大值，并求使函数取得最大值时
a b
OB，
关于x的函数解析式
⋅=-，求
1
AC BC。