山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.2 齐次变换及运算
4、常用的旋转变换 ①、绕z轴旋转θ 角 坐标系{i}和坐标系{j}的原点合， 坐标系{j}的坐标轴方向相对于坐标系{i} 绕的z轴旋转一个θ 角。θ 角的正负一般 按右手法则确定，即由z轴的矢端看，逆 ｚi 时钟为正。 ｚ
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3.1 机器人的位姿描述
R 称为坐标系{B}相对{A}的旋转矩阵。 旋转矩阵的性质： 1、列向量两两正交，行向量两两正交。 2、列向量和行向量都是单位向量。 3、每一列是{B}的基矢量在{A}中的分量表示，同 样，每一行是{A}的基矢量在{B}中的分量表示。 4、旋转矩阵是正交矩阵，其行列式等于1。 5、它的逆矩阵等于它的转置矩阵，即：
i
py j yi j p i pz j z i j p
i
ｚi ｚj
p
即：
p R p
i j j
ｏi ｘi ｏj ｘj
ｙj
ｙi
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3.2 齐次变换及运算
3、另一种解释 对同一个数学表达式可以给出多种不 同的解释，前面介绍的是同一个向量在不 同的坐标系的表示之间的关系。 上述数学关系也可以在同一个坐标系 中解释为向量的“向前”移动或旋转，或 则，坐标系“向后”的移动或旋转。
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3.1 机器人的位姿描述
对于机器人来说，我们最关心它的末 端执行器相对于基座的位置和姿态，简称 为位姿。 问：我们如何用一组关节参数来描述 机器人的末端执行器相对于基座的位姿？
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3.1 机器人的位姿描述 一、机器人位姿的表示 1、位置的表示 坐标系建立后，任意点p在空间的位 置可以用一个3×1的位置矢量来描述； 例如，点p在{A}坐标系中表示为：
j
ｏi ｘi ｏj
θ
θ
ｙj
ｙi
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02ｘj3.2 齐次变换及运算
xi y i zi
令:
cos si n 0
3.1 机器人的位姿描述
2、姿态（或称方向）的表示 我们知道：两个刚体的相对姿态可 以用附着与它们上的坐标系的相对姿态 来描述。
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3.1 机器人的位姿描述
刚体的姿态可以用附着于刚体上的坐标 系（用{B}表示）来表示；因此，刚体相对 于坐标系{A}的姿态等价于{B}相对于{A}的 姿态。 坐标系{B}相对于{A}的姿态表示可以用 坐标系{B}的三个基矢量xB、yB和zB在{A}中 的表示给出， 即[AxB AxB AxB] （这里前上标A 说明：{B}的三个基矢量在A坐标系中表示） ，它是一个3×3矩阵，它的每一列为 {B}的 基矢量在{A}中的分量表示。
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3.1 机器人的位姿描述 即：
A B
R A xB

A
yB
xB x A A zB x y B A xB z A

yB x A yB y A yB z A
T zB xA B X A B T z B y A YA B T zB z A ZA
第3章 机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述
3.2 齐次变换及运算
3.3 机器人运动学方程
3.4 机器人微分运动
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机器人的任务
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第3章
机器人运动学
运动学研究的问题： 手在空间的位姿 及运动与各个关节的 位姿及运动之间的关 系。 其中： 正问题：已知关节运 动，求手的运动。 逆问题：已知手的运 动，求关节运动。
px A P py p z
其中px，py，pz为P点的 坐标分量。
ｘ
ｚ
ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)
ｏ
{A}
ｙ
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• 位置矢量不同于一般矢量，它的大小与坐 标原点的选择有关。
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基矢量都是单位矢量，因此，上式又 可以写成：
A B
cos( xA , x B ) cos( xA , yB ) cos( x Az , B ) R cos( yA , x B ) cos( y A, y cos( y Az , B ) B) , x B ) cos( zA , yB ) cos( zA , zB ) cos( zA
•
A B A T R 1 B R B A R
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A B
3.1 机器人的位姿描述
3、位姿的统一表示 定义一组四向量矩阵[R P]，如图。其中， i i p jorg{j}的原点 表示 {j}相对{i}的姿态， 表示 jR 相对{i}的位移。 我们可以将{j}坐标 ｚj 系相对{i}坐标系描述为： ｚi
i
P j P i Pjorg
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3.2 齐次变换及运算 2、旋转 设坐标系{i}和坐标系{j}的原点重 合，但它俩的姿态不同。设有一向量P， 它在{j}坐标系中的表示为jP，它在{i} 中如何表示？ 考虑分量：
i
px i x j p j xi j p
{j} { R p jorg } 3×4
i j i
ｘj
p
ｘi
ｏi
ｏj ｙj
ｙi
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3.2 齐次变换及运算
3.2.1、不同直角坐标系之间的关系 1、平移 设坐标系{i}和坐标系{j}具有相同的姿 态，但它俩的坐标原点不重合，若用3×1矩 阵iPjorg表示坐标系{j}的原点相对坐标系{i} P 的位置，则同一点P 在两个坐标系中的表 示的关系为：