勾股数的规律
初中数学讲到直角三角形就离不开它的三边关系的一个重要定理：勾股定理。

如果直角三角形的三边a 、b 、c （a ﹤b ﹤c ），由勾股定理可知：2
22a b c +=，其中a 为勾，b 为股，c 为弦。

一、当勾为奇数时，探求勾股数的规律 1、 列表，观察表中每组勾股数
2、归纳规律：（1）每组中a 都是奇数；
（2）2
a b c =+，212a b -=；（3）c = b+1，21
2
a c +=.
由此可得第n 组当a=2n+1时
2221(21)1
2222a n b n n
-+-===+,
2221(21)122122
a n c n n +++===++
于是有第n 组勾股数为2n+1、2n 2+2n 、2n 2+2n+1（n 为正整数）。

3、证明：∵2
2222(21)(22)a
b n n n +=+++
4232441844n n n n n =+++++ 4232441844n n n n n =+++++
22(221)n n =++
∴2
22a
b c +=
∴2n+1、222n n +、2221n n ++（n
为正整数）是一
组勾股数。

4、此种形式勾股数的另一种规律表现形式： （1）列表观察
（2）归纳规律：略。

当n 为正整数时，勾股数为：
22(1)a n n =+-
2(1)b n n =+
22(1)c n n =++
化简后即为：a 、b 、c 分别为2n+1、2
22n
n +、2221n n ++。

（3）证明过程：同前面的证明。

二、当勾为偶数是，探求勾股数的规律 1、列表观察表中每组勾股数 2、 归纳规律：
（1）、每组中a （勾）是偶数（第一组较特殊：勾比股大）；
（2）、22
14
,22
a a
b
c b -=+=⨯
（3）、2c b =+24
2
a +=
由此可得第n 组中的2(1)a n =+时，则：
2224[2(1)]4224a n b n n -+-===+
2224[2(1)]42224
a n c n n +++===++
[或2
2c=b+2=(n
2n)+2=n 2n+2++]，
于是有第n 组勾股数为2(1)n +、2
2n n +、222n n ++（n
为正整数）。

3、 证明： ∵2
2222[2(1)](2)a
b n n n +=+++
243248444n n n n n =+++++
423244448n n n n n =+++++
2()=++2n 2n 2 ∴2
22a
b c +=
∴2（n+1）、2
2n
n +、n 2
+2n+2（n
为正整
数）是一组勾股数。

三、运用配方法探求勾股数的规律
1、a （勾）、b （股）、c （弦）用含有m 、n （两个不同的正整数且m ＞n ）的代数式表示：
222
2
2a m n b mn c m n
=-==+
此时，它们也是一组勾股数。

2、证明：∵222222()(2)a
b m n mn +=-+
4
2
2
4
2
2
24m m n n m n =-++
4
22
4
2m m n n
=++
222()m n =+
∴2
22a
b c +=
∴22m
n -、2mn 、22m n +（m 、n 表示两
个不同的正整数且m ＞n ）是一组勾股数。

四、运用已知勾股数探求勾股数的规律
1、如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么na 、nb 、nc （n 为正整数）也是一组勾股数。

例如一组勾股数是3、4、5，当n=2时那么得到另一组勾股数为6、8、10。

2、证明：∵2
22a
b c +=
∴2
22222()
()na nb n a n b +=+
222()n a b =+
22n c =
∴如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么na 、nb 、nc （n 为正整数）也是一组勾股数。

说明：在等腰直角三角形中因为a=b ，因此
2222
2a b a c +==
得c =，所以a 、b 、c 不可能都为整
数。

即等腰直角三角形三边长组成的不是一组勾股数。

综上所述得以下勾股数的四种表现形式： ★ 2n+1、2
22n
n +、2221n n ++（n
为正整数）是
一组勾股数。

★ 2（n+1）、n 2+2n 、n 2+2n+2（n 为正整数）是一组勾股
数。

★ 2
2m
n -、2mn 、22m n +（m 、n 表示两个不同的正
整数且m ＞n ）是一组勾股数。

★ 如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么na 、nb 、nc （n 为正整数）也是一组勾股数。

我们从中任取一种形式来，给出其中字母所示符合条件的值时即可求得一组勾股数。

每种形式也可求出无数组勾股数，所以勾股数的组数也就是无数个了。