D BA C α 普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座37）—空间夹角和距离一．课标要求：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
二．命题走向空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察主要有以下情况：（1）空间的夹角；（2）空间的距离；（3）空间向量在求夹角和距离中的应用。
预测2007年高考对本讲内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。
课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。
题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察。
三．要点精讲1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。
（2）直线与平面所成的角的范围是2,0[π。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。
注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤； （3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。
作二面角的平面角常有三种方法①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
斜面面积和射影面积的关系公式：θcos ⋅='S S (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。
2．空间的距离（1）点到直线的距离：点Ｐ到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离。
在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。
点到平面的距离：点Ｐ到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法（2）异面直线间的距离：异面直线b a ,间的距离为b a ,间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ＡＢ为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与b ，a 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。
（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。
（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。
以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。
所以均可以用求函数的最小值法求各距离。
3．空间向量的应用（1）用法向量求异面直线间的距离如右图所示，a 、b 是两异面直线，n 是a 和b 的法向量，点E ∈a ，F ∈b ，则异面直线 a 与b之间的距离是d =；（2）用法向量求点到平面的距离如右图所示，已知AB 是平面α的 一条斜线，为平面α的法向量，则 A到平面α的距离为d =；（3）用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。
（4）用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。
（5）用法向量求二面角如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量1n 与2n ，则平面α与β所成的角跟法向量1n 与2n 所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。
（6）法向量求直线与平面所成的角要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量与直线a的夹角的余弦a ，易知θ=a或者a 2-π。
四．典例解析题型1：异面直线所成的角例1．（1）直三棱住A 1B 1C 1—ABC ，∠BCA=090，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）bE（A ）1030 （B ）21（C ）1530 （D ）1015 （2）（06四川）已知二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且,m n ββ⊥⊥，则,m n 所成的角为（ ）（A ）030 （B ）060 （C ）090 （D ）0120 解析：（1）连结D 1F 1，则D 1F 1//1121C B ， ∵BC //11C B ∴D 1F 1//BC 21设点E 为BC 中点，∴D 1F 1//BE ，∴BD 1∥EF 1，∴∠EF 1A 或其补角即为BD 1与AF 1所成的角。
由余弦定理可求得1030cos 1=∠A EF 。
故选A 。
（2）二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且,m n αβ⊥⊥，则,m n 所成的角为两条直线所成的角，∴ θ=060，选B 。
点评：通过平移将异面直线的夹角转化为平面内的两条相交直线的夹角。
例2．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为棱AB 的中点。
求：D 1E 与平面BC 1D 所成角的大小（用余弦值表示）解析：建立坐标系如图，则()2,0,0A 、()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，()12,2,2B ，()10,0,2D ，()2,1,0E ，()12,2,2A C =--，()12,1,2D E =-，()0,2,0AB =，()10,0,2BB =。
不难证明1A C 为平面BC 1D 的法向量， ∵ 1111113cos ,9AC D E AC D E AC D E ==。
∴ D 1E 与平面BC 1D 所成的角的余弦值为93。
点评：将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。
题型2：直线与平面所成的角D例3．PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为060，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）A.21B. 22C. 33D. 36解：构造正方体如图所示，过点C 作CO ⊥平面PAB ，垂足为O ，则O 为正ΔABP 的中心，于是∠CPO 为PC 与平面PAB 所成的角。
设PC=a ，则PO=a PD 3332=，故33cos ==∠PC PO CPO ，即选C 。
思维点拨：第（2）题也可利用公式γβθcos cos cos ⋅=直接求得。
例2．（03年高考试题）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90︒，侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G 。
求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设CA ＝2a ，则A (2a ，0，0)，B (0，2a ，0)，D (0，0，1)，A 1(2a ，0，2)，E (a ，a ，1)， G (221,,333a a ) ，∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，222033GE BD a =-=，∴ a ＝1，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD 的法向量，且1112cos ,A B GEA B GE A B GE==。
∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32。
点评：先处理平面的法向量，再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角。
题型3：二面角GD D A 1C 1 B 1CB K x yz AEEFO例5．在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，E 为BC 中点。
（1）求平面PDE 与平面PAB 所成二面角的大小（用正切值表示）；（2）求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
解析：（1）延长AB 、DE 交于点F ，则PF 为平面PDE 与平面PAD 所成二面角的棱，∵PA ⊥平面ABCD ，∴AD ⊥PA 、AB, PA ∩AB=A ∴DA ⊥平面BPA 于A ，过A 作AO ⊥PF 于O ，连结OD ，则∠AOD 即为平面PDE 与平面PAD 所成二面角的平面角。