第七讲 二次根式的运算式子a (a ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1)c b a c b c a )(±=± (c ≥0)； (2)ab b a =⋅ (0,0≥≥b a )； (3)ba b a =(0,0>≥b a )；(4)22)(a a =(≥a 0)．同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等． 例题求解 【例1】 已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题)思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手． 注： 二次根式有如下重要性质：(1)0≥a ，说明了a 与a 、n a 2一样都是非负数；(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化； (3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．提示：22222205420,262045x x x y x y x x⎧-≥⎪⎪-→-==→+=⎨-⎪≥⎪-⎩ 【例2】 化简22)1(111+++n n ，所得的结果为（ ）(武汉市选拔赛试题)A ．1111+++n nB ．1111++-n nC ．1111+-+n nD ．1111+--n n思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．提示：原式111n n n +==-+ （C ）【例3】计算： （1）)23)(36(23346++++； （2（3）4947474917557153351331++++++++ ；（4思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．（1）原式===+（2）原式=(55==--=（3==12===原式11113(()2217747=+++=-=（4====【例4】 (1)化简324324-++； (北京市竞赛题)(2)计算223810++ (“希望杯”邀请赛试题)(3) 计算1212--+-+a a a a ． (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题) 思路点拨 （1）把4+23万与4—23分别化成一个平方数化简，原式11=+=由于4+23与4—23是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；原式3423=-21612==-==(2)原式==242(2)4+=+(3)通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就a 的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．原式=2112a a ⎧≤≤≤⎪=+-=⎨>⎪⎩ 1，即12时，即时 【例5】 已知521332412---=----+c c b a b a ，求c b a ++的值．(山东省竞赛题)思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：2222211]2212][(3)2339]2a c c -+--+=----+即22211)2)]3)02++=，10=，得2a =20=，得6b =；30=，得12c =。
故261220a b c ++=++=。
学历训练1．如果22332+-+-=x x y ，那么4x y -=．2．已知3=xy，那么yxyx y x +的值为． (成都市中考题)提示：原式()x y x y x y x y ⎧⎪==+⎨-⎪⎩、均为正、均为负3．计算2001)13(2)13(2)13(199920002001++-+-+= ．(天津市选拔赛试题) 原式199********)1)1)13]20011)11)3]20012001=-+-+=--+=4．若 ab≠0，则等式ab b b a -=--351成立的条件是．(淄博市中考题)==故33b b =-，因此0b <，∵ 0ab ->，∴0a > 5．如果式子2)1(2-+-x x 化简的结果为32-x ，则x 的取值范围是( B )A ．x≤1B ．x≥2C ．1≤x≤2D ．x >0 (徐州市中考题) 6．如果式子aa ---11)1( 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ C ）A ．a -1B ．1-aC ．1--aD ．a --1 7．已知)0,0(02>>=+-y x y xy x ，则yxy x y xy x 4353-++-的值为( D )A ．31B ．21 C ．32 D ．438．已知321+=a ，那么a a a a a a -+--+-2221211的值等于（ ）A ．)321(+-B ．1-C ．32-D ．3 9．计算：(1)12002200120001999+⨯⨯⨯； （2）7221756215422133021120291227625223-+-+-+-+-+-+-+-；（3）4266777647511+++++；（4）)19992001()19972001(2001)20011999)(19971999(1999)20011997)(19991997(1997--+--+--(“希望杯”邀请赛试题)10．(1)已知139+与139-的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a+4b+8的值； (2)设nn n n x ++-+=11，nn n n y -+++=11，n 为自然数，如果199********=++y xy x 成立，求n ．11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响． （1）问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由； (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物? (供选用数据：4.12≈，7.13≈) (贵阳市中考题) 12．已知2323+-=x ，2323-+=y ，那么22y x x y += ．(杯全国初中数学联赛题)13．若有理数x 、y 、z 满足)(2121z y x z y x ++=-+-+，则3()x yz -=．(北京市竞赛题)14．设b a +=-21027，其中a 为正整数，b 在0，1之间，则ba ba -+= ．15．正数m 、n 满足34424=+--+n n m mn m ，则2002282++-+n m n m = ．(北京市竞赛题)16．化简212172232-+-等于( )A ．5—42B ．42一1C ． 5D ．1 (全国初中数学联赛题) 17．若x x +=-11，则2)1(-x 等于( ) (2004年武汉市选拔赛试题) A 1-x B ．x -1 C ．1 D ．－118．若b a b a b a -≠、、,都是有理数，那么a 和b ( ) (“希望杯”邀请赛试题) A ．都是有理数 B ．一个是有理数，另一个是无理数C ．都是无理数D ．有理数还是无理数不能确定 19．下列三个命题：①若α，β是互不相等的无理数，则αβ+α－β是无理数； ②若α，β是互不相等的无理数，则βαβα+-是无理数； ③若α，β是互不相等的无理数，则3βα+是无理数． 其中正确命题的个数是( )A ． 0B ．1C ．2D ．3 (全国初中数学联赛试题) 提示：①(21)(21)[(21)(21)]123+-++--=+=是有理数；答案A ②22221322232-==+是有理数； ③336622220+-=-=是有理数。
20．计算： （1）3426302352+--+； （2）2356101528-+--+；（3）100999910013223121121++++++ ；(4) )1552326(2+--； (5)223152525--+-++．提示：（1）原式253253626526326226(532)26+-+-====-+-+；（2）原式2(52153)2(53)(53)2(53)532532++-++-+==+-+-(53)(532)532++-=+-53=+；（3）先看通项(1)11(1)n n n n n n n n =++++++111(1)(1)11n n n n n n n n n n n n n n +-+-===-++++-++故原式19(1)()()1101022399100=-+-++-=-= （4）原式124345215435223225215=--+=++--+2(235)235352=--=--=+-； （5）原式25252(52)(51)(52)(51)2221(21)5151(51)(51)(51)(51)+-+---=+--+=+--+++-+- 552535235735(21)(21)515144+--++-=+--=+----1)1)==1)1)3)1)1=+-=+-=21．(1)求证11)1(12222+-+=+++ababaababa；(2)计算200012000199919991222-++．（“祖冲之杯”邀请赛试题）提示：（1）因为2111222()221111a a a a ab aaab b ab ab b ab b b++=+==++++，所以原式左边=1b ab===+右边（2）设1999a=，则原式1111a a==++1111a a==-++1111a a=-=++21111999111a aaa a a++=-=-==+++22．(1)323232121121)(+-+-+++=xxxxxxf，求(1)(3)(999)f f f+++的值；(2)设x、y都是正整数，且使yxx=++-100116，求y的最大值．(上海市竞赛题)提示：(1)注意到2222331()()a b a ba ab b a ab b a b a b--==++++--，原()f x可化为：()f x==12==故(1)(3)(999)f f f+++=31(10002=+++1110522===（2）设2222116216()()2108454100x mn m n m n mx n⎧-=⎪→=-→+-=⨯=⨯⎨+=⎪⎩，108y m n=+=23．试将实数)71)(51(211+++改写成三个正整数的算术根之和．(2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)提示：题目的意思是：2112(1()ab c+++=++，因此配方使112(1+++=2112(1175(1=++=++++故1=24．求比6)56(+大的最小整数．(西安交通大学少年班入学试题)提示：设x=，y=x y+=1xy=那么2222()2222x y x y xy+=+-=-=，3322()()1)x y x y x xy y+=+-+=-=，66332332()2210582x y x y x y+=+-=-=即6610582+=，由于01<，故61<<60105821<-<，同减10582，得61058210581-<-<-，同乘1-得61058210581>>，即61058110582<<故比6)56(+大的最小整数为10582。